(共38张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.4 圆锥曲线的统一定义习题课
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法．
2. 能运用统一定义解决相关的简单问题．
活 动 方 案
活动一 掌握圆锥曲线的统一定义
1. 知识回顾
(1) 抛物线的定义：
【解析】 略
(2) 椭圆、双曲线、抛物线的离心率：
【解析】 略
2. 问题1：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离的比值等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么？
【解析】 椭圆或双曲线
【解析】 平面上一点(x，y)到点(c,0)的距离．
综上所述，这个方程有什么几何意义？
【解析】 椭圆上的点到定点F的距离和它到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是一个常数．
问题3：类比抛物线的定义，你能猜想出满足什么条件的点的轨迹是椭圆？满足什么条件的点的轨迹是双曲线？
问题4：试判断你的猜想是否正确，如果正确请给出证明．
【解析】 略
3. 圆锥曲线的统一定义：
【解析】 平面内到一个定点F和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离之比是一个常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线．
这个常数e是该圆锥曲线的_________，定点F是该圆锥曲线的______，定直线l是该圆锥曲线的________.
说明：(1) 焦点与准线的对应性；
(2) 圆锥曲线的类型随离心率e的变化而改变；
(3) 根据对称性，椭圆与双曲线的准线有两条，而抛物线的准线只有一条．
离心率
焦点
准线
填写下表(作图时，要求作出准线)：
【解析】 填表略
标准方程 图形 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
活动二 掌握圆锥曲线统一定义的简单应用
例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
(1) 4x2＋y2＝16；
(2) x2－y2＝－16；
【答案】 8
【解析】 由题意，得双曲线C的焦点在y轴上，
活动三 掌握圆锥曲线统一定义的综合应用
所以AM＋2MF＝AM＋MN.
要求AM＋2MF的最小值，即求AM＋MN的最小值，
所以当M为AE与椭圆的交点时，AM＋MN取最小值，即为AE.
检 测 反 馈
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A. 4 B. 5
C. 6 D. 1
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【答案】 B
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A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 以上都不对
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【答案】 B
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【答案】 ABC
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【答案】 8
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【解析】 (1) 设动点P的坐标为(x，y)，
(2) 设直线l的方程为y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
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1
则3－k2≠0，且Δ＝(－2kt)2－4(3－k2)(－t2－3)＝12(t2＋3－k2)>0，
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谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．4 圆锥曲线的统一定义习题课
【活动方案】
1. 略
2. 问题1：椭圆或双曲线
问题2：平面上一点(x，y)到点(c，0)的距离．
椭圆上一点(x，y)到直线x＝的距离；椭圆的离心率．
椭圆上的点到定点F的距离和它到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是一个常数．
问题3：当0<<1时，轨迹为椭圆；当>1时，轨迹为双曲线．
问题4：略
3. 平面内到一个定点F和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离之比是一个常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线．
离心率 焦点 准线
填表略
例1 (1) 由4x2＋y2＝16，得＋＝1，
所以焦点坐标为(0，±2)，准线方程为y＝±.
(2) 由x2－y2＝－16，得－＝1，
所以焦点坐标为(0，±4)，准线方程为y＝±2.
(3) 焦点坐标为，准线方程为x＝.
例2 (1) 8 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.由题意，得c＝4，e＝，则＝，所以PF1＝2.又PF1＋PF2＝10，所以PF2＝8.
(2) x＝± 因为双曲线的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以该渐近线的斜率为－.又双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以a＝2，所以c＝，所以准线方程为 x＝±.
例3 由题意，得双曲线C的焦点在y轴上，
所以＝.
又＝，c2＝a2＋b2，
所以a2＝16，b2＝9，
所以双曲线C的方程是－＝1.
例4 由题意，得c2＝4，所以e＝，右准线l的方程为x＝8，
过点M作MN⊥l，垂足为N，过点A作AE⊥l，垂足为E.
因为＝，所以2MF＝MN，
所以AM＋2MF＝AM＋MN.
要求AM＋2MF的最小值，即求AM＋MN的最小值，
所以当M为AE与椭圆的交点时，AM＋MN取最小值，即为AE.
又点A(－2，)，所以(AM＋2MF)min＝AE＝2＋8＝10，
此时点M(2，).
跟踪训练 由题意，得c2＝9，所以F(3，0)，e＝，右准线l的方程为x＝.过点P作PM⊥l，垂足为M，过点A作AN⊥l，垂足为N，则＝，所以PF＝PM，所以PA＋PF＝PA＋PM≥AN.又点A(4，1)，N，所以AN＝，即(PA＋PF)min＝.
【检测反馈】
1. B 椭圆＋＝1的左准线方程为x＝－.设P(x0，y0)，x0>0，椭圆的左焦点为F，则根据圆锥曲线的统一定义，得＝，所以PF＝x0＋3.因为－3≤x0≤3，所以－2≤x0≤2，所以1≤x0＋3≤5，所以1≤PF≤5，所以PFmax＝5，即点P到椭圆左焦点的最远距离是5.
2. B 方程＝|3x＋4y－12|即为方程＝5>1，表示动点P(x，y)到定点O(0，0)的距离与到定直线3x＋4y－12＝0的距离的比为5，且大于1，所以其轨迹为双曲线．
3. ABC 由题意，得a＝4，b＝，c＝3.因为PF1＋PF2＝2a＝8，故A正确；因为e＝＝，所以PF1＝＝＝x0＋4＝ex0＋a.又因为x0∈[－4，4]，所以PF1＝x0＋4＝ex0＋a∈[1，7]，故B正确；因为准线方程为x＝±，所以准线方程为x＝±，故C正确；△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝8＋6＝14，故D错误．故选ABC.
4. 8 由题意，得抛物线的焦点为F(1，0)，显然l的斜率不为0，则设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝1，＝(x1＋1，y1－2)，＝(x2＋1，y2－2)，·＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝1＋4m2＋2＋1－4－8m＋4＝0，解得m＝1，所以x1＋x2＝6，AB＝x1＋x2＋2＝8.
5. (1) 设动点P的坐标为(x，y)，
则PF＝，点P到直线x＝的距离d＝.
由题意知PF＝2d，即＝2，
化简，得x2－＝1，即曲线Γ的方程为x2－＝1.
(2) 设直线l的方程为y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立消去y并整理，得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则3－k2≠0，且Δ＝(－2kt)2－4(3－k2)(－t2－3)＝12(t2＋3－k2)>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)
＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
＝＋＋t2＝.
因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以－＋＝0，所以2t2＝3k2＋3，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝，
16xx＝16＝，
所以＋＝＋
＝＋＝
＝
＝
＝＝＝，
即＋为定值.3．4 圆锥曲线的统一定义习题课
1. 了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法．
2. 能运用统一定义解决相关的简单问题．
活动一 掌握圆锥曲线的统一定义
1. 知识回顾
(1) 抛物线的定义：
(2) 椭圆、双曲线、抛物线的离心率：
2. 问题1：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离的比值等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么？
问题2：我们在推导椭圆的标准方程时，得到这样一个方程a2－cx＝a，将其变形为＝.在这个方程中，有什么几何意义？
－x有什么几何意义？有什么几何意义？
综上所述，这个方程有什么几何意义？
问题3：类比抛物线的定义，你能猜想出满足什么条件的点的轨迹是椭圆？满足什么条件的点的轨迹是双曲线？
问题4：试判断你的猜想是否正确，如果正确请给出证明．
试分别就椭圆中0<<1和双曲线中>1给出证明：
0<<1：
>1：
3. 圆锥曲线的统一定义：
这个常数e是该圆锥曲线的__________，定点F是该圆锥曲线的________，定直线l是该圆锥曲线的________．
说明：(1) 焦点与准线的对应性；
(2) 圆锥曲线的类型随离心率e的变化而改变；
(3) 根据对称性，椭圆与双曲线的准线有两条，而抛物线的准线只有一条．
填写下表(作图时，要求作出准线)：
标准方程 图形 焦点坐标 准线方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
活动二 掌握圆锥曲线统一定义的简单应用
例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
(1) 4x2＋y2＝16；
(2) x2－y2＝－16；
(3) y2＝－x.
例2 (1) 椭圆＋＝1上有一点P到左准线的距离为2.5，则点P到右焦点的距离为__________；
(2) 已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0垂直，则该双曲线的准线方程为______________．
例3 已知双曲线C的渐近线方程是4x±3y＝0，一条准线的方程为y＝，求此双曲线的方程．
活动三 掌握圆锥曲线统一定义的综合应用
例4 已知点A(－2，)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上移动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．
已知双曲线－＝1，F为其右焦点，A(4，1)为平面上的一点，P为双曲线上的一点，则PA＋PF的最小值为________．
1. 已知P是椭圆＋＝1上一动点，则点P到椭圆左焦点的最远距离是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 1
2. (2023重庆万州二中阶段练习)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线．当01时，轨迹为双曲线．现有方程＝|3x＋4y－12|表示的圆锥曲线为( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
3. (多选)已知P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，则下列结论中正确的是( )
A. PF1＋PF2＝8 B. PF1＝ex0＋a∈[1，7]
C. 准线方程为x＝± D. △PF1F2的周长为16
4. (2024泸州期末)过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线l与抛物线C交于A，B两点，已知点P(－1，2)，若·＝0，则AB的值为________．
5. (2023吕梁阶段练习)已知动点P到点F(2，0)的距离等于其到直线x＝距离的2倍，记点P的轨迹为曲线Γ.
(1) 求曲线Γ的方程；
(2) 已知斜率为k的直线l与曲线Γ交于点A，B，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明：＋为定值．
