【参考答案与解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(2)
【活动方案】
例1 (1) 由题意，得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2) 由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝12，QF1＋QF2＝2a＝12，
所以△PQF1的周长为PF1＋PF2＋QF1＋QF2＝24.
例2 由题意，得解得
所以椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
例3 4或 若m<5，则a2＝5，b2＝m，c2＝5－m.因为＝，所以＝，解得m＝4；若m>5，则a2＝m，b2＝5，c2＝m－5.因为＝，所以＝，解得m＝.综上，m的值为4或.
例4 由题意，得F1F2＝PF2＝2c，
所以PF1＝2c，
所以PF1＋PF2＝2c＋2c.
又因为PF1＋PF2＝2a，
所以2c＋2c＝2a，
所以＝－1，
故椭圆的离心率为－1.
跟踪训练 (1) 因为∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，所以∠F1PF2＝90°，△PF1F2为直角三角形．设PF1＝m，PF2＝n，F1F2＝2c，则n＝2csin 75°，m＝2csin 15°.又PF1＋PF2＝m＋n＝2a，所以2csin 15°＋2csin 75°＝2a，所以e＝＝＝.
(2) 因为·＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M的轨迹是以坐标原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．因为点M总在椭圆内部，所以该圆内含于椭圆，所以c
例5 建立如图所示的平面直角坐标系， 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
在Rt△BF1F2中，F2B＝＝.
由椭圆的性质知，F1B＋F2B＝2a，所以a＝(F1B＋F2B)＝×(2.8＋)≈4.1，
b＝＝≈3.4，
所以所求的椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，
则a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，
所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，
所以b＝＝≈7 721，
所以卫星运行的轨道方程是＋＝1.
【检测反馈】
1. D 由题意，得＝4，2c＝2.又c2＝a2－b2，所以b＝1，a＝4，故椭圆方程为x2＋＝1.
2. A 因为∠F1MF2的平分线交线段F1F2于点N，所以∠F1MN＝∠NMF2，所以由正弦定理，得＝，＝.又sin ∠MNF1＝sin ∠MNF2，sin ∠F1MN＝sin ∠F2MN，所以＝，即＝，不妨设MF2＝x，NF1＝n，则＝，解得x＝，所以＝＝＝＝.由题意，得a＝，b＝1，所以＝＝，即＝.
3. BCD 设椭圆的焦距为2c(c>0).由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a.又PF1＝3PF2，所以PF1＝，PF2＝.由题意，得解得≥.又0<<1，所以≤<1，所以该椭圆离心率的取值范围是.故选BCD.
4. ＋＝1 由题意，得椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).因为椭圆C的离心率为，所以e＝＝，又c2＝a2－b2，则＝1－＝，解得a＝3b①.因为椭圆的面积为6π，所以abπ＝6π，即ab＝6②，联立①②，解得a2＝18，b2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
5. 设火星探测器的轨道方程为＋＝1(a>b>0).
因为a＋c＝8.34×104，a－c＝4.2×103，
所以a＝4.38×104，c＝3.96×104，
所以b2＝a2－c2＝3.502 8×108，
所以所求轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，则x＋y＝ab≈8.197 5×108，＋＝1，解方程组，得x0≈23 965，y0≈156 66，
所以探测器在变轨时与火星表面的距离为－R≈18 700，
所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 18 700 km.(共28张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 巩固椭圆的简单几何性质．
2. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活 动 方 案
活动一 利用椭圆的性质求椭圆方程
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求△PQF1的周长．
(2) 由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝12，QF1＋QF2＝2a＝12，
所以△PQF1的周长为PF1＋PF2＋QF1＋QF2＝24.
活动二 理解椭圆的离心率
例4 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
【解析】 由题意，得F1F2＝PF2＝2c，
又因为PF1＋PF2＝2a，
所以2c＋2c＝2a，
活动三 应用椭圆的几何性质解决简单的实际问题
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，F1B＝2.8 cm，F1F2＝4.5 cm.试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．(精确到0.1 cm)
反思与感悟
解决实际问题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，然后利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1) 建系；
(2) 确定焦点位置；
(3) 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(4) 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．
我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6 371 km.求卫星运行的轨道方程．(精确到1 km)
由题意，知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，
则a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，
所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
【答案】 D
2
4
5
1
3
【答案】 A
2
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1
【答案】 BCD
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1
2
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1
2
4
5
3
1
因为a＋c＝8.34×104，a－c＝4.2×103，
所以a＝4.38×104，c＝3.96×104，
所以b2＝a2－c2＝3.502 8×108，
所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 18 700 km.
谢谢观看
Thank you for watching3．1.2 椭圆的简单几何性质(2)
1. 巩固椭圆的简单几何性质．
2. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活动一 利用椭圆的性质求椭圆方程
例1 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，长轴长为12.F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且过点F2的直线与椭圆交于P，Q两点．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求△PQF1的周长．
例2 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在坐标轴上，离心率为，短轴长为4，求椭圆的方程．
活动二 理解椭圆的离心率
例3 已知椭圆＋＝1的离心率为e＝，则m＝__________．
例4 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
(1) 设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为焦点，若∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________；
(2) 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
活动三 应用椭圆的几何性质解决简单的实际问题
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，F1B＝2.8 cm，F1F2＝4.5 cm.试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．(精确到0.1 cm)
解决实际问题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，然后利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1) 建系；
(2) 确定焦点位置；
(3) 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(4) 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．
我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6 371 km.求卫星运行的轨道方程．(精确到1 km)
1. (2024北京十五中期中)焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4∶1，焦距为2的椭圆方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋y2＝1 D. x2＋＝1
2. (2024太原期末)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上异于长轴端点的任意一点，∠F1MF2的平分线交线段F1F2于点N，则的值为( )
A. B. C. D.
3. (多选)在平面直角坐标系Oxy中，若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. 3－6 D.
4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为________．
5. 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝3 400 km)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为800 km，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为80 000 km.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为 km时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离．(精确到100 km)