2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 21.1 一次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·东阳月考）下列函数中，属于正比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A．是正比例函数，故本选项符合题意．
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】 根据正比例函数的定义判断即可解答．
2．若3y-4与2x-5成正比例，则（ ）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y是x的非一次函数 D．y与x不构成函数关系
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵3y-4与2x-5成正比例，
∴设3y-4=k（2x-5） （k≠0），
整理得：（k≠0），
∴y是x的一次函数 。
故答案为：B.
【分析】先根据正比例函数的定义，设3y-4=k（2x-5） （k≠0），再用x表示y，最后根据一次函数的定义，即可判断出答案。
3．（2023八下·商洛期末）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、当x=4时y=-3，
∴点（4，-3）在此函数图象上，故A符合题意；
B、当x=-8时，y=6，
∴点（-8，-6）不在此函数图象上，故B不符合题意；
C、当x=-2时，y=，
∴点（-2，1）不在此函数图象上，故C不符合题意；
D、当x=-3时，y=，
∴点（-3，4）不在此函数图象上，故B不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别将各选项中的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，据此可作出判断.
4．（2022八上·黄浦期中）下列问题中两个变量成正比例的是（ ）
A．正方形面积和它的边长
B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长
C．圆的面积与它的半径
D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；
长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；
圆的面积等于 与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；
弧长 ，半径确定的圆中， 是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正比例函数的定义计算即可。
5．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数2一次函数）已知y是x-3的正比例函数，且当x=5时，y=6，则y和x的函数关系描述错误的是（ ）
A．y=3(x-3) ；是正比例函数关系 B．y=3x-9；是一次函数关系
C．y=3(x-3)；是一次函数关系 D．y=3x-9；是正比例函数关系
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设y=k（x-3），
由题意得：6=k（5-3），
解得k=3，
∴y=3 (x-3)=3x-9 ，
∴y与x-3的正比例函数， y与x是一次函数关系，不是正比例函数关系.
故答案为：D.
【分析】设y=k（x-3），利用待定系数法求出函数解析式为y=3 (x-3)，则可判断y与x-3的正比例函数， y与x是一次函数关系，即可判断.
6．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数2一次函数）下列函数：①y= 2kx；②y= x；③y= ；④y= ；⑤y=-x2；⑥y=-x-1．其中是一次函数的有（ ）
A．①② B．②⑥ C．①②⑥ D．③④⑤⑥
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：当k=0时，①不是一次函数；②⑥属于一次函数；③④中x的指数为-1，不是一次函数；⑤中x的指数为2，不是一次函数.
故答案为：B.
【分析】一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），据此判断.
7．（【五三】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数2一次函数）下列问题中，两个变量之间成正比例函数关系的是（ ）
A．正方形面积S与边长a之间的关系
B．等腰三角形的周长为16cm，底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的关系
C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价y(元)与购买支数n之间的关系
D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间t(s)与速度0(m/s)之间的关系
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】A.S=a2 ，不属于两个变量之间成正比例函数关系；
B.y= 16-2x ，不属于两个变量之间成正比例函数关系；
C.y=2n，属于两个变量之间成正比例函数关系；
D. 100=vt，不属于两个变量之间成正比例函数关系．
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数关系的定义求解即可。
8．（2021·镇江模拟）已知点 在经过原点的一条直线l上，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】点的坐标；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：对方程组 通分化简得到
① -② 得， ③
对③式进行移项，因式分解得，
∴ 或
又∵ 在经过原点的一条直线l
∴ 与 是正比例函数关系，即
∴ ，即
代入 得
故答案为：A.
【分析】将方程组进行化简，得；再整理分解因式变形得，由此可证得2b-a=0或6b+3a+1=0，再根据点P（a，b）是经过原点的一条直线，可知b是x的正比例函数，即b=ka（k≠0）可得到a=2b，将其代入分式进行化简，可求出此分式的值.
二、填空题
9．在一次函数中，一次项系数为 ，常数项为 .
【答案】-3；-2
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵
∴一次项系数为-3，常数项b为-2，
故答案为：-3，-2.
【分析】一次函数中，k为一次项系数，b为常数项，据此即可求解.
10．（2023九上·南岗开学考）已知y＝（m﹣1）x|m|+m+2，y是x的一次函数，则m＝ ．
【答案】﹣1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：因为是x的一次函数，
可得：，
解得：．
故答案为：
【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的解析式为：列出关于m的不等式组为：，求出m的值即可．
11．（2021八上·普宁期中）若函数y＝（m+1）x+（1﹣m2）是正比例函数，则m的值是 ．
【答案】1
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数 是正比例函数，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1．
【分析】根据函数 是正比例函数，即可得出m的值。
12．（【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第六章一次函数2一次函数）若函数y=(a+1)xa2+b-2是正比例函数，则(a-b)2021的值是
【答案】-1
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】由正比例函数的概念，得a2=1，且a+1≠0，b-2=0，解得a=1，b=2．所以(a- b)2021=(-1)2021=-1．
故答案为：-1.
【分析】形如y=kx（k≠0）的函数为正比例函数，根据定义可得a2=1，且a+1≠0，b-2=0，联立求解，再将a、b值代入原式计算即可.
13．（2020八下·西吉期末）当m= 时，y=(m－1)x 是正比例函数.
【答案】-1
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵y=(m－1)x 是正比例函数，
∴ =1且m-1≠0，
解得：m=-1.
故答案为：-1
【分析】根据正比例函数的定义：y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，关键要注意k≠0，自变量的次数为1.
三、解答题
14．（2023八上·阜南月考）已知函数，
（1）当m、n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m、n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得，，；
（2）解：当函数是正比例函数时，
，
解得，，．
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义可得 ，且， 再求出m、n的值即可；
（2）根据正比例函数的定义可得，再求出m、n的值即可.
15．（2022七上·房山期中）张叔叔开车自驾游的时间和路程如表：
时间/时 1 2 3 4 5
路程/千米 80 160 240 320 400
张叔叔开车的时间和路程成正比例关系吗？请说明理由．
【答案】解：∵ ， ， ， ， ，
∴路程÷时间＝速度（定值），比值一定，所以时间与路程成正比例关系．
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【分析】根据正比例函数的定义求解即可。
四、综合题
16．（2020八上·甘州月考）已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6.求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当y＝14时，x的值.
【答案】（1）解：设y﹣2＝kx（k≠0），则﹣6﹣2＝2k，
∴k＝﹣4，
∴y与x的函数关系式是：y＝﹣4x+2；
（2）解：当y＝14时，14＝﹣4x+2，
解得x＝﹣3.
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的一般形式“y=kx(k不为0，k为常数）”设解析式，再把x、y的值代入解析式计算可求解；
（2）由题意把y=1代入（1）中求得的解析式计算即可求解.
17．（【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第六章自我测评卷）对于函数y=(m-1)xm2+n，回答下列问题：
（1）当m，n为何值时，上述函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，上述函数是正比例函数？
【答案】（1）解：当m2=1且m-1≠0时，y=(m-1)xm2+n是一次函数，解得m=-1，即当m=-1，n为任意实数时，y=(m-1)xm2+n是一次函数．
（2）解：当m2=1且m-1≠0且n=0时，y=(m-1)x+n是正比例函数，解得m=-1，即当m=-1且n=0时，y=(m-1)xm2+n是正比例函数．
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】(1)根据一次函数的定义可得： m2=1且m-1≠0时， 然后联立求出m的值，即可解答；
(2)根据正比例函数的定义可得： 当m2=1且m-1≠0且n=0时，联立求解即可.
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一、选择题
1．（2023八上·东阳月考）下列函数中，属于正比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．若3y-4与2x-5成正比例，则（ ）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y是x的非一次函数 D．y与x不构成函数关系
3．（2023八下·商洛期末）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·黄浦期中）下列问题中两个变量成正比例的是（ ）
A．正方形面积和它的边长
B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长
C．圆的面积与它的半径
D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数
5．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数2一次函数）已知y是x-3的正比例函数，且当x=5时，y=6，则y和x的函数关系描述错误的是（ ）
A．y=3(x-3) ；是正比例函数关系 B．y=3x-9；是一次函数关系
C．y=3(x-3)；是一次函数关系 D．y=3x-9；是正比例函数关系
6．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数2一次函数）下列函数：①y= 2kx；②y= x；③y= ；④y= ；⑤y=-x2；⑥y=-x-1．其中是一次函数的有（ ）
A．①② B．②⑥ C．①②⑥ D．③④⑤⑥
7．（【五三】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数2一次函数）下列问题中，两个变量之间成正比例函数关系的是（ ）
A．正方形面积S与边长a之间的关系
B．等腰三角形的周长为16cm，底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的关系
C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价y(元)与购买支数n之间的关系
D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间t(s)与速度0(m/s)之间的关系
8．（2021·镇江模拟）已知点 在经过原点的一条直线l上，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．-1
二、填空题
9．在一次函数中，一次项系数为 ，常数项为 .
10．（2023九上·南岗开学考）已知y＝（m﹣1）x|m|+m+2，y是x的一次函数，则m＝ ．
11．（2021八上·普宁期中）若函数y＝（m+1）x+（1﹣m2）是正比例函数，则m的值是 ．
12．（【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第六章一次函数2一次函数）若函数y=(a+1)xa2+b-2是正比例函数，则(a-b)2021的值是
13．（2020八下·西吉期末）当m= 时，y=(m－1)x 是正比例函数.
三、解答题
14．（2023八上·阜南月考）已知函数，
（1）当m、n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m、n为何值时，此函数是正比例函数？
15．（2022七上·房山期中）张叔叔开车自驾游的时间和路程如表：
时间/时 1 2 3 4 5
路程/千米 80 160 240 320 400
张叔叔开车的时间和路程成正比例关系吗？请说明理由．
四、综合题
16．（2020八上·甘州月考）已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6.求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当y＝14时，x的值.
17．（【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第六章自我测评卷）对于函数y=(m-1)xm2+n，回答下列问题：
（1）当m，n为何值时，上述函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，上述函数是正比例函数？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A．是正比例函数，故本选项符合题意．
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】 根据正比例函数的定义判断即可解答．
2．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵3y-4与2x-5成正比例，
∴设3y-4=k（2x-5） （k≠0），
整理得：（k≠0），
∴y是x的一次函数 。
故答案为：B.
【分析】先根据正比例函数的定义，设3y-4=k（2x-5） （k≠0），再用x表示y，最后根据一次函数的定义，即可判断出答案。
3．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、当x=4时y=-3，
∴点（4，-3）在此函数图象上，故A符合题意；
B、当x=-8时，y=6，
∴点（-8，-6）不在此函数图象上，故B不符合题意；
C、当x=-2时，y=，
∴点（-2，1）不在此函数图象上，故C不符合题意；
D、当x=-3时，y=，
∴点（-3，4）不在此函数图象上，故B不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别将各选项中的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，据此可作出判断.
4．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；
长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；
圆的面积等于 与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；
弧长 ，半径确定的圆中， 是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正比例函数的定义计算即可。
5．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设y=k（x-3），
由题意得：6=k（5-3），
解得k=3，
∴y=3 (x-3)=3x-9 ，
∴y与x-3的正比例函数， y与x是一次函数关系，不是正比例函数关系.
故答案为：D.
【分析】设y=k（x-3），利用待定系数法求出函数解析式为y=3 (x-3)，则可判断y与x-3的正比例函数， y与x是一次函数关系，即可判断.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：当k=0时，①不是一次函数；②⑥属于一次函数；③④中x的指数为-1，不是一次函数；⑤中x的指数为2，不是一次函数.
故答案为：B.
【分析】一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），据此判断.
7．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】A.S=a2 ，不属于两个变量之间成正比例函数关系；
B.y= 16-2x ，不属于两个变量之间成正比例函数关系；
C.y=2n，属于两个变量之间成正比例函数关系；
D. 100=vt，不属于两个变量之间成正比例函数关系．
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数关系的定义求解即可。
8．【答案】A
【知识点】点的坐标；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：对方程组 通分化简得到
① -② 得， ③
对③式进行移项，因式分解得，
∴ 或
又∵ 在经过原点的一条直线l
∴ 与 是正比例函数关系，即
∴ ，即
代入 得
故答案为：A.
【分析】将方程组进行化简，得；再整理分解因式变形得，由此可证得2b-a=0或6b+3a+1=0，再根据点P（a，b）是经过原点的一条直线，可知b是x的正比例函数，即b=ka（k≠0）可得到a=2b，将其代入分式进行化简，可求出此分式的值.
9．【答案】-3；-2
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵
∴一次项系数为-3，常数项b为-2，
故答案为：-3，-2.
【分析】一次函数中，k为一次项系数，b为常数项，据此即可求解.
10．【答案】﹣1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：因为是x的一次函数，
可得：，
解得：．
故答案为：
【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的解析式为：列出关于m的不等式组为：，求出m的值即可．
11．【答案】1
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数 是正比例函数，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1．
【分析】根据函数 是正比例函数，即可得出m的值。
12．【答案】-1
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】由正比例函数的概念，得a2=1，且a+1≠0，b-2=0，解得a=1，b=2．所以(a- b)2021=(-1)2021=-1．
故答案为：-1.
【分析】形如y=kx（k≠0）的函数为正比例函数，根据定义可得a2=1，且a+1≠0，b-2=0，联立求解，再将a、b值代入原式计算即可.
13．【答案】-1
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵y=(m－1)x 是正比例函数，
∴ =1且m-1≠0，
解得：m=-1.
故答案为：-1
【分析】根据正比例函数的定义：y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，关键要注意k≠0，自变量的次数为1.
14．【答案】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得，，；
（2）解：当函数是正比例函数时，
，
解得，，．
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义可得 ，且， 再求出m、n的值即可；
（2）根据正比例函数的定义可得，再求出m、n的值即可.
15．【答案】解：∵ ， ， ， ， ，
∴路程÷时间＝速度（定值），比值一定，所以时间与路程成正比例关系．
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【分析】根据正比例函数的定义求解即可。
16．【答案】（1）解：设y﹣2＝kx（k≠0），则﹣6﹣2＝2k，
∴k＝﹣4，
∴y与x的函数关系式是：y＝﹣4x+2；
（2）解：当y＝14时，14＝﹣4x+2，
解得x＝﹣3.
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的一般形式“y=kx(k不为0，k为常数）”设解析式，再把x、y的值代入解析式计算可求解；
（2）由题意把y=1代入（1）中求得的解析式计算即可求解.
17．【答案】（1）解：当m2=1且m-1≠0时，y=(m-1)xm2+n是一次函数，解得m=-1，即当m=-1，n为任意实数时，y=(m-1)xm2+n是一次函数．
（2）解：当m2=1且m-1≠0且n=0时，y=(m-1)x+n是正比例函数，解得m=-1，即当m=-1且n=0时，y=(m-1)xm2+n是正比例函数．
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】(1)根据一次函数的定义可得： m2=1且m-1≠0时， 然后联立求出m的值，即可解答；
(2)根据正比例函数的定义可得： 当m2=1且m-1≠0且n=0时，联立求解即可.
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