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分课时教学设计
第1课时《22.1 一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学生掌握一元二次方程的定义和一般形式..通过具体问题引入列得一元二次方程,在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
学习者分析 学习一元二次方程的定义和一般形式，培养学生观察,类比,归纳能力.
教学目标 1．了解一元二次方程的概念； 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项； 3．了解一元二次方程的根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根．
教学重点 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念.
教学难点 正确将一元二次方程化为一般形式，并能识别其中的“项”及“系数”.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 1.什么叫做方程？ 2.什么叫做一元一次方程？ 3.什么叫做方程的解？ 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 教学说明：教师引导学生列出方程，解决问题. 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题，教师引导学生列出方程，解决问题. 环节二：新知探究教师活动2： ?问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2 归纳总结：上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 引导学生掌握一元二次方程的概念．活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 环节三：典例精析教师活动3： 例1.下列方程中，是一元二次方程的有 . (填序号) ①x2＋y－6 = 0；②x2＋ =2； ③x2－x－2 = 0；④ 2x2－3x = 2(x2－2)； ⑤3x( x - 1 ) = 5( x + 2 ) . 思路点拨：①有2个未知数；②中有分式；③符合条件；④化简后为一元一次方程；⑤化简后为3x2－8x－10 = 0. 综上，符合一元二次方程条件的有③⑤ 例2：将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x －x = 2; (2) 7x－3 = 2x ; (3) x(2x－1) － 3x(x－2) = 0 解:（1）一般形式为3x －x－2 = 0 二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-1，-2。 （2）一般形式为2x －7x＋3 = 0 二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-7，3。 （3）一般形式为x －5x = 0 二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，-5，0。学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0 选做题： 2. 已知关于x的方程(a2－1)x2＋(1－a)x＋a－2＝0. (1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？ (2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？ 【综合拓展类作业】 3.把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则( ) A．m＝1 B． m＝－1 C． m＝±1 D．m≠±1 选做题： 2. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值. 【综合拓展类作业】 3. 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
教学反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 1.一元二次方程的概念。 2.一元二次方程的一般形式．
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（华师大版）九年级
上
22.1 一元二次方程
二次根式
第22章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、深入理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项，并会将一元二次方程化为一般形式。
3、会列一元二次方程来解决实际问题。
新知导入
什么叫一元一次方程？
它的标准形式及一般形式各是怎样的？
一元一次方程;只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程一元一次方程的一般形式：ax+b=0(a≠0）
一元二次方程的标准形式：ax=b(a≠0）
新知讲解
大江东去浪淘尽，千古风流数人数。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子算的快，多少年华属周瑜？
古诗词中的数学
聪明的你，能解决诗中提出的问题：“多少年华属周瑜？”
若设周瑜去世时年龄的个位数为x，如何列方程？
想一想
这是什么方程呢？
新知讲解
1．问题一
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0. （1）
创设情境
新知讲解
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
（1）设两年的年平均増长率为x，请你表示其余两年的图书册数；
去年底：5
今年底：5＋5x＝5（1＋x）
明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
=5（1＋x）（1＋x）
=5（1＋x）2
（2）设两年的年平均増长率为x，根据题意列出方程。
注意：每年都是在上一年的基础上增长！
新知讲解
（1）
（2）
（1）这两个方程是不是一元一次方程？
（2）那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
（3）它们有什么共同特点呢？
不是
①都是整式方程；
②只含一个未知数；
③未知数的最高次数是2.
共同特点
一元二次方程
新知讲解
概括归纳
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a≠0
新知讲解
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
归纳：只要满足a≠0 ，b ， c 可以为任意实数.
新知讲解
练一练
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2 = 3x
(x - 1)2 - 9 = 0
x(x + 2) = 3(x + 2)
4x2 - 3x = 0
x2 - 2x - 8 = 0
x2 - x - 6 = 0
4
-3
0
1
-2
-8
1
-1
-6
列表填空：
新知讲解
你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？
议一议
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须
把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数 a ≠ 0.
典例精析
例1.下列方程中，是一元二次方程的有 . (填序号)
①x2＋y－6 = 0；②x2＋ =2； ③x2－x－2 = 0；④ 2x2－3x = 2(x2－2)； ⑤3x( x - 1 ) = 5( x + 2 )
思路点拨：①有2个未知数；②中有分式；③符合条件；④化简后为一元一次方程；⑤化简后为3x2－8x－10 = 0.
综上，符合一元二次方程条件的有③⑤
新知讲解
例2：将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1) 3x －x = 2; (2) 7x－3 = 2x ;
解:（1）一般形式为3x －x－2 = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-1，-2。
（2）一般形式为2x －7x＋3 = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-7，3。
新知讲解
(3) x(2x－1) － 3x(x－2) = 0
解:（3）一般形式为x －5x = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，-5，0。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2. 已知关于x的方程(a2－1)x2＋(1－a)x＋a－2＝0.
(1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？
(2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？
解： (1)由题意得a2－1≠0，即当a≠±1时，该方程
为一元二次方程．
(2)由题意得a2－1＝0且1－a≠0，解得a＝－1.
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.把下列关于 的一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
（1） ;
解：（1）去括号、移项、合并同类项，得 ，它的二次项系数是3，
一次项系数是 ，常数项是4.
（2） ;
（2）去括号、移项、合并同类项，得 ，它的二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是 ．
（3） .
（3）移项、合并同类项，得 .
它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
课堂总结
使方程左右两边相等的未知数的值
三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次
定义
解(根)
一般式
一元二次方程
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则( )
A．m＝1 B． m＝－1
C． m＝±1 D．m≠±1
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值.
解：由题意得
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3. 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，
求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
Thanks!
2
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.1 一元二次方程
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1．了解一元二次方程的概念； 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项； 3．了解一元二次方程的根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根.
课前学习任务
复习引入 复习引入 请同学们回想以前学的知识 1、 叫方程。 叫一元一次方程 叫二元一次方程 分式方程 下列方程是一元一次方程的有 ，是分式方程的有 ，二元一次方程的有 。 ①3x-2=0 ②+2=x ③x+2y=3 ④ ⑤s+t=8 ⑥+2x-4=0⑦-x=56
课上学习任务
【学习任务一】 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为 米，可列方程 ，整理得 ①. 问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 分析：设这两年的年平均增长率为x，则今年的图书为为 万册，明年的图书为 万册， 可列方程 ， 整理得 ② 【学习任务二】 方程①、②是一元一次方程吗？ ； 方程①、②是一元一次方程的相同点： ； 。 方程①、②是一元一次方程的不同点： 三、教材第19页概括 像方程①、②这样的 方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程. 4.一元二次方程的一般形式为 （a,b,c为常数, ≠0） 其中a叫做 、b叫做 、c为 。 【学习任务三】 例1.下列方程中，是一元二次方程的有 . (填序号) ①x2＋y－6 = 0；②x2＋ =2； ③x2－x－2 = 0；④ 2x2－3x = 2(x2－2)； ⑤3x( x - 1 ) = 5( x + 2 ) . 例2：将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x －x = 2; (2) 7x－3 = 2x ; (3) x(2x－1) － 3x(x－2) = 0 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0 选做题： 2. 已知关于x的方程(a2－1)x2＋(1－a)x＋a－2＝0. (1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？ (2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？ 【综合拓展类作业】 3.把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 【知识技能类作业】 必做题： 1.若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则( ) A．m＝1 B． m＝－1 C． m＝±1 D．m≠±1 选做题： 2. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值. 【综合拓展类作业】 3. 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
内容分析 本章主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《一元二次方程》这一章是是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力.
单元目标 教学目标1.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数.?2.进一步深化理解一元二次方程的四种解法，能灵活运用四种解法解一元二次方程.?3.进一步理解根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能够运用它们去解决实际问题，综合性问题.?4.进一步加强列方程解应用题的能力，特别是增长率问题、几何图形问题.（二）教学重点、难点教学重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法以及一元二次方程解决实际应用问题.教学难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数 22.1 一元二次方程122.2.1直接开平方法和因式分解法122.2.2 配方法122.2.3用公式法解一元二次方程122.2.4一元二次方程根的判别式122.2.5一元二次方程根与系数的关系 122.3.1 图形的面积问题122.3.2 增长（降低）率问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.?2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.1.进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.2.正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.任务一：情境导入，根据数量关系列方程.任务二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.任务三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动任务四：针对训练，请学生回答问题..22.2.1直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法1.合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.2.理解一元二次方程无实根的解题过程.任务一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务二：探究新知，理解开平方法，配方法.任务3：例题精讲，用开平方法，因式分解法解一元二次方程.22.2.2 配方法1.了解配方法的概念，掌握用配方法解简单的一元二次方程。2.让学生参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发展的过程，培养学生运算技巧和能力，发展数学思维3.通过降次与转化的数学思想的渗透，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极思考，发展学生合作意识.1.让学生用配方法解简单的一元二次方程.2.让学生从特殊的例子中发现规律、归纳方法.任务1：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务2：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程..22.2.3用公式法解一元二次方程1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.3．在推导求根公式过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．1.熟练地用求根公式解一元二次方程．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．任务1：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.任务2：合作学习，一元二次方程求根公式.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.2.4一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．1.根的判别式的正确理解与运用．2.会掌握含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．任务1：利用配方法推导一元二次方程的求根公式．任务2：掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况．任务3：巩固例题，掌握由Δ确定方程根的情况的一般步骤．22.2.5一元二次方程根与系数的关系 1．能说出根与系数的关系；2．会利用根与系数的关系解有关的问题。1.根的判别式和韦达定理的学习．2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯．任务1：经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程任务2：掌握根的判别式和韦达定理任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.3.1 图形的面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理。1.掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.任务1：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型任务2：归纳一元二次方程解应用题的一般步骤.22.3.2 增长（降低）率问题1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.任务1：解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.2. 掌握“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.
《一元二次方程》单元教学设计
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