【参考答案与解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(3)
【活动方案】
例1 如图，设d是点M到直线l：x＝的距离．
根据题意，得动点M的轨迹就是集合
P＝.
由此，得＝.
将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，
即＋＝1，
所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．
跟踪训练 (1) 设点P(x0，y0)(－a≤x0≤a)，
则＋＝1，
PF＝＝
＝＝，
而a－c≤a－x0≤a＋c，所以PF＝a－x0.
又因为点P到直线x＝的距离为d＝－x0，
所以＝＝＝e＝，
即点P到点F的距离与点P到直线x＝的距离之比为定值.
(2) 由(1)可得，若c＝1，则a＝2，所以b＝，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
假设存在这样的点Q(0，t)，设直线l的方程为y＝kx＋1，点M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝(8k)2－4(3＋4k2)×(－8)＝192k2＋96>0，
所以k∈R.
因为y轴平分∠MQN，
所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即kQM＋kQN＝＋＝＝0，
即2kx1x2＋(1－t)(x1＋x2)＝0，
即2k·＋(1－t)＝0，
化简，得2k＋(1－t)k＝k(3－t)＝0.
因为k∈R，所以t＝3，
即存在点Q(0，3)，使得y轴始终平分∠MQN.
例2 由方程组消去y并整理，得25x2＋8mx＋m2－225＝0.①
方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).
(1) 由Δ>0，得－25
此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2) 由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25，
此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 由Δ<0，得m<－25或m>25，
此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．
跟踪训练1 因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0，1)，
所以当点(0，1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
所以≤1，即m≥1.
当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．
综上，实数m的取值范围为[1，5)∪(5，＋∞).
跟踪训练2 (1) 由题意，得A(－a，0)，B(0，b)，设 F(－c，0).
因为OA＝2OB，所以a＝2b，
所以e＝＝＝＝.
(2) 由(1)，得a＝2c，b＝c，
所以椭圆方程可设为＋＝1(c>0)，直线l的方程为y＝(x＋c)，圆心C(4，m).
由消去y并整理，得7x2＋6cx－13c2＝0，即(7x＋13c)(x－c)＝0，
所以x＝－或x＝c.
当x＝－时，y＝－；当x＝c时，y＝.
又点P在x轴上方，所以P.
因为OC∥AP，所以∥.
因为＝(4，m)，＝＝，
所以4×＝3c·m，所以m＝2，
所以点C的坐标为(4，2).
由圆C同时与x轴和直线l相切，得圆C的半径为2，
所以点C(4，2)到直线l的距离d＝＝2，解得c＝2(负值舍去)，
所以a＝4，b＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
【检测反馈】
1. A 因为点F(－c，0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(0，c)，且点A在椭圆C上，所以b2＝c2，即c＝b，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
2. B 由mx＋y＋2m＝1，得m(x＋2)＋y－1＝0，令解得则直线l过定点(－2，1)，将该点代入椭圆方程，得＋＝<1，所以该定点在椭圆内，则直线l与椭圆C相交．
3. AD 设两点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).联立椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0的方程，消去y并整理，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，由判别式Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)>0，得m2<5，即－4. 取AP的中点Q，连接FQ，如图，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即FA＝FP，且FA＝＝a，所以FP＝a.又点P在右准线x＝上，所以FP≥－c，即a≥－c，所以≥－1，即e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又05. (1) 因为CP＝QC＋QP＝4，QP＝QA，
所以QC＋QA＝4.
因为QC＋QA>CA＝2，所以点Q与两个定点C，A的距离的和等于常数(大于CA).
由椭圆的定义，得点Q的轨迹是以C，A为焦点，长轴长等于4的椭圆．
(2) 以线段CA的中点为坐标原点O，以过点C，A的直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义，得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，
则椭圆的标准方程为＋＝1.
当CP⊥CA时，点P的坐标为(－1，4)和(－1，－4).
当点P的坐标为(－1，4)时，因为点A的坐标为(1，0)，所以线段PA的中点坐标为(0，2)，直线AP的斜率为＝－2，则直线l的方程y＝x＋2.
联立消去y并整理，得x2＋2x＋1＝0，则Δ＝4－4＝0，
所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切．
当点P的坐标为(－1，－4)时，因为点A的坐标为(1，0)，所以线段PA的中点坐标为(0，－2)，直线AP的斜率为＝2，
则直线l的方程y＝－x－2.
联立消去y并整理，得x2＋2x＋1＝0，则Δ＝4－4＝0，
所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切．
综上，直线l与点Q形成的轨迹相切．(共40张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质(3)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 进一步掌握椭圆的方程及其几何性质的应用．
2. 会判断直线与椭圆的位置关系．
活 动 方 案
活动一 椭圆的第二定义
所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆．
反思与感悟
椭圆的形成除了用平面的两个定点来形成以外，也可以用平面内的一个定点和一条不经过定点的定直线来形成，当然也可以用其他的条件来形成椭圆．
椭圆准线的定义：
(2) 设c＝1，过定点(0，c)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1) 设点P(x0，y0)(－a≤x0≤a)，
假设存在这样的点Q(0，t)，设直线l的方程为y＝kx＋1，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
Δ＝(8k)2－4(3＋4k2)×(－8)＝192k2＋96>0，所以k∈R.
因为y轴平分∠MQN，
所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即2kx1x2＋(1－t)(x1＋x2)＝0，
化简，得2k＋(1－t)k＝k(3－t)＝0.
因为k∈R，所以t＝3，
即存在点Q(0,3)，使得y轴始终平分∠MQN.
活动二 直线与椭圆的位置关系
(1) 有两个公共点？
(2) 有且只有一个公共点？
(3) 没有公共点？
方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)．
(1) 由Δ>0，得－25此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2) 由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25，
此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 由Δ<0，得m<－25或m>25，
此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．
反思与感悟
判断直线与椭圆的位置关系：
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，此时Δ>0 直线与椭圆相交；Δ＝0 直线与椭圆相切；Δ<0 直线与椭圆相离．
【解析】 因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，
综上，实数m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．
【解析】 (1) 由题意，得A(－a,0)，B(0，b)，设 F(－c，0)．
所以点C的坐标为(4,2)．
由圆C同时与x轴和直线l相切，得圆C的半径为2，
检 测 反 馈
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【答案】 A
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A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 不能确定
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【答案】 B
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【答案】 AD
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5. (2024台州期末)如图，圆C的半径为4，A是圆内一个定点且CA＝2，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，点P在圆上运动．
(1) 求点Q的轨迹；
(2) 当CP⊥CA时，证明：直线l与点Q形成的轨迹相切．
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【解析】 (1) 因为CP＝QC＋QP＝4，QP＝QA，
所以QC＋QA＝4.
因为QC＋QA>CA＝2，所以点Q与两个定点C，A的距离的和等于常数(大于CA)．
由椭圆的定义，得点Q的轨迹是以C，A为焦点，长轴长等于4的椭圆．
(2) 以线段CA的中点为坐标原点O，以过点C，A的直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
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所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切．
当点P的坐标为(－1，－4)时，因为点A的坐标为(1,0)，
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所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切．
综上，直线l与点Q形成的轨迹相切．
谢谢观看
Thank you for watching3．1.2 椭圆的简单几何性质(3)
1. 进一步掌握椭圆的方程及其几何性质的应用．
2. 会判断直线与椭圆的位置关系．
活动一 椭圆的第二定义
例1 动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和点M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
椭圆的形成除了用平面的两个定点来形成以外，也可以用平面内的一个定点和一条不经过定点的定直线来形成，当然也可以用其他的条件来形成椭圆．
椭圆准线的定义：
若点M(x，y)与定点F(c，0)(或F′(－c，0))的距离和它到定直线l：x＝(或l′：x＝－)的距离的比是常数(0 (2023南阳期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，离心率e＝.
(1) 若P为椭圆C上一动点，证明：点P到点F的距离与点P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值；
(2) 设c＝1，过定点(0，c)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
活动二 直线与椭圆的位置关系
例2 如图，已知直线l：4x－5y ＋m＝0和椭圆C：＋＝1.当m为何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个公共点？
(2) 有且只有一个公共点？
(3) 没有公共点？
判断直线与椭圆的位置关系：
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，此时Δ>0 直线与椭圆相交；Δ＝0 直线与椭圆相切；Δ<0 直线与椭圆相离．
若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，OA＝2OB(O为坐标原点).
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 设经过点F，且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆心C在直线x＝4上的圆C同时与x轴和直线l相切，且OC∥AP，求椭圆的方程．
1. 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若点F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. －1 D. －1
2. (2024重庆学业水平调研)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不能确定
3. (多选)(2024开封期末)已知椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0相交于两个不同的点A，B，M为线段AB的中点，则下列结论中正确的是( )
A. －
C. 弦长AB的最大值为 D. 点M一定在直线x＋4y＝0上
4. (2024邵阳期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线l：x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
5. (2024台州期末)如图，圆C的半径为4，A是圆内一个定点且CA＝2，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，点P在圆上运动．
(1) 求点Q的轨迹；
(2) 当CP⊥CA时，证明：直线l与点Q形成的轨迹相切．