2023-2024年高三数学校模拟考参考答案
1-8 BCC DA DBB 9.BCD 10.BD 11.AD
12.4 3 13. 49 14. 5π π ,0
12 6
15.【详解】（1）由己知可得， x 1 2 3 4 5 3，
5
y 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
5
2 2 2 2
5.1 xi 1 2 3 42 52 55
5 ， i 1
5 5
xi x yi y xi yi 5 xy
r i 1 i 1 5.9 5.9 0 .98，
5 5
x x 2 y y 2
5 5 6
x2 5x 2 2 2
36.4
i i i yi 5y
i 1 i 1 i 1 i 1
（2）由小问 1知，y与 x的相关系数 r 0.98, r接近 1，所以 y与 x之间具有极强的线性相关关系，
可用线性回归模型进行描述．
5 5
xi x yi y xi yi 5xy
由小问 1知，b 5.9 i 1 5
i 1
5 0.59
，
xi x 2 x 2 5x 2 10i
i 1 i 1
a y b x 5.1 ( 0.59) 3 6.87，
所求经验回归方程为 y 0.59x 6.87．
（3）令 x 8，则 y 0.59 8 6.87 2.15，预测 2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为 2.15%．
16.【详解】（1）由 f (x) ax ln(1 x)，得 f x 1 a (x 1)，
1 x
因为 f (0) 0, f (0) a 1，
所以曲线 y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y (a 1)x；
（2） f x a 1 ax a 1 ( x 1)，
1 x 1 x
①当 a 0时， f ( 1) a ln 2 0 ，不符合题意.
②当 a 0时，令 f (x) 0，解得 x 1 1 ，
a
当 x 1 1 ,1 时， f (x) 0， f (x)在区间 ,1 上单调递减，
a a
1
{#{QQABBQIAggCoAIAAAAhCAwEACgEQkAAAASgGQEAAMAABgQNABAA=}#}
当 x 1 1 ,1 时， f (x) 0， f (x)在区间
1 1 ,1
上单调递增，
a a
所以当 x 1 1 时， f (x)取得最小值 f 1
1
a 1 ln a ；
a a
若 f x 0恒成立，则 a 1 ln a 0，
设 x x 1 ln x (x 0)，则 x 1 1 x 1 ，
x x
当 x , 1 时， x 0, x 在区间 , 1 上单调递增，
当 x ( 1,0)时， x 0, x 在区间 1,0 上单调递减，
所以 x 1 0，即 a 1 ln a 0的解为 a 1 .
所以 a 1；
17.【详解】（1）取 AC中点 D，连接 ED，BD，
∵D,E分别为 AC, A1C的中点，则DE AA1且DE
1
AA，
2 1
又∵ ABC A1B1C1为三棱柱，且 F 分别为 BB1的中点，则 BF AA1且 BF
1
AA，
2 1
可得DE BF且DE BF ，即四边形 DEFB 为平行四边形，故 EF DB，
又∵ EF 平面 AA1C1C，则DB 平面 AA1C1C，
AC 平面 AA1C1C，可得DB AC，
又∵D为 AC的中点，则△ABC为等腰三角形，
∴BC AB 1 .
（2）由（1）可知： BC AB 1 AC 2 AB
2 2 2
，且 ，即 BC AC ，
∴ AB BC，
则可得EF DB 2 ，且 A1B1 B1C1，2
∵ EF 平面 AA1C1C， A1C 平面 AA1C1C，则 EF A1C，
∴ S 1 AC EF 1 AC 2 2△A ，解得 A1FC 2 1 2 1 2 2 1
C 2，
由（1）知DB 平面 AA1C1C，AA1 平面 AA1C1C，则DB AA1，
又∵ AA1 BB1，则DB BB1
2
{#{QQABBQIAggCoAIAAAAhCAwEACgEQkAAAASgGQEAAMAABgQNABAA=}#}
又∵ BB1 A1B1， AB A1B1，则 BB1 AB，
AB DB B， AB,DB 平面 ABC，
∴BB1 平面 ABC，
AC 平面 ABC，则 BB1 AC，
且 AA1 BB1，可得 AA1 AC，
∴△AA1C为直角三角形，则 AA1 A1C
2 AC 2 2，
以B1为坐标原点，向量 B1C1 ，B1A1 ，B1B方向为 x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系B1 xyz，
则B1
0,0,0 ， A1 0,1,0 ，C1 1,0,0 ，C 1,0, 2 ， B 0,0, 2 ，F 0,0,
2 ，
2
2 可得 A1F 0, 1, ， A1C 1, 1, 2 ，
2
2
设平面 A1FC的一个法向量为 n x, y, z ，则 n1 A1F y z 01 ，
2
n1 A1C x y 2z 0
令 y 1，则 x 1, z 2，可得 n1 1,1, 2 ，
∵平面 B1A1F的一个法向量为 n2 1,0,0 ，
设二面角 B1 A1F C的平面角为 0, π ，
ur uur
n1 n可得 2cos 1 1 ur uur ，
n1 n 2 1 22
sin 1 cos2 3∴ ，故二面角 B1 A1F C
3
的正弦值为 .
2 2
18.【详解】（1）设直线MN的方程为 x my 2，M x1, y1 ， N x2 , y2 ．
由 x my 2 可得 m2 1 y2 2 2my 1 0 m 1 ，
x
2 y2 1
由根与系数的关系可知 y 2 2m 11 y2 ， y y ①．m2 1 1 2
m2 1
3
{#{QQABBQIAggCoAIAAAAhCAwEACgEQkAAAASgGQEAAMAABgQNABAA=}#}
2
此时 MN 1 m 2 y y 2 4y y 1 m 2 2 m
2 1 2 m 1
1 2 1 2 ．m2 1 m2 1
原点 O到直线MN的距离为 d 2 ，
1 m2
1 2 m2 1 2 m2 1 此时 S△OMN d MN 1 2 ．2 2 1 m2 m2 1 m2 1
由M，N都在双曲线的左支上知 x x m y y 2 2 2 2 21 2 1 2 0 ，2 x1x2 2 0，得 1 m 1，m 1 m 1
2
令m2 1 t 1 t 0 ，则 S 2 4 1 1 4 1 1 1△OMN
，
2t t 2 t 4 4
由于1 , 1 ，所以当 1 1，即 t 1时，此时取最小值，
t t
则 S△OMN 2，
当 t 1，即m 0时，等号成立．
（2）假设存在这样的定点 P n,0 ．
当直线的斜率不为 0时，由（1）知
PM PN x1 n ,y1 x 2 n ,y 2 x1 n x 2 n y1y 2 m y1 2 n m y 2 2 n y1y 2
m2 1 y1y2 m
2
2 n y1 y2 2 n ②．
3 2 2n m2 1 2
将①代入②可得 PM PN 2 n
m2 1 ，
此时要想 PM PN为定值，则 3 2 2n 1 ，得 n 2
，从而 PM PN 1 ．
1 1 2 2
即存在这样的定点 P 2 ,0 满足题意．
2
2 2 当直线的斜率为 0时，易知 PM PN n 1 n 1 n 1，若 ，则 PM PN 1P ， ,02
2
满足题意.综上，存在 P 2 ,0 满足题意．
2
4
{#{QQABBQIAggCoAIAAAAhCAwEACgEQkAAAASgGQEAAMAABgQNABAA=}#}
19.【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1 0， q 0
a2a4 a5 a21 q
4 a q4
由 ，得 1 ，解得 a1 1 ，
a3 4a2 4a1 0
a 2 1q 4a q 4a 0
1 1 q 2
因此数列{an}为“M—数列”；
（2）①因为 1 2 2 ，所以b
S b b n
0，
n n n 1
由b1 1,S
1 2 2
1 b1得 ，则b2 2，1 1 b2
由 1 2 2 ，得 S bnb n 1 ，
S b b nn n n 1 2(bn 1 bn )
当n 2时，由bn S S ，得b
bnbn 1 b b
n n 1 n
n 1 n ，
2 bn 1 bn 2 bn bn 1
整理得bn 1 bn 1 2bn ，
所以数列{bn}是首项和公差均为 1的等差数列，
因此，数列{bn}的通项公式为bn n n N* ；
②由①知，bk k， k N
*，
因为数列{c }为“Mn –数列”，设公比为q，所以c1 1， q 0，
因为 ck bk ck 1，所以 q
k 1 k qk，其中 k 1，2，3， ,m，
当 k 1时，有 q 1；
当 k 2，3， ,m ln k时，有 ln q ln k ，
k k 1
设 f x ln x (x 1)，则 f (x) 1 ln x ，
x x2
则当 x 1,e 时， f (x) 0，当 x e, 时， f (x) 0，
故 f x 在 1,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，
ln 2 ln8 ln9 ln3 ln3
因为 ，所以 f (k) ，
2 6 6 3 max
f (3)
3
ln k
取 q 3 3，当 k 1，2，3,4,5时， ≤ln q，即 k qk，
k
5
{#{QQABBQIAggCoAIAAAAhCAwEACgEQkAAAASgGQEAAMAABgQNABAA=}#}
1
ln x x 1 ln x 1
1
ln x
令 g x (x 1)，则 g (x) x x ，
x 1 x 1 2 x 1 2
令 h x 1 1 ln x，则 h x 1 1 1 x 2 2 0，x x x x
故h x 在 1, 上单调递减，则h x h 1 1 1 0 0，
即 g (x) 0在 1, 上恒成立，即 g x 在 1, 上单调递减，
则 g k g 5 ln 5 ln125 ln81 ln 3 ，min 4 12 12 3
ln k
即 ln q ，qk 1 k，
k 1
因此所求m的最大值不小于 5，
若m 6 3，分别取 k 3,6，得3 q ，且 q5 6，从而 q15≥243，且 q15≤216，
所以q不存在，因此所求m的最大值小于 6，
故m的最大值为 5.
6
{#{QQABBQIAggCoAIAAAAhCAwEACgEQkAAAASgGQEAAMAABgQNABAA=}#}福建师大附中2023-2024高三校模拟考
数学试卷
时间：
120分钟
满分：
150分
命题：
高三集备组
审核：
高三集备组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只
有一个选项是符合题目要求的
1.设集合A={x2-1>0},B={log2x>0),则AnB等于
A.{xx>0)
B.x>1)
C.{x<-
D.{x<-1或x>}
2.己知等差数列{an}满足4，+42+4+…+a1o=0,则
A.4+4o1>0B.a,+ao1<0
C.a3+a9=0
D.a51=51
3.若函数f()=血(ax++是奇函数，则a的值为
A.1
B.-1
C.+l
D.0
4.将甲、乙、内、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有
人去，则甲.乙二人分别去了不同岗位的概率是
A
B.
c
D.
5.设a,6为单位向量，ā在5方向上的投影向量为-6，则刚6-2
A.5
B.5
C.5
D.√2
6.尼知P0=号P(=,P到=克则P@=
B.5
c
4
D.
7.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,
其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△4CF的面积之比是
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BF+1
BF-1
|BF+1
8FP-1
A
B
D.
F+1
AF-1
AF+1
AF2-1
8.在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC,D为ABC内一点，
AD⊥CD,∠BDC=120°，则tan∠ACD=
A.22
B.
3V5
2
C.6
D.
2
二·多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.己知复数z,z2,下列结论正确的是
A.若名=22，则z=z好
B.
-2,=z-2
C.若z2=0,则名=0或2=0
D.若名≠0且乙=22，则=22
10.冬末春初，人们容易感骨发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体
温高于373℃，则称没有发生群体性发热.根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计
量，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A.中位数是3，众数为2；
B.均值小于1，中位数为1：
C.均值为3，众数为4：
D.均值为2，标准差为√2.
11.己知2°=1og1a,og2b
2
A.a+2°=b+2-b
B.a+b=2°+2-a
C.2°+1>ea
D.2>e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.己知圆台的上、下底面的面积分别为4π，36π，侧面积为64π，则该圆台的高
为
13.
(:+2-)的展开式中然数项为
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