3．1.1 椭圆及其标准方程(2)
1. 能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．
2. 能根据椭圆的标准方程求解有关问题，进一步体会数形结合的思想．
活动一 掌握求椭圆标准方程的常见方法
椭圆的标准方程：
例1 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．)
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
1. 对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，那么可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
2. 代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
已知圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相切，切点为M，求动圆的圆心P的轨迹方程．
活动二 掌握椭圆定义的简单应用
例3 (1) 过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_______________；
(2) 焦距为2，且过点(，)的椭圆的标准方程为____________________；
(3) 经过两点(，)，(，1)的椭圆的标准方程为____________________．
例4 已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，求点P到另一个焦点的距离．
例5 已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长为__________．
思考
你能将此题的结论推广到一般情形吗？
例6 已知椭圆的方程为＋＝1，若P为椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
1. (2024邯郸期末)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是该椭圆上的动点，点Q(2，1)，则PF1＋PQ的最大值是( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2. (2024分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，2)，则△APF的周长的最大值为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
3. (多选)(2024福州一中期末)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点P，使得∠F1PF2＝75° B. PF1＋PF2＝4
C. △PF1F2的面积的最大值为2 D. 1≤PF1≤3
4. 在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．
5. (2023重庆黔江阶段练习)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝，圆F2：(x－1)2＋y2＝，动圆P以点P为圆心，且与圆F1外切，与圆F2内切．
(1) 求点P的轨迹C的方程；
(2) 已知M(x，y)为轨迹C上的任意一点，求x2＋y2的最大值．【参考答案与解析】
3．1.1 椭圆及其标准方程(2)
【活动方案】
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
例1 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0，y0), 则点D的坐标为(x0，0).
由M是线段PD的中点，得x＝x0，y＝.
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4. ①
将x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，
即＋y2＝1，
所以点M的轨迹是椭圆．
例2 设点M的坐标为(x，y).
因为点A的坐标是(－5，0)，
所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－5).
同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠5).
由题意，得×＝－(x≠±5)，
化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±5).
故点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆．
跟踪训练 由题意，得动点P到定点A(－3，0)和定圆圆心B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8>AB＝6，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，2a＝8的椭圆，
所以b＝＝，
所以点P的轨迹方程为＋＝1.
例3 (1) ＋＝1 由题意，得所求椭圆的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0).因为所求椭圆过点(－3，2)，所以＋＝1.又a2－b2＝c2＝5，所以联立上述两式，解得b2＝10，a2＝15，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) ＋＝1或＋＝1 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由题意，得2c＝2，即c＝.又椭圆过点(，)，所以＋＝1，联立解得所以椭圆的标准方程为＋＝1；同理可得，若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1.
(3) x2＋＝1 设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m，n为正数，且m≠n).由题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
例4 由题意，得a＝5，由椭圆的定义可得，点P到另一个焦点的距离为2×5－3＝7.
例5 4 由题意，得a＝.设直线BC过椭圆的焦点F2，则AB＋BF2＝2a＝2，AC＋CF2＝2a＝2，所以△ABC的周长为AB＋BF2＋CF2＋AC＝4.
思考：若一个三角形的一个顶点与椭圆的一个焦点重合，另外两个顶点在椭圆上，且两点的连线过椭圆的另一个焦点，则这个三角形的周长为4a.
例6 由＋＝1，得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，
所以F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos ∠PF1F2，即PF＝PF＋4＋2PF1.①
由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝4.②
由①②可得PF1＝，
所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin ∠PF1F2＝××2×＝.
【检测反馈】
1. A 由题意，得a＝4，b＝2，c＝2，所以PF1＋PF2＝2a＝8，PF1＋PQ＝8－PF2＋PQ.又PQ－PF2≤F2Q，即PQ－PF2≤1，故PF1＋PQ≤9，当且仅当P是QF2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，即PF1＋PQ的最大值是9.
2. D 由椭圆方程＋＝1，得a＝3，b＝，c＝＝2，则F(2，0)，所以AF＝4.设椭圆的左焦点为F′，则△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2a－PF′＝4＋6＋AP－PF′≤10＋AF′，当且仅当A，P，F′三点共线，且点P在AF′的延长线上时取等号．因为A(0，2)，F′(－2，0)，所以AF′＝4，所以△APF的周长的最大值为14.
3. BD 由题意，得a＝2，b＝，c＝1，所以PF1＋PF2＝2a＝4，△PF1F2的面积的最大值为×2c×b＝，故B正确，C错误；对于A，cos ∠F1PF2＝＝＝－1，又PF1·PF2≤＝4，当且仅当PF1＝PF2＝2，等号成立，所以cos ∠F1PF2＝－1≥－1＝，所以∠F1PF2≤＝60°，故A错误；对于D，a－c＝1≤PF1≤3＝a＋c，故D正确．故选BD.
4. 由椭圆方程，得a＝5，b＝4，c＝3.因为△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，所以BC＋AB＝2a＝10，所以由正弦定理可知＝＝＝.
5. (1) 设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r.
由题意，得F2P＝－r，F1P＝＋r，
所以F1P＋F2P＝4>F1F2，
所以动圆的圆心P的轨迹是焦点为F1，F2，长轴长为4的椭圆，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，
故轨迹C的方程为＋＝1.
(2) 由(1)，得＋＝1，且－≤y≤，
所以x2＋y2＝4－＋y2＝4－≤4，
当y＝0时，x2＋y2取得最大值，最大值为4.(共32张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．
2. 能根据椭圆的标准方程求解有关问题，进一步体会数形结合的思想．
活 动 方 案
活动一 掌握求椭圆标准方程的常见方法
椭圆的标准方程：
例1 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．)
【解析】 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0，y0), 则点D的坐标为(x0, 0)．
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
将x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，
所以点M的轨迹是椭圆．
【解析】 设点M的坐标为(x，y)．
因为点A的坐标是(－5,0)，
故点M的轨迹是除去(－5,0)，(5,0)两点的椭圆．
反思与感悟
1. 对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，那么可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
2. 代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
已知圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相切，切点为M，求动圆的圆心P的轨迹方程．
【解析】 由题意，得动点P到定点A(－3,0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8>AB＝6，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，2a＝8的椭圆，
活动二 掌握椭圆定义的简单应用
【解析】 由题意，得a＝5，由椭圆的定义可得，点P到另一个焦点的距离为2×5－3＝7.
思考
你能将此题的结论推广到一般情形吗？
【解析】 若一个三角形的一个顶点与椭圆的一个焦点重合，另外两个顶点在椭圆上，且两点的连线过椭圆的另一个焦点，则这个三角形的周长为4a.
由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝4.②
检 测 反 馈
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A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
【答案】 A
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(1) 求点P的轨迹C的方程；
(2) 已知M(x，y)为轨迹C上的任意一点，求x2＋y2的最大值．
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【解析】 (1) 设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r.
所以F1P＋F2P＝4>F1F2，
所以动圆的圆心P的轨迹是焦点为F1，F2，长轴长为4的椭圆，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，
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当y＝0时，x2＋y2取得最大值，最大值为4.
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