【参考答案与解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(1)
【活动方案】
1. 略
2. 略
思考1：(1) 椭圆上的点都在一个特定的矩形内．
(2) －a≤x≤a －b≤y≤b
思考2：(1) 椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
(2) 方程不发生变化，说明椭圆关于y轴，x轴或原点对称．
思考3：(1) 与x轴和y轴的交点比较特殊．
(2) 椭圆与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)，与y轴的交点为(0，－b)，(0，b).
结论：椭圆的顶点为(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b).椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，a，b，c的几何意义分别是椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距．
思考4：略
定义：把椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记为e.
探究：e∈(0，1).当越接近于0时，椭圆越接近于圆；当越接近于1时，椭圆越扁平，也就是说随着的增大，椭圆越来越扁平．
小结 填表略
例1 将原方程化成标准方程，得＋＝1，
所以a＝5，b＝4，c＝＝3，
所以椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4).
跟踪训练 由已知，得＋＝1(m>0).
因为0，
所以椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，(0，)，离心率e＝＝＝.
例2 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得b＝c，a－c＝－.
因为a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝c＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
【检测反馈】
1. A 由题意，得e＝＝，解得a＝.
2. D 因为x2＋my2＝1，所以x2＋＝1.因为焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1，所以＝2，解得m＝.
3. AC 由F1F2＝2c＝2，得c＝1.由△ABF2的周长为4a＝8，得a＝2，故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的离心率为e＝，故A正确，B错误；当AB⊥x轴时，ABmin＝＝3，且AB<2a＝4，所以3≤AB<4，故AB可以为π，故C正确；由椭圆性质知当A为椭圆上下顶点时，∠BAF2最大，此时cos ∠BAF2＝＝.又∠BAF2∈(0，π)，故(∠BAF2)max＝，即∠BAF2不可能为直角，故D错误．故选AC.
4. 2 由题意，得2c＝4，即c＝2.又＝，所以a＝3，所以b＝＝，故椭圆的短轴长为 2b＝2.
5. (1) 当椭圆焦点在x轴上时，设其标准方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由椭圆过点A(5，0)，得a1＝5，
由椭圆的长轴长是短轴长的5倍，得b1＝a1＝1，
则所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当焦点在y轴上时，设其标准方程为＋＝1(a2>b2>0)，
由椭圆过点A(5，0)，得b2＝5，
由椭圆的长轴长是短轴长的5倍，得a2＝5b2＝25，
则所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2) 令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.
由2c＝12，得c＝6.
由离心率e＝，得＝，即a＝10，
所以椭圆的短半轴长b＝＝8.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(共32张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握椭圆简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点、离心率．
2. 感受运用方程研究曲线的几何性质的方法，体会数与形的转化思想．
活 动 方 案
活动一 掌握椭圆的简单几何性质
1. 复习椭圆的标准方程：
【解析】 略
2. 利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质：
【解析】 略
思考1
【解析】 椭圆上的点都在一个特定的矩形内．
【解析】 －a≤x≤a
类比能求出y的取值范围吗？
【解析】 －b≤y≤b
思考2
【解析】 椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
(2) 在椭圆的标准方程中，将x换成－x，将y换成－y，或同时把x，y分别换成－x，－y时，方程是否发生变化？这说明什么样的问题？
【解析】 方程不发生变化，说明椭圆关于y轴，x轴或原点对称．
思考3
【解析】 与x轴和y轴的交点比较特殊．
(2) 根据方程写出椭圆与坐标轴的交点坐标．
【解析】 椭圆与x轴的交点为(－a,0)，(a,0)，与y轴的交点为(0，－b)，(0，b)．
结论：椭圆的顶点：
【解析】 椭圆的顶点为(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)．
椭圆的长轴：
【解析】 椭圆的长轴长为2a
椭圆的短轴：
【解析】 短轴长为2b
结合图形，思考a，b，c的几何意义分别为什么？
【解析】 a，b，c的几何意义分别是椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距．
思考4
圆的形状都是相同的，而有些椭圆却比较“扁”，有些椭圆比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度？
【解析】 略
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度．
定义：椭圆的离心率
探究：椭圆的离心率的取值范围是什么？离心率的变化如何影响椭圆的形状？
完成下列表格：
【解析】 填表略
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
反思与感悟
讨论椭圆的几何性质时，一定要将椭圆方程化为标准方程，标准方程能将参数的几何意义凸显出来．另外，要抓住椭圆中a2－b2＝c2这一核心关系式．
求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
活动二 掌握椭圆的几何性质的简单应用
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
【答案】 A
【答案】 D
2
4
5
1
3
2. 若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 AC
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
5. (2024全国专题练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
(2) 令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.
由2c＝12，得c＝6.
谢谢观看
Thank you for watching3．1.2 椭圆的简单几何性质(1)
1. 掌握椭圆简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点、离心率．
2. 感受运用方程研究曲线的几何性质的方法，体会数与形的转化思想．
活动一 掌握椭圆的简单几何性质
1. 复习椭圆的标准方程：
2. 利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质：
思考1
(1) 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？
(2) 将椭圆的标准方程进行变形，移项，得＝1－，你能探索出x的取值范围吗？
类比能求出y的取值范围吗？
思考2
(1) 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它具有怎样的对称性？
(2) 在椭圆的标准方程中，将x换成－x，将y换成－y，或同时把x，y分别换成－x，－y时，方程是否发生变化？这说明什么样的问题？
思考3
(1) 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你认为椭圆上哪些点比较特殊？
(2) 根据方程写出椭圆与坐标轴的交点坐标．
结论：椭圆的顶点：
椭圆的长轴：
椭圆的短轴：
结合图形，思考a，b，c的几何意义分别为什么？
思考4
圆的形状都是相同的，而有些椭圆却比较“扁”，有些椭圆比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度？
实验：如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的长半轴长为a，半焦距为c.利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平．类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变．
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度．
定义：椭圆的离心率
探究：椭圆的离心率的取值范围是什么？离心率的变化如何影响椭圆的形状？
完成下列表格：
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标
离心率
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
讨论椭圆的几何性质时，一定要将椭圆方程化为标准方程，标准方程能将参数的几何意义凸显出来．另外，要抓住椭圆中a2－b2＝c2这一核心关系式．
求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
活动二 掌握椭圆的几何性质的简单应用
例2 已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
1. (2024淮北实验高级中学期末)已知椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a的值为( )
A. B. C. D. 2
2. 若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A. 2 B. C. 4 D.
3. (多选)(2024厦门一模)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，若F1F2＝2，且△ABF2的周长为8，则下列结论中正确的是( )
A. a＝2 B. 椭圆C的离心率为
C. AB可以为π D. ∠BAF2可以为直角
4. 若椭圆的焦距为4，离心率为，则椭圆的短轴长为________．
5. (2024全国专题练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
(2) 离心率e＝，焦距为12.
