2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练培优题
一、选择题
1．下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 2x+y=2，2xy=1，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M4．设n为整数，则一定能被 （ ）
A．3 整除 B．4整除 C．6 整除 D．8整除
5．下列利用因式分解简便计算69×99+32×99-99的过程中，正确的是 （ ）
A．原式=99×（69+32）=99×101=9999
B．原式=99×（69+32-1）=99×100=9900
C．原式=99×（69+32+1）=99×102=10 098
D．原式=99×（69+32-99）=99×2=198
6．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
7．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
8．（2023八上·安顺期末）已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024八下·汕头开学）因式分解2x2- 12x +18的结果是
10．分解因式：
（1）a +4a+4= .
（2） .
11．分解因式：
（1）a4-1= .
（2）ab2-4ab+4a= .
（3）mx2-my2= .
12．（2023八上·黄浦期中）在实数范围内分解因式： ．
13．（2023九上·济宁月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
三、解答题
14．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
15．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
四、综合题
16．（2023七下·梁平期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为.例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则.
（1）求，；
（2）已知，（，，为整数），若、均为“真知数”，且可被7整除，求的值.
17．（2023八下·通川期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、 正确，故不符合题意；
C、 正确，故不符合题意；
D、∵-a2-12a-9不是一个完全平方式，∴， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接利用完全平方公式分解因式可判断A、B选项；先利用提取公因式法分解，再利用完全平方公式进而第二次分解因式后可判断C选项；由于-a2-12a-9不是一个完全平方式，所以不能使用完全平方公式分解，据此可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： ∵2x+y=2，2xy=1，
∴xy=，
∴=xy（2x+y）=×2=1.
故答案为：C.
【分析】由2xy=1可得xy=，将待求式子利用提取公因式法分解因式为xy（2x+y），然后整体代入计算即可.
3．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】用M-N，若最后结果为正数则M大，反之N大.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），
∵n+3和n-2一个是奇数一个是偶数，
∴（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，
∴（2n+1）2-12.5一定能被4整除，
故答案为：B.
【分析】把原式变形为（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），再根据n+3和n-2一个是奇数一个是偶数得出（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：69×99+32×99-99=99×（69+32-1）=99×100=9900.
故答案为：B.
【分析】把原式利用提公因式法进行因式分解，再进行计算，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，
∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5），
∴-k＝14，-14，2，-2，
∴k＝-14，14，-2，2.
故答案为：D．
【分析】由二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，再把常数项-15分为两个整数相乘，其和即为-k的值，即可确定出整数k的个数．
9．【答案】2 (x- 3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
10．【答案】(a+2)2,xy(x+3)(x-3)
（1）(a+2)2
（2）xy(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(a+2)2.
（2）
故答案为：xy(x+3)(x-3).
【分析】（1）根据完全平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式xy，再利用平方差公式即可求解.
11．【答案】（1）
（2）a（b-2）2
（3）m（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）a4-1=（a2+1）（a2-1）=（a2+1）（a+1）（a-1）.
（2）ab2-4ab+4a=a（b2-4b+4）=a（b-2）2.
（3）mx2-my2=m（x2-y2）=m（x+y）（x-y）.
故答案为：（1）（a2+1）（a+1）（a-1）；（2）a（b-2）2；（3）m（x+y）（x-y）.
【分析】（1）两次利用平方差公式分解因式.（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
12．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】令
∴ .
故答案为：.
【分析】该二次三项式既不满足完全平方式，也不满足十字相乘法，故利用一元二次方程求根公式解方程来分解因式。
13．【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
14．【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
15．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
16．【答案】（1）解：由题意，=，
；
（2）解：∵s为“真知数”，
∴x≠1，x≠2，
∵t为“真知数”，且6+4=10，6+6=12，
∴y≠4，y≠6，
由题意，将百位调换后的数为210+x，100+10x+2，
∴，
当1≤y≤3时，
∵，，为整数，x≠1，x≠2，1≤y≤3，
∴x=y=3，
∴=，
=6，
∴+=22不被7整除，
∴x≠3，y≠3；
当y=5，7，8，9时，将百位调换后的数为600+10（y-4）+2，100（y-4）+26，
∴，
∴+=x+y+7，
∵+可被7整除，且，，为整数，x≠1，x≠2，y=5，7，8，9，
∴x+y=14，
∴x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7，
∴t=265或264或263.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题干提供的例子分别计算即可；
（2）首先根据真知数的定义判断出x≠1，x≠2， y≠4，y≠6， 进而求出F（s）=x+3，然后分类讨论：①当1≤y≤3时，可得x=y=3，从而求出F（t）、F（s） 代入根据F（t）+F（s）能被7整除进行检验得出答案；② 当y=5，7，8，9时， 求出F（t），则F（t）+F（s）=x+y+7，进而根据F（t）+F（s）能被7整除可得x+y=14，从而得出 x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7， 此题得解.
17．【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练培优题
一、选择题
1．下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、 正确，故不符合题意；
C、 正确，故不符合题意；
D、∵-a2-12a-9不是一个完全平方式，∴， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接利用完全平方公式分解因式可判断A、B选项；先利用提取公因式法分解，再利用完全平方公式进而第二次分解因式后可判断C选项；由于-a2-12a-9不是一个完全平方式，所以不能使用完全平方公式分解，据此可判断D选项.
2．已知 2x+y=2，2xy=1，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： ∵2x+y=2，2xy=1，
∴xy=，
∴=xy（2x+y）=×2=1.
故答案为：C.
【分析】由2xy=1可得xy=，将待求式子利用提取公因式法分解因式为xy（2x+y），然后整体代入计算即可.
3．已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】用M-N，若最后结果为正数则M大，反之N大.
4．设n为整数，则一定能被 （ ）
A．3 整除 B．4整除 C．6 整除 D．8整除
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），
∵n+3和n-2一个是奇数一个是偶数，
∴（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，
∴（2n+1）2-12.5一定能被4整除，
故答案为：B.
【分析】把原式变形为（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），再根据n+3和n-2一个是奇数一个是偶数得出（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，即可得出答案.
5．下列利用因式分解简便计算69×99+32×99-99的过程中，正确的是 （ ）
A．原式=99×（69+32）=99×101=9999
B．原式=99×（69+32-1）=99×100=9900
C．原式=99×（69+32+1）=99×102=10 098
D．原式=99×（69+32-99）=99×2=198
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：69×99+32×99-99=99×（69+32-1）=99×100=9900.
故答案为：B.
【分析】把原式利用提公因式法进行因式分解，再进行计算，即可得出答案.
6．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
7．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
8．（2023八上·安顺期末）已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，
∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5），
∴-k＝14，-14，2，-2，
∴k＝-14，14，-2，2.
故答案为：D．
【分析】由二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，再把常数项-15分为两个整数相乘，其和即为-k的值，即可确定出整数k的个数．
二、填空题
9．（2024八下·汕头开学）因式分解2x2- 12x +18的结果是
【答案】2 (x- 3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
10．分解因式：
（1）a +4a+4= .
（2） .
【答案】(a+2)2,xy(x+3)(x-3)
（1）(a+2)2
（2）xy(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(a+2)2.
（2）
故答案为：xy(x+3)(x-3).
【分析】（1）根据完全平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式xy，再利用平方差公式即可求解.
11．分解因式：
（1）a4-1= .
（2）ab2-4ab+4a= .
（3）mx2-my2= .
【答案】（1）
（2）a（b-2）2
（3）m（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）a4-1=（a2+1）（a2-1）=（a2+1）（a+1）（a-1）.
（2）ab2-4ab+4a=a（b2-4b+4）=a（b-2）2.
（3）mx2-my2=m（x2-y2）=m（x+y）（x-y）.
故答案为：（1）（a2+1）（a+1）（a-1）；（2）a（b-2）2；（3）m（x+y）（x-y）.
【分析】（1）两次利用平方差公式分解因式.（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
12．（2023八上·黄浦期中）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】令
∴ .
故答案为：.
【分析】该二次三项式既不满足完全平方式，也不满足十字相乘法，故利用一元二次方程求根公式解方程来分解因式。
13．（2023九上·济宁月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
三、解答题
14．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
15．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·梁平期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为.例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则.
（1）求，；
（2）已知，（，，为整数），若、均为“真知数”，且可被7整除，求的值.
【答案】（1）解：由题意，=，
；
（2）解：∵s为“真知数”，
∴x≠1，x≠2，
∵t为“真知数”，且6+4=10，6+6=12，
∴y≠4，y≠6，
由题意，将百位调换后的数为210+x，100+10x+2，
∴，
当1≤y≤3时，
∵，，为整数，x≠1，x≠2，1≤y≤3，
∴x=y=3，
∴=，
=6，
∴+=22不被7整除，
∴x≠3，y≠3；
当y=5，7，8，9时，将百位调换后的数为600+10（y-4）+2，100（y-4）+26，
∴，
∴+=x+y+7，
∵+可被7整除，且，，为整数，x≠1，x≠2，y=5，7，8，9，
∴x+y=14，
∴x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7，
∴t=265或264或263.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题干提供的例子分别计算即可；
（2）首先根据真知数的定义判断出x≠1，x≠2， y≠4，y≠6， 进而求出F（s）=x+3，然后分类讨论：①当1≤y≤3时，可得x=y=3，从而求出F（t）、F（s） 代入根据F（t）+F（s）能被7整除进行检验得出答案；② 当y=5，7，8，9时， 求出F（t），则F（t）+F（s）=x+y+7，进而根据F（t）+F（s）能被7整除可得x+y=14，从而得出 x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7， 此题得解.
17．（2023八下·通川期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
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