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第三章
圆锥曲线的方程
3.2 双 曲 线
3.2.2 双曲线的简单几何性质(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 类比椭圆来研究双曲线的几何性质．
2. 掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率．
3. 掌握双曲线几何性质的简单应用．
活 动 方 案
活动一 研究双曲线的几何性质
在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程继续研究双曲线的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质？
【解析】 x≥a或x≤－a，y∈R
1. 类比对椭圆几何性质的研究，能否根据双曲线的标准方程得到双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？
范围：
【解析】 双曲线关于x轴，y轴和原点都是对称的．
(1) 对称性：
【解析】 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)．
(2) 顶点：
双曲线的实轴：
【解析】 双曲线的实轴：线段A1A2
【解析】 双曲线的虚轴：线段B1B2
双曲线的虚轴：
【解析】 a的几何意义：实半轴长，b的几何意义：虚半轴长，c的几何意义：半焦距．
试探究 a，b，c的几何意义．
(1) 渐近线：
① 由图形可知，双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线？
【解析】 能．直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形．
②比较双曲线的标准方程与其渐近线方程，如何快捷地得到双曲线的渐近线方程？
【解析】 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，渐近线方程为y＝±x.
③什么是等轴双曲线？其渐近线方程为什么？
(2) 离心率：
【解析】 离心率越大，开口越大．
椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，离心率是否也与双曲线的形状有关？
【解析】 填表略
活动二 掌握双曲线的几何性质
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
活动三 掌握双曲线几何性质的简单应用
【解析】 由题意，得2c＝16，所以c＝8.
则b2＝c2－a2＝64－36＝28，
变式 若去掉条件中的“焦点在y轴上”，结果如何？
检 测 反 馈
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1. (2023营口期末)过点(2,3)且与椭圆5x2＋9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为( )
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【答案】 A
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【答案】 B
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A. 圆Γ的方程为x2＋y2＝5
B. 双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
C. 点F1到双曲线C的渐近线的距离为2
D. △PF1F2的面积为4
【答案】 ACD
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谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．2.2 双曲线的简单几何性质(1)
【活动方案】
1. x≥a或x≤－a，y∈R
2. (1) 双曲线关于x轴，y轴和原点都是对称的．
(2) 顶点A1(－a，0)，A2(a，0).
双曲线的实轴：线段A1A2
双曲线的虚轴：线段B1B2
a的几何意义：实半轴长，b的几何意义：虚半轴长，c的几何意义：半焦距．
3. 双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝±x逐渐接近，但永不相交．
(1) 直线±＝0叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．
①能．直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形．
②令－＝0，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
③实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，渐近线方程为y＝±x.
(2) 双曲线焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．离心率越大，开口越大．
小结 填表略
例1 将双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0, 5); 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练 实轴长为4，虚轴长为2，焦点坐标为 (－，0)，(，0)，顶点坐标为(2，0)，(－2，0)，离心率 e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
例2 由题意，得2c＝16，所以c＝8.
由e＝＝，得a＝6，
则b2＝c2－a2＝64－36＝28，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
变式 当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.
例3 由题意可设双曲线的方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(－，6)代入方程，得λ＝9×3－36＝－9，
所以双曲线的标准方程为－x2＝1.
【检测反馈】
1. A 椭圆的标准方程为＋＝1，所以c＝＝2，可得焦点坐标为(±2，0).设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得a2＝1，b2＝3，故双曲线的标准方程为x2－＝1.
2. B 因为△OPQ为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x.
3. ACD 由x2－＝1，得a＝1，b＝2，c＝＝.对于A，因为圆心为坐标原点，直径为F1F2＝2c，所以圆的方程为x2＋y2＝5，故A正确；对于B，渐近线方程为2x±y＝0，故B错误；对于C, 点F1(－，0)到一条渐近线2x－y＝0的距离为d＝＝2，故C正确；对于D，根据双曲线和圆的对称性，不妨设点P在第一象限，由题意，得∠F1PF2＝90°，所以PF＋PF＝F1F.又PF1－PF2＝2a，(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝4c2，所以PF1·PF2＝2c2－2a2＝2b2，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2b2＝b2＝4，故D正确．故选ACD.
4. 因为PF1＝3PF2＝15，所以PF1＝15，PF2＝5，则PF1－PF2＝10，即2a＝10，所以a＝5.又c2＝a2＋b2＝25＋4＝29，所以c＝，所以e＝＝.
5. 因为点A(10，2)在双曲线my2－4x2＋4m＝0上，
所以(2)2m－4×102＋4m＝0，解得m＝25，
所以双曲线方程为25y2－4x2＋100＝0，
即－＝1，
所以双曲线的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝4，c2＝25＋4＝29，
所以实轴长2a＝10，虚轴长2b＝4，焦距2c＝2，焦点坐标为(，0)，(－，0)，顶点坐标为(－5，0)，(5，0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.3．2.2 双曲线的简单几何性质(1)
1. 类比椭圆来研究双曲线的几何性质．
2. 掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率．
3. 掌握双曲线几何性质的简单应用．
活动一 研究双曲线的几何性质
在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程继续研究双曲线的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质？
1. 类比对椭圆几何性质的研究，能否根据双曲线的标准方程得到双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？
范围：
2. 根据双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？
(1) 对称性：
(2) 顶点：
双曲线的实轴：
双曲线的虚轴：
试探究 a，b，c的几何意义．
3. 我们已经知道，双曲线的范围在以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝±x具有怎样的关系？
(1) 渐近线：
① 由图形可知，双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线？
②比较双曲线的标准方程与其渐近线方程，如何快捷地得到双曲线的渐近线方程？
③什么是等轴双曲线？其渐近线方程为什么？
(2) 离心率：
椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，离心率是否也与双曲线的形状有关？
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标
离心率
渐近线方程
活动二 掌握双曲线的几何性质
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
求双曲线－＝1 的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程．
活动三 掌握双曲线几何性质的简单应用
例2 已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程．
变式 若去掉条件中的“焦点在y轴上”，结果如何？
例3 如果双曲线的渐近线方程为y＝±3x，且经过点(－，6)，求双曲线的标准方程．
1. (2023营口期末)过点(2，3)且与椭圆5x2＋9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为( )
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －＝1 D. －＝1
2. (2023合肥一中期末)已知平行于x轴的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，若△OPQ为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
3. (多选)(2024重庆南开中学期末)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆Γ与双曲线C的一个交点为P，则下列说法中正确的是( )
A. 圆Γ的方程为x2＋y2＝5
B. 双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
C. 点F1到双曲线C的渐近线的距离为2
D. △PF1F2的面积为4
4. (2024重庆期末)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a≠0)的左、右焦点，P是双曲线C上的一点，且PF1＝3PF2＝15，则双曲线的离心率是________．
5. 若A(10，2)是双曲线my2－4x2＋4m＝0上的点，试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
