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第三章
圆锥曲线的方程
3.2 双 曲 线
3.2.1 双曲线及其标准方程(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 了解双曲线的定义．
2. 掌握双曲线的标准方程及其求法．
3. 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
活 动 方 案
活动一 了解双曲线的定义，理解双曲线标准方程
1. 情景导学
双曲线型自然通风冷却塔 台灯
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以点F2为圆心，线段PB为半径作圆．
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|PA－PB|≤F1F2＜AB，那么两圆交点的轨迹是椭圆．
如图，在AB【解析】 我们发现，在AB2. 双曲线的定义
3. 理解双曲线的标准方程
思考1
双曲线与椭圆从定义上看极为相似，那么类比椭圆标准方程的推导，能否得到双曲线的标准方程？
(1) 如何建立坐标系？建立坐标系的依据是什么？
【解析】 以点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，依据：双曲线的对称性，且直线F1F2是它的一条对称轴．
(2) 双曲线上的点满足的几何条件是什么？
【解析】 双曲线上的点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数．
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？
思考2
若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考3
双曲线的标准方程有什么结构特征？
【解析】 略
思考4
两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
【解析】 略
思考5
双曲线中a, b, c满足怎样的关系？椭圆中a, b, c满足怎样的关系？
【解析】 双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.
活动二 掌握双曲线的标准方程的求法
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离的差的绝对值为8，求双曲线的方程．
【解析】 由题意，得c＝5,2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因为焦点在x轴上，
变式 若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？
【解析】 若PF1－PF2＝8，
若PF2－PF1＝8，
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
思考6
若已知条件中焦点所在的位置没有明确，则结果如何？
【解析】 应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．
【解析】 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值.
活动三 理解双曲线的标准方程
【解析】 由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－2)∪(－1，＋∞)
【答案】 (－2,2)
检 测 反 馈
【答案】 A
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1. 焦点分别为(－2,0)，(2,0)，且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
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【解析】 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
2. (2024全国专题练习)相距4k km的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2s，若声速每秒k km，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A. 双曲线的一支 B. 双曲线
C. 椭圆 D. 圆
【答案】 B
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1
3. (多选)(2024福州期末)已知方程(m－1)x2＋(4－m)y2＝(m－1)(4－m)表示曲线Γ，则下列结论中正确的是( )
A. 若m＝1，则Γ是y轴
B. 若m＝2.5，则Γ是圆
C. 若1D. 若Γ是双曲线，则m<1
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【答案】 BC
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【答案】 (－∞，－2)∪(4，＋∞) (－2,1)∪(1,4)
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5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 焦点为(0,6)，(0，－6)，a＝3；
【解析】 (1) 由题意，得双曲线焦点在y轴上，c＝6，a＝3，
所以b2＝c2－a2＝27，
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(2) 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
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谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．2 双 曲 线
3.2.1 双曲线及其标准方程(1)
【活动方案】
1. 我们发现，在AB思考1：(1) 以点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，依据：双曲线的对称性，且直线F1F2是它的一条对称轴．
(2) 双曲线上的点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数．
(3) 设P(x，y)为双曲线上的任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则|－|＝2a.
(4) 化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
令c2－a2＝b2(b>0)，则－＝1(a>0，b>0).
思考2：－＝1(a>0，b>0)，推导略．
思考3：略
思考4：略
思考5：双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.
例1 由题意，得c＝5，2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因为焦点在x轴上，
所以双曲线的方程为－＝1.
变式 若PF1－PF2＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≥4).
若PF2－PF1＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≤－4).
例2 (1) 由题意，得双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 因为双曲线的焦点在y轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
由题意，知a＝2，且双曲线过点A(2，－5)，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的标准方程为－＝1.
因为双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
所以c＝2.
又a＝2，所以b2＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
思考6：应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．
跟踪训练 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
因为双曲线经过，两点，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例3 (1) (－∞，－2)∪(－1，＋∞) 由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
(2) (－2，2) 由题意，得解得－2【检测反馈】
1. A 由双曲线的定义知，2a＝－＝5－3＝2，所以a＝1.又c＝2，所以 b2＝c2－a2＝4－1＝3，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
2. B 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
3. BC 若m＝1，方程为y＝0，则Γ是x轴，故A错误；若m＝2.5，方程为x2＋y2＝，则Γ是圆，故B正确；若10，4－m>0，且m－1≠4－m，则Γ是椭圆，故C正确；若Γ是双曲线，则(m－1)(4－m)<0，得m<1或m>4，故D错误．故选BC.
4. (－∞，－2)∪(4，＋∞) (－2，1)∪(1，4) 当方程为双曲线时，(m＋2)(4－m)<0，解得m<－2或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)；当方程为椭圆时，解得即实数m的取值范围为(－2，1)∪(1，4).
5. (1) 由题意，得双曲线焦点在y轴上，c＝6，a＝3，
所以b2＝c2－a2＝27，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0).
因为双曲线过点(3，－4)和点，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 因为双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，
所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，c＝3.
又因为双曲线过点(，4)，
所以解得
故双曲线的标准方程为－＝1.3．2 双 曲 线
3.2.1 双曲线及其标准方程(1)
1. 了解双曲线的定义．
2. 掌握双曲线的标准方程及其求法．
3. 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
活动一 了解双曲线的定义，理解双曲线标准方程
1. 情景导学
双曲线型自然通风冷却塔 台灯
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以点F2为圆心，线段PB为半径作圆．
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|PA－PB|≤F1F2＜AB，那么两圆交点的轨迹是椭圆．
如图，在AB2. 双曲线的定义
3. 理解双曲线的标准方程
思考1
双曲线与椭圆从定义上看极为相似，那么类比椭圆标准方程的推导，能否得到双曲线的标准方程？
(1) 如何建立坐标系？建立坐标系的依据是什么？
(2) 双曲线上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？
思考2
若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考3
双曲线的标准方程有什么结构特征？
思考4
两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
思考5
双曲线中a，b，c满足怎样的关系？椭圆中a，b，c满足怎样的关系？
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
活动二 掌握双曲线的标准方程的求法
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离的差的绝对值为8，求双曲线的方程．
变式 若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
(2) a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(3) a＝2，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
思考6
若已知条件中焦点所在的位置没有明确，则结果如何？
求经过(－2，)，(，4)两点的双曲线的标准方程．
求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值．
活动三 理解双曲线的标准方程
例3 (1) 若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是______________；
(2) 若方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是__________．
1. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )
A. x2－＝1 B. －y2＝1 C. y2－＝1 D. －＝1
2. (2024全国专题练习)相距4k km的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2s，若声速每秒k km，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A. 双曲线的一支 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
3. (多选)(2024福州期末)已知方程(m－1)x2＋(4－m)y2＝(m－1)(4－m)表示曲线Γ，则下列结论中正确的是( )
A. 若m＝1，则Γ是y轴 B. 若m＝2.5，则Γ是圆
C. 若14. (2024北京西城期末)若方程＋＝1表示的曲线为双曲线，则实数m的取值范围是________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是________．
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 焦点为(0，6)，(0，－6)，a＝3；
(2) 经过(3，－4)和两点；
(3) 已知双曲线与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(，4).
