3．1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程(1)
1. 了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程．理解椭圆标准方程的推导过程．
3. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
活动一 情境引入
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用．那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
活动二 理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
1. 椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________________叫做椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距．
思考1
(1) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
(2) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“小于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
2. 椭圆的标准方程
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，F1F2＝2c，椭圆上任意一点P到点F1，F2的距离之和为2a(2a>2c).思考下列问题：
(1) 观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
(2) 椭圆上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？
(5) 令a2－c2＝b2(b>0)，椭圆的方程可化为什么形式？
思考2
若椭圆的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考3
椭圆的标准方程有什么结构特征？
思考4
两种形式椭圆的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
活动三 掌握椭圆的标准方程的求法
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程．
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1) 定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(2) 设方程：根据上述判断设方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；
(3) 找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，且椭圆上的一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2) 经过两点(2，－)，(－1，).
活动四 认识椭圆的标准方程
例2 求下列椭圆的焦点坐标：
(1) ＋y2＝1； (2) 16x2＋9y2＝144.
首先把椭圆方程化为标准方程，然后确定其焦点所在的位置，根据方程求出半焦距c的值，从而写出焦点坐标．
(1) 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2) 若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，求实数k的值．
1. (2024滁州中学期末)已知椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
2. (2024濮阳期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线
3. (多选)已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为( )
A. B. C. D.
4. (2024北京师大附中期末)已知椭圆＋y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则点P到x轴的距离为________．
5. 求适合下列条件的椭圆的方程：
(1) 经过点P(3，0)，a＝3b；
(2) 焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，a＝5；
(3) 焦点在x轴上，焦距为4，且过点M(3，－2).【参考答案与解析】
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程(1)
【活动方案】
情境引入：略
探究：把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
1. 常数(大于F1F2) 两个定点 两焦点间的距离 一半
思考1：(1) 动点的轨迹是线段F1F2.
(2) 当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
2. (1) 以点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(2) PF1＋PF2＝2a(2a>2c).
(3) 设P(x，y)是椭圆上的任意一点，焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
则＋＝2a.
(4) 将代数式移项，两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，
两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，
两边同除以a2(a2－c2)，得＋＝1.
(5) ＋＝1(a>b>0).
思考2：设点P(x，y)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c).
根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，
即＋＝2a，
化简，得＋＝1(a>b>0).
思考3：方程的左边是两项平方和的形式，方程的右边是1.
思考4：相同点：在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0.
不同点：x2项与y2项对应的分母大小不同，焦点在x轴上的椭圆，x2项的分母较大；焦点在y轴上的椭圆，y2项的分母较大．
例1 因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆的定义，知2a＝＋＝2，
所以a＝.
又c＝2，
所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练 (1) 由题意，得椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，
所以a＝5，b＝＝＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 方法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
由已知条件，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
由已知条件，得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).
分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例2 (1) 因为a2＝9，b2＝1，
所以c2＝8，即c＝2，
所以椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0).
(2) 将椭圆方程化为标准方程＋＝1.
所以a2＝16，b2＝9，c＝＝，
所以椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，－).
跟踪训练 (1) 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以解得8故实数m的取值范围是(8，25).
(2) 将椭圆方程化成标准方程＋＝1，
因为椭圆的一个焦点坐标为(0，－4)，
所以－＝16，解得k＝.
故实数k的值为.
【检测反馈】
1. B 由已知，得椭圆＋＝1的焦点在x轴上，故a2＝m，b2＝4，c＝1，则a2＝c2＋b2＝5，即m＝5.
2. B 设椭圆的右焦点为F2.由题意，知PO＝MF2，PF1＝MF1.又MF1＋MF2＝2a，所以PO＋PF1＝a>c＝F1O，故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆．
3. BCD 设PF1＝m，PF2＝n，则m>0，n>0，且m＋n＝2a＝4，c＝＝.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝＝－1.因为mn≤＝4，所以cos ∠F1PF2≥－，当且仅当m＝n时取等号，故∠F1PF2的最大值为，所以∠F1PF2的大小可能为，，.故选BCD.
4. 设点P(m，n)，由椭圆＋y2＝1，得F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－m，－n)，＝(－m，－n).由∠F1PF2＝90°，得·＝(－－m)(－m)＋n2＝m2＋n2－3＝0.因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋n2＝1，即m2＝4(1－n2)，故m2＋n2－3＝4(1－n2)＋n2－3＝0，解得n2＝，故n＝±，故点P到x轴的距离为.
5. (1) 当焦点在x轴上时，由椭圆过点P(3，0)，知 a＝3.
因为a＝3b，所以b＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1；
当焦点在y轴上时，由椭圆过点P(3，0)，知b＝3，
所以a＝9，
所以椭圆的方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2) 由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且c＝3，a＝5，
所以b2＝16，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(3) 由题意，知c＝2，则焦点坐标为(2，0)，(－2，0).
因为椭圆经过点M(3，－2)，所以2a＝＋＝12，
即a＝6，所以b2＝32，
所以椭圆的方程为＋＝1.(共40张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程．理解椭圆标准方程的推导过程．
3. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
活 动 方 案
活动一 情境引入
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用．那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
【解析】 略
活动二 理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
【解析】 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
1. 椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_________________的点的轨迹叫做椭圆，这____________叫做椭圆的焦点，_________________叫做椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距．
常数(大于F1F2)
两个定点
两焦点间的距离
一半
思考1
(1) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
(2) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“小于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
【解析】 动点的轨迹是线段F1F2.
【解析】 当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
2. 椭圆的标准方程
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，F1F2＝2c，椭圆上任意一点P到点F1，F2的距离之和为2a(2a>2c)．思考下列问题：
(1) 观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
【解析】 以点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(2) 椭圆上的点满足的几何条件是什么？
【解析】 PF1＋PF2＝2a(2a>2c)．
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
【解析】 设P(x，y)是椭圆上的任意一点，焦点F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，
(4) 如何化简这个代数式？
【解析】 将代数式移项，两边平方，得
两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，
(5) 令a2－c2＝b2(b>0)，椭圆的方程可化为什么形式？
思考2
若椭圆的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
【解析】 设点P(x，y)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)．
根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，
思考3
椭圆的标准方程有什么结构特征？
【解析】 方程的左边是两项平方和的形式，方程的右边是1.
思考4
两种形式椭圆的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
【解析】 相同点：在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0.
不同点：x2项与y2项对应的分母大小不同，焦点在x轴上的椭圆，x2项的分母较大；焦点在y轴上的椭圆，y2项的分母较大．
活动三 掌握椭圆的标准方程的求法
【解析】 因为椭圆的焦点在x轴上，
又c＝2，
所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，
反思与感悟
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1) 定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(3) 找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4，0)，且椭圆上的一点P与两焦点的距离的和等于10；
【解析】 (1) 由题意，得椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，
方法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
活动四 认识椭圆的标准方程
例2 求下列椭圆的焦点坐标：
(2) 16x2＋9y2＝144.
【解析】 (1) 因为a2＝9，b2＝1，
反思与感悟
首先把椭圆方程化为标准方程，然后确定其焦点所在的位置，根据方程求出半焦距c的值，从而写出焦点坐标．
(2) 若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，求实数k的值．
【解析】 (1) 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，
故实数m的取值范围是(8,25)．
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
A. 3 B. 5
C. 6 D. 9
【答案】 B
2
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5
1
3
A. 圆 B. 椭圆
C. 线段 D. 直线
【答案】 B
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【答案】 BCD
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5. 求适合下列条件的椭圆的方程：
(1) 经过点P(3,0)，a＝3b；
(2) 焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，a＝5；
2
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3
1
【解析】 (1) 当焦点在x轴上时，由椭圆过点P(3,0)，知 a＝3.
2
4
5
3
1
(2) 由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且c＝3，a＝5，
谢谢观看
Thank you for watching
