(共35张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.3 抛 物 线
3.3.2 抛物线的简单几何性质(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率.
2. 掌握抛物线的焦点弦的有关问题．
活 动 方 案
活动一 理解抛物线的几何性质
探究：类比研究椭圆、双曲线几何性质的方法，填写下表：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围
对称性
顶点坐标
离心率
焦点坐标
准线方程
【解析】 填表略
活动二 掌握抛物线几何性质的简单应用
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)．
故所求抛物线的标准方程是y2＝4x.
(1) 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径长为8的抛物线方程，并写出它的焦点坐标和准线方程；(通径：过抛物线的焦点与其对称轴垂直的弦)
【解析】 (1) 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
由题意，得2p＝8，所以p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2；
当焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)．
由题意，得2p＝8，所以p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
活动三 掌握与抛物线的焦点弦有关的性质
例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1,0)，
所以直线l的方程为y＝x－1.
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋1，BF＝dB＝x2＋1，
所以AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋2.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1, 0)，
所以直线l的方程为y＝x－1.①
将①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，
化简，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，
所以AB＝x1＋x2＋2＝8，
故线段AB的长是8.
思考2
在例2中，如果直线l不经过焦点F，AB还等于x1＋x2＋p吗？
【解析】 设直线l经过x轴上任意一点(m,0)，其中m≠1，则直线l的方程为y＝x－m.
设直线l与抛物线y2＝4x的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然FA＋FB＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2>AB.
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(2m＋4)2－4m2＝16m＋16.
又因为y2＝x2－m，y1＝x1－m，
所以(y2－y1)2＝(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝16m＋16，
反思与感悟
求直线与抛物线相交弦长的2种方法
已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：
(4) 以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
综上，以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
1. (2024全国专题练习)如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
2
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1
3
【答案】 A
2
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5
1
3
2. (2023山东阶段练习)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0,8)是抛物线C上一点，且点P到点F的距离与点P到抛物线C的对称轴的距离之差为2，则p的值为( )
C. 2或4 D. 4或36
2
4
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1
3
【答案】 D
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3
1
3. (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程为y＝1
B. 线段PQ长度的最小值为4
C. 点M的坐标可能为(3,2)
2
4
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3
1
【答案】 BCD
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1
【答案】 3
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1
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1
【解析】 (1) 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由已知及抛物线的定义，可知PF＝d，
所以问题转化为求PA＋PF的最小值．
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线，且点P在点A，F中间时，PA＋PF取得最小值，
5. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1) 若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求PA＋d的最小值；
(2) 若点B(3,2)，求PB＋PF的最小值．
2
4
5
3
1
如图，过点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1.
由抛物线的定义，可知P1Q＝P1F，
则PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4，
所以PB＋PF的最小值为4.
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．3.2 抛物线的简单几何性质(1)
【活动方案】
探究：填表略
例1 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0).
因为点M(2，－2)在抛物线上，
所以(－2)2＝2p×2，解得p＝2.
故所求抛物线的标准方程是y2＝4x.
思考1：2条，它们的标准方程是y2＝4x或x2＝－y.
跟踪训练 (1) 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0).
由题意，得2p＝8，所以p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x，焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2；
当焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0).由题意，得2p＝8，所以p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.
(2) 由题意可设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0).将点M(，－2)代入方程，得3＝4p，
所以p＝，
所以抛物线的方程为x2＝－y.
例2 方法一：由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，
所以直线l的方程为y＝x－1.
联立
解得
故AB＝＝8.
方法二：由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋1，BF＝dB＝x2＋1，
所以AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋2.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1, 0)，
所以直线l的方程为y＝x－1.①
将①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，
化简，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，
所以AB＝x1＋x2＋2＝8，
故线段AB的长是8.
思考2：设直线l经过x轴上任意一点(m，0)，其中m≠1，则直线l的方程为y＝x－m.
设直线l与抛物线y2＝4x的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然FA＋FB＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2>AB.
联立消去y并整理，得x2－(2m＋4)x＋m2＝0，则x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m2，
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(2m＋4)2－4m2＝16m＋16.
又因为y2＝x2－m，y1＝x1－m，
所以(y2－y1)2＝(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝16m＋16，
所以AB＝＝，即AB的长度与m紧密关联．
跟踪训练 (1) 若直线AB的斜率不存在，则 y1y2＝－p2，x1x2＝，显然成立；
若直线AB的斜率存在，则设直线AB的斜率为k，k≠0，且直线AB过焦点F，
所以直线AB的方程为y＝k.
联立消去x并整理，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2.
消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.
综上，y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2) 由题意，得抛物线的准线l的方程为 x＝－.
过点A作AM⊥l，垂足为M，过点B作BN⊥l，垂足为N，则AB＝AF＋BF＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3) 若直线AB的斜率不存在，则＋＝＝＝＝；
若直线AB的斜率存在，则由(1)(2)，得m＋n＝x1＋x2＋p＝＋p＝，
mn＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝，
所以＋＝＝.
综上，＋＝.
(4) 若直线AB的斜率不存在，则以抛物线的焦点 F为圆心，p为半径，
所以以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切；
若直线AB的斜率存在，则圆心坐标为(，).
由(1)，得＝，
由(3)，得半径为＝.
又圆心到准线的距离为＋＝，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
综上，以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
【检测反馈】
1. A 如图，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝.
2. D 因为P(x0，8)是抛物线C上一点，所以x＝16p，所以|x0|＝4.由抛物线的定义，得点P到点F的距离为8＋.又点P到抛物线C的对称轴的距离为|x0|，则8＋－4＝2，解得p＝4或p＝36.
3. BCD 因为焦点F到准线的距离为p＝2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1，故A错误；当PQ垂直于x轴时，长度最小，此时|yP|＝|yQ|＝2，所以PQ＝4，故B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1.联立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝my1＋1＋my2＋1＝4m2＋2，x1x2＝·＝1.当m＝1时，可得M(3，2)，故C正确；又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故D正确．故选BCD.
4. 3 因为抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，所以直线l：y＝(x－1).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x并整理，得y2－4y－4＝0，解得y1＝2，y2＝－，则B1，所以＝＝＝＝3.
5. (1) 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由已知及抛物线的定义，可知PF＝d，
所以问题转化为求PA＋PF的最小值．
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线，且点P在点A，F中间时，PA＋PF取得最小值，
最小值为AF＝，即PA＋d的最小值为.
(2) 将点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.
因为2>2，所以点B在抛物线的内部．
如图，过点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1.
由抛物线的定义，可知P1Q＝P1F，
则PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4，
所以PB＋PF的最小值为4.3．3.2 抛物线的简单几何性质(1)
1. 理解抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率．
2. 掌握抛物线的焦点弦的有关问题．
活动一 理解抛物线的几何性质
探究：类比研究椭圆、双曲线几何性质的方法，填写下表：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围
对称性
顶点坐标
离心率
焦点坐标
准线方程
活动二 掌握抛物线几何性质的简单应用
例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，且经过点M(2，－2)，求它的标准方程．
思考1
顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－2)的抛物线有几条？这些抛物线的标准方程是什么？
(1) 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径长为8的抛物线方程，并写出它的焦点坐标和准线方程；(通径：过抛物线的焦点与其对称轴垂直的弦)
(2) 已知抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，且过点M(，－2)，求其标准方程．
活动三 掌握与抛物线的焦点弦有关的性质
例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
思考2
在例2中，如果直线l不经过焦点F，AB还等于x1＋x2＋p吗？
求直线与抛物线相交弦长的2种方法
已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分，设点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2) AB＝x1＋x2＋p；
(3) ＋＝；
(4) 以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
1. (2024全国专题练习)如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
2. (2023山东阶段练习)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0，8)是抛物线C上一点，且点P到点F的距离与点P到抛物线C的对称轴的距离之差为2，则p的值为( )
A. B. 1 C. 2或4 D. 4或36
3. (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程为y＝1 B. 线段PQ长度的最小值为4
C. 点M的坐标可能为(3，2) D. ·＝－3
4. (2024滨州期末)斜率为的直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C相交于A，B两点，点A在x轴的上方，过点B作抛物线C的准线的垂线，垂足为B1，O为坐标原点，则＝________．
5. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1) 若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求PA＋d的最小值；
(2) 若点B(3，2)，求PB＋PF的最小值．
