2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·从江月考） 下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．2x2-8=2(x2-4)
C．a2-a=a(a-1) D．a2+2a+1=a(a+2)+1
2．（2024八上·依安期末）下列因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 的值为 （ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
4．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
6．已知a，b都是实数，观察表中的运算，则 m的值为 （ ）
a，b的运算 a+b a-b a -b
运算的结果 -4 10 m
A．40 B．-40 C．36 D．-36
7．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
8．下列计算中，不正确的是（ ）
A．
B．×100=25600
C．492+49=49×(49+1)=49×50=2450
D．=81
二、填空题
9．（2024九上·宽城期末）分解因式： .
10．（2022八上·右玉期末）因式分解： ．
11．分解因式：
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
12．分解因式：(1) .(2)a b-6ab+9b= .
13．
（1）计算：(2x+3)(2x-3)= ，反过来分解因式 =(2x+3)(2x-3).
（2）计算：(4x+3)2= ，反过来分解因式 =(4x+3)2.
三、解答题
14．（2016八上·鄂托克旗期末）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
15．如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.
四、综合题
16．（2023七下·曲阳期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
17．（2023八下·贵溪期末） 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
.提取公因式 .平方差公式 .完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A：m2+n2=(m+n)(m-n)，不能分解，不符合题意；
B：2x2-8=2(x2-4)，没有分解彻底，不符合题意；
C：a2-a=a(a-1)，分解正确，符合题意；
D：a2+2a+1=a(a+2)+1，不属于因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用因式分解的定义与方法进行逐一判断即可求解.
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、无法分解因式，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】根据提公因式法，公式法因式分解，逐项判断即可．
3．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
∴a+b=5；
∴a2b+ab2=ab(a+b)=5×5=25.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积及周长计算方法可得a+b=5，ab=5，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、3p2-3q2=3(p+q)(p-q)，故此选项错误，不符合题意；
B、m4-1=(m+1)(m-1)(m2+1)，故此选项错误，不符合题意；
C、2p+2q+1不能进行因式分解，故此选项错误，不符合题意；
D、m2-4m+4=(m-2)2，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式，因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止，据此计算可判断A选项；连续两次利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，据此计算可判断B选项；因式分解就是将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形，据此可判断C选项；直接利用完全平方差公式进行分解即可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=-4，a-b=10，
∴a2-b2=(a-b)(a+b)=-4×10=-40.
故答案为：B.
【分析】将待求式子利用平方差公式分解因式后整体代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、-2a2+4a=-2a(a-2)，故此选项中的因式分解是错误的，不符合题意；
B、3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2，故此选项中的因式分解是正确的，符合题意；
C、2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1)，故此选项中的因式分解是错误的，不符合题意；
D、m2+n2这个多项式不能进行因式分解，故此选项中的因式分解是错误的，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用提取公因式法分解因式，可判断A、C选项；先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法进行第二次分解，可判断B选项；m2+n2这个二项式中得两项没有公因式，且每一项虽然能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，故不能进行因式分解，据此可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、 则本项不符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、 则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】逆用乘法运算律中的分配律计算A项；利用平方差公式计算B项；逆用乘法运算律中的分配律计算C项；利用平方差公式计算D项，即可求解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式进行因式分解求解即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可。
11．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1） (a-b)2；
故答案为：(a-b)2；
（2） n(m2+6m+9) =n(m+3)2；
故答案为：n(m+3)2；
（3） a(a2-2a+1) =a(a-1)2；
故答案为：a(a-1)2；
（4） 2(x2+6x+9) =2(x+3)2.
故答案为：2(x+3)2.
【分析】（1）利用完全平方式公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方式公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式，再利用完全平方式公式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式，再利用完全平方式公式进行因式分解即可.
12．【答案】(a+3)(a-3)；b(a-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(a+3)(a-3).
（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据平方差公式对其化简即可；
（2）利用提公因式法和完全平方公式对其化简即可.
13．【答案】（1）4x2-9；4x2-9
（2）；
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：，.
（2）
故答案为：，.
【分析】（1）根据平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方差公式即可求解.
14．【答案】解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
15．【答案】解：阴影部分面积为：a2-4b2=(a-2b)(a+2b)
∵ a=13.2，b=3.4 ，
∴阴影部分面积为：(13.2-6.8)(13.2+6.8)=20×6.4=128cm2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】分别用含a和b的式子表示出大正方形和4个小正方形的面积，最后根据题意结合平方差公式计算即可.
16．【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2）
=（3a+2b）2-（5m-n）2
=（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a-b=0，a-c=0，
所以，a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)通过观察将 9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn 进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将 2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0 的左侧进行因式分解得出 （a-b）2+（a-c）2=0 ，根据平方数的非负性，得到 a-b=0，a-c=0 ，从而得出 a=b=c ，判断出△ABC的形状.
17．【答案】（1）
（2）解：设，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解；
（2）设，再运用多项式乘以多项式得到，再利用完全平方公式分解即可．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·从江月考） 下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．2x2-8=2(x2-4)
C．a2-a=a(a-1) D．a2+2a+1=a(a+2)+1
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A：m2+n2=(m+n)(m-n)，不能分解，不符合题意；
B：2x2-8=2(x2-4)，没有分解彻底，不符合题意；
C：a2-a=a(a-1)，分解正确，符合题意；
D：a2+2a+1=a(a+2)+1，不属于因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用因式分解的定义与方法进行逐一判断即可求解.
2．（2024八上·依安期末）下列因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、无法分解因式，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】根据提公因式法，公式法因式分解，逐项判断即可．
3．已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 的值为 （ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
∴a+b=5；
∴a2b+ab2=ab(a+b)=5×5=25.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积及周长计算方法可得a+b=5，ab=5，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
4．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、3p2-3q2=3(p+q)(p-q)，故此选项错误，不符合题意；
B、m4-1=(m+1)(m-1)(m2+1)，故此选项错误，不符合题意；
C、2p+2q+1不能进行因式分解，故此选项错误，不符合题意；
D、m2-4m+4=(m-2)2，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式，因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止，据此计算可判断A选项；连续两次利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，据此计算可判断B选项；因式分解就是将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形，据此可判断C选项；直接利用完全平方差公式进行分解即可判断D选项.
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．已知a，b都是实数，观察表中的运算，则 m的值为 （ ）
a，b的运算 a+b a-b a -b
运算的结果 -4 10 m
A．40 B．-40 C．36 D．-36
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=-4，a-b=10，
∴a2-b2=(a-b)(a+b)=-4×10=-40.
故答案为：B.
【分析】将待求式子利用平方差公式分解因式后整体代入计算即可.
7．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、-2a2+4a=-2a(a-2)，故此选项中的因式分解是错误的，不符合题意；
B、3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2，故此选项中的因式分解是正确的，符合题意；
C、2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1)，故此选项中的因式分解是错误的，不符合题意；
D、m2+n2这个多项式不能进行因式分解，故此选项中的因式分解是错误的，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用提取公因式法分解因式，可判断A、C选项；先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法进行第二次分解，可判断B选项；m2+n2这个二项式中得两项没有公因式，且每一项虽然能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，故不能进行因式分解，据此可判断D选项.
8．下列计算中，不正确的是（ ）
A．
B．×100=25600
C．492+49=49×(49+1)=49×50=2450
D．=81
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、 则本项不符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、 则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】逆用乘法运算律中的分配律计算A项；利用平方差公式计算B项；逆用乘法运算律中的分配律计算C项；利用平方差公式计算D项，即可求解.
二、填空题
9．（2024九上·宽城期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式进行因式分解求解即可.
10．（2022八上·右玉期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可。
11．分解因式：
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1） (a-b)2；
故答案为：(a-b)2；
（2） n(m2+6m+9) =n(m+3)2；
故答案为：n(m+3)2；
（3） a(a2-2a+1) =a(a-1)2；
故答案为：a(a-1)2；
（4） 2(x2+6x+9) =2(x+3)2.
故答案为：2(x+3)2.
【分析】（1）利用完全平方式公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方式公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式，再利用完全平方式公式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式，再利用完全平方式公式进行因式分解即可.
12．分解因式：(1) .(2)a b-6ab+9b= .
【答案】(a+3)(a-3)；b(a-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(a+3)(a-3).
（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据平方差公式对其化简即可；
（2）利用提公因式法和完全平方公式对其化简即可.
13．
（1）计算：(2x+3)(2x-3)= ，反过来分解因式 =(2x+3)(2x-3).
（2）计算：(4x+3)2= ，反过来分解因式 =(4x+3)2.
【答案】（1）4x2-9；4x2-9
（2）；
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：，.
（2）
故答案为：，.
【分析】（1）根据平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方差公式即可求解.
三、解答题
14．（2016八上·鄂托克旗期末）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【答案】解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
15．如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.
【答案】解：阴影部分面积为：a2-4b2=(a-2b)(a+2b)
∵ a=13.2，b=3.4 ，
∴阴影部分面积为：(13.2-6.8)(13.2+6.8)=20×6.4=128cm2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】分别用含a和b的式子表示出大正方形和4个小正方形的面积，最后根据题意结合平方差公式计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·曲阳期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2）
=（3a+2b）2-（5m-n）2
=（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a-b=0，a-c=0，
所以，a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)通过观察将 9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn 进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将 2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0 的左侧进行因式分解得出 （a-b）2+（a-c）2=0 ，根据平方数的非负性，得到 a-b=0，a-c=0 ，从而得出 a=b=c ，判断出△ABC的形状.
17．（2023八下·贵溪期末） 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
.提取公因式 .平方差公式 .完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）
（2）解：设，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解；
（2）设，再运用多项式乘以多项式得到，再利用完全平方公式分解即可．
1 / 1
