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第三章
圆锥曲线的方程
3.3 抛 物 线
3.3.2 抛物线的简单几何性质(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解直线与抛物线的位置关系．
2. 能熟练地运用抛物线的几何性质解决有关问题．
3. 掌握处理与抛物线有关的综合问题的方法．
活 动 方 案
活动一 理解直线与抛物线的位置关系
例1 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l绕点P(－2,1)旋转，讨论直线l与抛物线y2＝4x的公共点个数，并回答下列问题：
(1) 画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
(2) y2＝4x与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
【解析】 (1) 如图，直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种．
观察图形知，当直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)．
(2) 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
若k≠0，则Δ＝16－16k(2k＋1)＝－16(2k－1)(k＋1)，
综上，抛物线y2＝4x与直线l的方程组成的方程组解的个数和抛物线y2＝4x与直线l公共点的个数相等．
反思与感悟
直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，消去y并整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1) 若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2) 若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
例2 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
【解析】 如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系Oxy.
即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
所以直线DB平行于抛物线的对称轴．
思考
例2 还有其他证明方法吗？
【解析】 如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系Oxy.
所以点D，B的纵坐标相等，
所以直线DB平行于x轴，
即直线DB平行于抛物线的对称轴．
反思与感悟
坐标法求解抛物线相关问题的步骤：
1. 建系：根据问题，合理建立平面直角坐标系；
2. 求点：利用已知条件，求出相关点坐标；
3. 求解：根据抛物线的相关性质，列式求解．
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点．
所以直线AC经过原点．
活动二 与抛物线有关的轨迹问题
例3 如图，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上的任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程．
【解析】 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m)．
因为点P在OE上，
所以点P的坐标(x，y)满足③.
反思与感悟
求动点轨迹方程的方法：
(1) 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(2) 代入法：找到两个动点之间的关系，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，消参化简即可求得轨迹方程．
【解析】 设点P(x0，y0)，则点H(0，y0)，
所以点Q的坐标为(－x0，y0)，
所以动点Q的轨迹方程为y2＝4x.
活动三 与抛物线有关的定点、定值问题
例4 已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上的一点P(m,4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四点．
(1) 求抛物线E的方程；
(2) 探究AC·BD是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】 (1) 由题意，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．
因为抛物线上的一点P(m,4)到其准线的距离为5，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2) 由(1)知，抛物线的焦点为F(0,1)，恰好为圆 x2＋(y－1)2＝1的圆心．
设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四点，
由抛物线的定义，得AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，
则AC·BD＝(AF－1)·(BF－1)＝y1y2.
所以x1x2＝－4，
故AC·BD为定值1.
反思与感悟
定值与定点问题的求解策略
1. 欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
2. 寻求一条直线经过某个定点的常用方法：(1) 通过方程判断；(2) 对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；(3) 利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；(4) 转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 若弦AB的中点为(3,3)，求直线l的方程；
(2) 若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
【解析】 (1) 因为抛物线的方程为y2＝4x，
(2) 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，k≠0，代入抛物线方程，消去x并整理，得ky2－4y＋4b＝0，
所以直线l的方程为y＝kx－3k＝k(x－3)，过定点(3,0)．
当直线l的斜率不存在时，y1y2＝－12，则x1＝x2＝3，
所以直线l过定点(3,0)．
综上，直线l过定点(3,0)．
检 测 反 馈
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1. 已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A. x＝－1 B. y＝－1
C. x＝－2 D. y＝－2
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【解析】 如图，过点A作准线的垂线AC，垂足为C，过点F作AC的垂线FB，垂足为B.由题意，知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°.又因为AF＝4，所以AB＝2.点A到准线的距离d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.
【答案】 A
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2. (2024佛山期末)已知F是抛物线x2＝4y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且AF＋BF＝6，则线段AB的中点到x轴的距离为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】 B
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3. (多选)(2024重庆十八中期末)已知O为坐标原点，直线y＝x＋1与抛物线C：x2＝4y相交于A, B两点，焦点为F，则下列结论中正确的是( )
A. AB＝8 B. OA⊥OB
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【答案】 AC
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【答案】 (8,0) 64
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5. 如图，已知F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．
(1) 求p的值及抛物线的准线方程；
(2) 求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补．
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1
【解析】 (1) 因为F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，
故抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2) 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)，
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1
所以kOA＋kBC＝0；
当直线AB的斜率不存在时，求得A, B, C的坐标，可得kOA＋kBC＝0.
综上，直线OA与直线BC的倾斜角互补．
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．3.2 抛物线的简单几何性质(2)
【活动方案】
例1 (1) 如图，直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种．
观察图形知，当直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行).
(2) 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
联立消去x并整理，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.
若k＝0，则y＝1，x＝，即方程组只有一个解，由图知，此时直线l与抛物线相交，只有一个公共点，直线l的斜率为0；
若k≠0，则Δ＝16－16k(2k＋1)＝－16(2k－1)(k＋1)，
令Δ＝0，得k＝或k＝－1，即方程组有两个相同的实数解，由图知，此时直线l与抛物线相切，只有一个公共点，直线l的斜率分别为，－1；
令Δ>0，得k∈(－1，0)∪，即方程组有两个不同的实数解，由图知，此时直线l与抛物线相交，有两个公共点，直线l的斜率k∈(－1，0)∪；
令Δ<0，得k∈(－∞，－1)∪，即方程组没有实数解，由图知，此时直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率k∈(－∞，－1)∪；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然方程组没有实数解，由图知，此时直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率不存在．
综上，抛物线y2＝4x与直线l的方程组成的方程组解的个数和抛物线y2＝4x与直线l公共点的个数相等．
例2 如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系Oxy.
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，点A的坐标为(y0≠0)，
则直线OA的方程为y＝x.
又抛物线的准线方程是x＝－.
联立可得点D的纵坐标为－.
因为焦点F的坐标是，当y≠p2时，直线AF的方程为y＝.
联立消去x并整理，得y0y2－(y－p2)y－y0p2＝0，
即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，所以DB平行于x轴．
当y＝p2时，易知结论成立．
所以直线DB平行于抛物线的对称轴．
思考：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系Oxy.
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过焦点的直线方程为my＝x－，
联立消去x并整理，得y2－2pmy－p2＝0.
设直线与抛物线的两个交点分别为A， B(y1≠0，y2≠0)，
则由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.
设点D的坐标为，
由A，O，D三点共线，得kOA＝kOD，
即＝，解得y0＝＝＝y2，
所以点D，B的纵坐标相等，
所以直线DB平行于x轴，
即直线DB平行于抛物线的对称轴．
跟踪训练 由题意，得点F.
设直线AB的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点C.
联立消去x并整理，得y2－2mpy－p2＝0，则y1y2＝－p2，
所以kCO＝＝＝＝＝＝kAO，
所以直线AC经过原点．
例3 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m).
由题意，直线OB的方程为y＝－x. ①
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得
m＝－x， ②
所以点P的横坐标x满足②.
直线OE的方程为y＝x. ③
因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③.
将②代入③，消去m，得x2＝－y(0≤x≤a)，
即点P的轨迹方程为x2＝－y(0≤x≤a).
跟踪训练 设点P(x0，y0)，则点H(0，y0)，
所以＝(－x0，0)，＝(－2x0，0)，
所以点Q的坐标为(－x0，y0)，
所以动点Q的轨迹方程为y2＝4x.
例4 (1) 由题意，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0).
因为抛物线上的一点P(m，4)到其准线的距离为5，
所以4＋＝5，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2) 由(1)知，抛物线的焦点为F(0，1)，恰好为圆 x2＋(y－1)2＝1的圆心．
设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四点，
由抛物线的定义，得AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，
则AC·BD＝(AF－1)·(BF－1)＝y1y2.
由消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，
所以x1x2＝－4，
所以AC·BD＝y1y2＝·＝＝1，
故AC·BD为定值1.
跟踪训练 (1) 因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以y＝4x1，y＝4x2.
因为弦AB的中点为(3，3)，所以x1≠x2.
两式相减，得y－y＝4x1－4x2，
所以＝＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－3)，即y＝x＋1.
(2) 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，k≠0，代入抛物线方程，消去x并整理，得ky2－4y＋4b＝0，
所以y1y2＝＝－12，则b＝－3k，
所以直线l的方程为y＝kx－3k＝k(x－3)，过定点(3，0).
当直线l的斜率不存在时，y1y2＝－12，则x1＝x2＝3，
所以直线l过定点(3，0).
综上，直线l过定点(3，0).
【检测反馈】
1. A 如图，过点A作准线的垂线AC，垂足为C，过点F作AC的垂线FB，垂足为B.由题意，知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°.又因为AF＝4，所以AB＝2.点A到准线的距离d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.
2. B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋2＝6，解得y1＋y2＝4，所以y0＝＝2，所以线段AB的中点到x轴的距离为2.
3. AC 由抛物线C：x2＝4y，得焦点F(0，1)，则直线y＝x＋1过抛物线C的焦点，联立方程组消去x并整理，得y2－6y＋1＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝6，y1y2＝1.对于A，由抛物线的定义，得AB＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8，故A正确；对于B，由·＝x1x2＋y1y2＝(y1－1)(y2－1)＋y1y2 ＝2y1y2－(y1＋y2)＋1＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；对于C，由y2－6y＋1＝0，解得y1＝3＋2，y2＝3－2，由抛物线定义，得AF＝4＋2，BF＝4－2，则＋＝＋＝1，故C正确；对于D，线段AB的中点到x轴的距离为＝3，故D错误．故选AC.
4. (8，0) 64 由题意，得直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－8my－8n＝0，则Δ＝64m2＋32n，所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝n2－8n＝0，所以n＝0或n＝8，当n＝0时，直线l的方程为x＝my不满足点A，B异于点O，舍去；当n＝8时，直线l的方程为x＝my＋8恒过定点(8，0)，符合题意．记H(8，0)，所以S△AOB＝S△AOH＋S△BOH＝×8|y1－y2|＝4|y1－y2|.又|y1－y2|＝＝＝8，所以S△AOB＝32≥32×2＝64，当且仅当m＝0时，面积取得最小值，最小值为64.
5. (1) 因为F(1，0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，
所以＝1，即p＝2，
故抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2) 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)，
则y＝4x1，y＝4x2，n2＝4m.
联立消去x并整理，得ky2－4y－4k＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，
则kOA＋kBC＝＋＝＋＝.
由△ABC的重心G在x轴上，可得＝0，即n＋y1＋y2＝0，
所以kOA＋kBC＝0；
当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得kOA＋kBC＝0.
综上，直线OA与直线BC的倾斜角互补．3．3.2 抛物线的简单几何性质(2)
1. 理解直线与抛物线的位置关系．
2. 能熟练地运用抛物线的几何性质解决有关问题．
3. 掌握处理与抛物线有关的综合问题的方法．
活动一 理解直线与抛物线的位置关系
例1 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l绕点P(－2，1)旋转，讨论直线l与抛物线y2＝4x的公共点个数，并回答下列问题：
(1) 画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
(2) y2＝4x与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，消去y并整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1) 若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2) 若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
例2 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
思考
例2还有其他证明方法吗？
坐标法求解抛物线相关问题的步骤：
1. 建系：根据问题，合理建立平面直角坐标系；
2. 求点：利用已知条件，求出相关点坐标；
3. 求解：根据抛物线的相关性质，列式求解．
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点．
活动二 与抛物线有关的轨迹问题
例3 如图，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上的任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程．
求动点轨迹方程的方法：
(1) 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(2) 代入法：找到两个动点之间的关系，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，消参化简即可求得轨迹方程．
已知动点P在抛物线y2＝－4x上，过点P作y轴的垂线，垂足为H，动点Q满足＝2，求动点Q的轨迹方程．
活动三 与抛物线有关的定点、定值问题
例4 已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上的一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四点．
(1) 求抛物线E的方程；
(2) 探究AC·BD是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
定值与定点问题的求解策略
1. 欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
2. 寻求一条直线经过某个定点的常用方法：(1) 通过方程判断；(2) 对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；(3) 利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；(4) 转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1) 若弦AB的中点为(3，3)，求直线l的方程；
(2) 若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
1. 已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A. x＝－1 B. y＝－1 C. x＝－2 D. y＝－2
2. (2024佛山期末)已知F是抛物线x2＝4y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且AF＋BF＝6，则线段AB的中点到x轴的距离为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多选)(2024重庆十八中期末)已知O为坐标原点，直线y＝x＋1与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，焦点为F，则下列结论中正确的是( )
A. AB＝8 B. OA⊥OB
C. ＋＝1 D. 线段AB的中点到x轴的距离为2
4. (2023银川唐徕回民中学阶段练习)已知抛物线C：y2＝8x，直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足·＝0(其中O为坐标原点，点A，B异于点O)，则直线AB恒过定点________，△AOB面积的最小值为________．
5. 如图，已知F(1，0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．
(1) 求p的值及抛物线的准线方程；
(2) 求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补．
