2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
2．若，则代数式 A的值为（ ）
A．m B．mn C．mn D．m n
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n），
∴A＝m．
故答案为：A．
【分析】把等式右边利用提取公因式法分解因式后，即可得出A的值．
3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、=（x+3）2，故符合题意；
B、，平方项异号，不能完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、，不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意；
D、，只有两项， 不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子需要满足：①三项式，②其中两项能写成一个整式的完全平方且符号相同，③剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项分析即可.
4．若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（ ）
A．42 B．-42 C．13 D．-13
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：将提公因式得：ab（b-a），
∵a-b=6，ab=7，
∴b-a=-6，
因此，ab（b-a）=7×（-6）=-42，
∴=-42，
故答案为：B.
【分析】首先，根据题意将提公因式得到ab（b-a），然后根据已知条件a-b=6，ab=7将其代入ab（b-a）中求出答案即可.
5．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
6．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解.
7．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
8．下列因式分解错误的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：A、 则本项符合题意，
B、 则本项符合题意，
C、 则本项符合题意，
D、 则本项不符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据分解因式中的提公因式法、平方差公式和完全平方公式逐项计算即可.
二、填空题
9．（2024九下·深圳开学考）分解因式：3m3-12m＝ ．
【答案】3m（m-2）（m+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 3m3-12m＝3m（m2-4）=3m（m-2）（m+2），
故答案为：3m（m-2）（m+2）.
【分析】利用提公因式、平方差公式进行因式分解即可得出结论.
10．
（1）已知ab=7，a+b=2，则多项式a2b+ab2+2006的值为 ；
（2）若a+b=4，a-b=1，则(a+1)2-(b-1)2的值为 ；
（3）已知x= +1，则代数式(x+1)2-4(x+1)+4 的值为 .
【答案】（1）2020
（2）12
（3）-1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：多项式a2b+ab2+2006=ab（a+b）+2006
又∵ab=7，a+b=2.
∴ab（a+b）+2006=7×2+2006=2020.
故答案为：2020.
（2）解：∵a+b=4，a-b=1.
=（a+b）（a-b+2）
=4×（1+2）
=4×3
=12.
故答案为：12.
（3）解：∵
代数式 (x+1)2-4(x+1)+4
=（x+1）（x+1-4）+4
=（x+1）（x-3）+4
将代入其中得，=3-4=-1.
故答案为：-1.
【分析】（1）将多项式a2b+ab2+2006提公因式变形为ab（a+b）+2006的形式，然后根据ab=7，a+b=2求出答案即可.
（2）根据平方差公式将(a+1)2-(b-1)2 变形并整理得出（a+b）（a-b+2），再将a+b=4，a-b=1代入其中求出答案即可.
（3）用提公因式法将(x+1)2-4(x+1)+4整理后得到（x+1）（x-3）+4，然后将代入其中根据平方差公式求值即可.
11．分解因式：(1) (2)
【答案】(x+1)(x-1)(x2+1)；2x(3x+2)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(x+1)(x-1)(x2+1).
（2）
故答案为：2x(3x+2)2.
【分析】（1）利用平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式2x，然后根据完全平方公式即可求解.
12．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
13．（2021·利州模拟）已知 ，则代数式 的值为 .
【答案】49
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：49.
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值.
三、解答题
14．（2024八上·从江月考） 下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
分解因式：(3x+y)2-(x+3y)2.
解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)……第一步
=(4x+4y)(2x-2y)……第二步
=8(x+y)(x-y)……第三步
=8(x2-y2).……第四步
（1）任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
（2）任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 .
【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）四；进行乘法运算；8(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得第一步依据的公式用字母a，b表示a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b) .
【分析】（1）根据 (3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)，利用平方差公式即可求解；
（2）仔细阅读因式分解的步骤即可求解.
15．（2024八上·从江月考）如图所示，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形.
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15.
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 ；
②试求图中所有剪裁线(虚线部分)长的和.
【答案】（1）(a+2b)(2a+b)
（2）解：①51
②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线(虚线部分)长的和即为这块长方形纸板的周长.
2[(2a+b)+(a+2b)]=2(2a+b+a+2b)=6(a+b)，
由题意，得(a+2b)(2a+b)=177，
整理，得2(a+b)2+ab=177.
又∵ab=15，∴a+b=9(负值已舍去).
∴2[(2a+b)+(a+2b)]=6×9=54.
∴图中所有剪裁线(虚线部分)长的和为54.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）由长方形的面积（直接求法）= (a+2b)(2a+b)，由长方形的面积（间接求法）= 2a2+5ab+2b2 ，
2a2+5ab+2b2 = (a+2b)(2a+b) ，
（2） ①块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15 ，
2a2+5ab+2b2 =177，ab=15，
2a2+2b2 =177-5ab，即2（a2+b2 ）=177-75，
a2+b2 =51，
故答案为：51.
【分析】（1）利用直接法与间接法求长方形的面积，从而求解；
（2） ① 根据这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，可得2a2+5ab+2b2 =177，ab=15，从而求解； ② 利用平移的性质得到图中所有剪裁线(虚线部分)长的和即为这块长方形纸板的周长的算式，整理结合已知条件求得a+b的值，从而求解.
四、综合题
16．（2023八下·温江期末）
（1）分解因式：．
（2）解不等式组，并在数轴上表示出解集．
【答案】（1）解：
（2）解：
由①得：，
即，
整理得：，
解得：，
由②得：，
整理得：，
故原不等式组的解集为：，
在数轴上表示其解集如下图所示：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先提取公因式y，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
17．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
2．若，则代数式 A的值为（ ）
A．m B．mn C．mn D．m n
3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（ ）
A．42 B．-42 C．13 D．-13
5．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1
7．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
8．下列因式分解错误的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2024九下·深圳开学考）分解因式：3m3-12m＝ ．
10．
（1）已知ab=7，a+b=2，则多项式a2b+ab2+2006的值为 ；
（2）若a+b=4，a-b=1，则(a+1)2-(b-1)2的值为 ；
（3）已知x= +1，则代数式(x+1)2-4(x+1)+4 的值为 .
11．分解因式：(1) (2)
12．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为 ．
13．（2021·利州模拟）已知 ，则代数式 的值为 .
三、解答题
14．（2024八上·从江月考） 下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
分解因式：(3x+y)2-(x+3y)2.
解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)……第一步
=(4x+4y)(2x-2y)……第二步
=8(x+y)(x-y)……第三步
=8(x2-y2).……第四步
（1）任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
（2）任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 .
15．（2024八上·从江月考）如图所示，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形.
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15.
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 ；
②试求图中所有剪裁线(虚线部分)长的和.
四、综合题
16．（2023八下·温江期末）
（1）分解因式：．
（2）解不等式组，并在数轴上表示出解集．
17．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n），
∴A＝m．
故答案为：A．
【分析】把等式右边利用提取公因式法分解因式后，即可得出A的值．
3．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、=（x+3）2，故符合题意；
B、，平方项异号，不能完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、，不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意；
D、，只有两项， 不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子需要满足：①三项式，②其中两项能写成一个整式的完全平方且符号相同，③剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项分析即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：将提公因式得：ab（b-a），
∵a-b=6，ab=7，
∴b-a=-6，
因此，ab（b-a）=7×（-6）=-42，
∴=-42，
故答案为：B.
【分析】首先，根据题意将提公因式得到ab（b-a），然后根据已知条件a-b=6，ab=7将其代入ab（b-a）中求出答案即可.
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
8．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：A、 则本项符合题意，
B、 则本项符合题意，
C、 则本项符合题意，
D、 则本项不符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据分解因式中的提公因式法、平方差公式和完全平方公式逐项计算即可.
9．【答案】3m（m-2）（m+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 3m3-12m＝3m（m2-4）=3m（m-2）（m+2），
故答案为：3m（m-2）（m+2）.
【分析】利用提公因式、平方差公式进行因式分解即可得出结论.
10．【答案】（1）2020
（2）12
（3）-1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：多项式a2b+ab2+2006=ab（a+b）+2006
又∵ab=7，a+b=2.
∴ab（a+b）+2006=7×2+2006=2020.
故答案为：2020.
（2）解：∵a+b=4，a-b=1.
=（a+b）（a-b+2）
=4×（1+2）
=4×3
=12.
故答案为：12.
（3）解：∵
代数式 (x+1)2-4(x+1)+4
=（x+1）（x+1-4）+4
=（x+1）（x-3）+4
将代入其中得，=3-4=-1.
故答案为：-1.
【分析】（1）将多项式a2b+ab2+2006提公因式变形为ab（a+b）+2006的形式，然后根据ab=7，a+b=2求出答案即可.
（2）根据平方差公式将(a+1)2-(b-1)2 变形并整理得出（a+b）（a-b+2），再将a+b=4，a-b=1代入其中求出答案即可.
（3）用提公因式法将(x+1)2-4(x+1)+4整理后得到（x+1）（x-3）+4，然后将代入其中根据平方差公式求值即可.
11．【答案】(x+1)(x-1)(x2+1)；2x(3x+2)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(x+1)(x-1)(x2+1).
（2）
故答案为：2x(3x+2)2.
【分析】（1）利用平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式2x，然后根据完全平方公式即可求解.
12．【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
13．【答案】49
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：49.
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值.
14．【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）四；进行乘法运算；8(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得第一步依据的公式用字母a，b表示a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b) .
【分析】（1）根据 (3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)，利用平方差公式即可求解；
（2）仔细阅读因式分解的步骤即可求解.
15．【答案】（1）(a+2b)(2a+b)
（2）解：①51
②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线(虚线部分)长的和即为这块长方形纸板的周长.
2[(2a+b)+(a+2b)]=2(2a+b+a+2b)=6(a+b)，
由题意，得(a+2b)(2a+b)=177，
整理，得2(a+b)2+ab=177.
又∵ab=15，∴a+b=9(负值已舍去).
∴2[(2a+b)+(a+2b)]=6×9=54.
∴图中所有剪裁线(虚线部分)长的和为54.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）由长方形的面积（直接求法）= (a+2b)(2a+b)，由长方形的面积（间接求法）= 2a2+5ab+2b2 ，
2a2+5ab+2b2 = (a+2b)(2a+b) ，
（2） ①块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15 ，
2a2+5ab+2b2 =177，ab=15，
2a2+2b2 =177-5ab，即2（a2+b2 ）=177-75，
a2+b2 =51，
故答案为：51.
【分析】（1）利用直接法与间接法求长方形的面积，从而求解；
（2） ① 根据这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，可得2a2+5ab+2b2 =177，ab=15，从而求解； ② 利用平移的性质得到图中所有剪裁线(虚线部分)长的和即为这块长方形纸板的周长的算式，整理结合已知条件求得a+b的值，从而求解.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
由①得：，
即，
整理得：，
解得：，
由②得：，
整理得：，
故原不等式组的解集为：，
在数轴上表示其解集如下图所示：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先提取公因式y，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
17．【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
1 / 1
