(共39张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.2 双 曲 线
3.2.2 双曲线的简单几何性质(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握双曲线方程的简单实际应用．
2. 理解直线与双曲线的位置关系．
活 动 方 案
活动一 双曲线方程的简单实际应用
例1 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程.(精确到1 m)
【解析】 根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合，这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且CC′＝13×2＝26，BB′＝25×2＝50.
因为直径AA′是实轴，所以a＝12.
又B，C两点都在双曲线上，
反思与感悟
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰的正东方向的6 km处，丙舰在乙舰的北偏西30°方向的 4 km处．某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
又PB－PA＝4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
活动二 双曲线的第二定义
【解析】 设d是点M到直线l的距离．
反思与感悟
双曲线的形成除了用平面上的两个定点来形成以外，也可以用平面内的一个定点和一条不经过定点的定直线来形成，当然也可以用其他的条件来形成．
双曲线准线的定义：
活动三 直线与双曲线的位置关系
【解析】 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3,0)．
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，
消去y并整理，得5x2＋6x－27＝0，
反思与感悟
直线与双曲线位置关系的判断方法：
方程思想的应用
将直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1) 当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
(2) 当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3) 当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
检 测 反 馈
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A. 4条 B. 3条
C. 2条 D. 1条
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【答案】 C
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【解析】 当直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的渐近线y＝±x平行时，k＝±1，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点．因为直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的左、右两支各有一个交点，所以实数k的取值范围为(－1,1)．
2. 若直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是( )
【答案】 D
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1
C. 若双曲线C上一点P满足PF1＝2PF2，则△PF1F2的周长为28
D. 若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】 CD
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【解析】 方法一：由题意知，直线的斜率存在，
故可设直线的方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1.
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1
方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为点A(3，－1)平分弦MN，
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所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，
即3x＋4y－5＝0.
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．2.2 双曲线的简单几何性质(2)
【活动方案】
例1 根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合，这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且CC′＝13×2＝26，BB′＝25×2＝50.
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55).
因为直径AA′是实轴，所以a＝12.
又B，C两点都在双曲线上，
所以
由方程②，得y＝(负值舍去)，代入方程①，得
－＝1.
化简，得19b2＋275b－18 150＝0，
解得b≈25(负值舍去).
故所求双曲线的方程为－＝1.
跟踪训练 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2).
由题意，得PB＝PC，
所以点P在线段BC的垂直平分线上．
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4).①
又PB－PA＝4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以双曲线方程为－＝1(x>2)，②
联立①②，得点P的坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，
故甲舰行进的方向角为北偏东30°.
例2 设d是点M到直线l的距离．
根据题意，得动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此，得＝.
将上式两边平方并化简，得7x2－ 9y2＝63，
即－＝1，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6，虚轴长为2的双曲线．
跟踪训练 (1) 由题意，得＝，
化简，得－＝1，
即曲线C的方程为－＝1.
(2) 如图，过点M作MN垂直于直线l：x＝，垂足为N.
设MN＝d，则＝，即MF＝d，
所以MA＋MF＝MA＋d.
显然，当N，M，A三点共线时，MA＋MF取得最小值，最小值为5－＝.
例3 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0).
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，
所以直线AB的方程为y＝(x－3). ①
由消去y并整理，得5x2＋6x－27＝0，
解方程，得x1＝－3，x2＝.
将x1，x2的值分别代入①，得y1＝－2，y2＝－，
所以A，B两点的坐标分别为(－3, － 2)，，
所以AB＝＝.
跟踪训练 (1) 联立消去y并整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以
解得－＜k＜，且k≠±1，
故实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1，1)∪(1，).
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以AB＝|x1－x2|＝.
又因为点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
所以S△AOB＝·AB·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±，
所以实数k的值为±或0.
【检测反馈】
1. C 由题意，得点P(2，)在双曲线的渐近线y＝x上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图，则过点P(2，)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条．一条是切线：x＝2，一条是过点P(2，)且与另一条渐近线平行的直线．
2. D 当直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的渐近线y＝±x平行时，k＝±1，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点．因为直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的左、右两支各有一个交点，所以实数k的取值范围为(－1，1).
3. CD 由题意，得双曲线C：－＝1，故渐近线为4x±3y＝0，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1＝＝，e2＝＝，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知|PF1－PF2|＝2×3＝6，若PF1＝2PF2，则|PF1－PF2|＝PF2＝6，PF1＝12，又F1F2＝2×＝10，故△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝12＋6＋10＝28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确．故选CD.
4. 如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以OA＝a，F2B＝BM＝2a，则F2M＝2a，F1B＝2＝2b.又点M在双曲线上，所以F1M－F2M＝2a＋2b－2a＝2a，整理，得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e>1，解得e＝，所以双曲线的离心率为.
5. 方法一：由题意知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1.
由消去y并整理，得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
因为A(3，－1)为MN的中点，
所以＝3，即＝3，解得k＝－.
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，
所以所求直线MN的方程为y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0.
方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2).
因为点M，N均在双曲线上，所以
两式相减，得＝y－y，
所以＝.
因为点A(3，－1)平分弦MN，
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，
所以kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在，
所以所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.3．2.2 双曲线的简单几何性质(2)
1. 掌握双曲线方程的简单实际应用．
2. 理解直线与双曲线的位置关系．
活动一 双曲线方程的简单实际应用
例1 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程．(精确到1 m)
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰的正东方向的6 km处，丙舰在乙舰的北偏西30°方向的 4 km处.某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
活动二 双曲线的第二定义
例2 动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
双曲线的形成除了用平面上的两个定点来形成以外，也可以用平面内的一个定点和一条不经过定点的定直线来形成，当然也可以用其他的条件来形成．
双曲线准线的定义：
若点M(x，y)与定点F(c，0)(或F′(－c，0))的距离和它到定直线l：x＝(或l′：x＝－)的距离的比是常数(0
(2023石家庄阶段练习)动点M(x，y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离之比是，记动点M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若动点M在y轴的右侧，定点A(5，2)，求MA＋MF的最小值．
活动三 直线与双曲线的位置关系
例3 如图，过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求AB的长．
直线与双曲线位置关系的判断方法：
方程思想的应用
将直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1) 当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
(2) 当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3) 当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
1. (2024肇庆模拟)已知双曲线E：－＝1，则过点(2，)与双曲线E有且只有一个公共点的直线共有( )
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
2. 若直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝4的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是( )
A. (－，－1) B. (1，) C. (－，) D. (－1，1)
3. (多选)已知双曲线C：－＝－1的焦点分别为F1，F2，则下列结论中正确的是( )
A. 渐近线方程为3x±4y＝0
B. 双曲线C与椭圆＋＝1的离心率互为倒数
C. 若双曲线C上一点P满足PF1＝2PF2，则△PF1F2的周长为28
D. 若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
4. (2024东营期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆 x2＋y2＝a2的切线，交双曲线的右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则该双曲线的离心率为________．
5. 已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.