3．5 直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
1. 根据直线与曲线的交点个数来判断直线与圆锥曲线的位置关系．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 判断直线与圆锥曲线的位置关系
思考1
如何判断两条直线的位置关系？
思考2
如何判断直线与圆的位置关系？
探究：
直线与圆锥曲线有几种位置关系？如何判断？
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不同的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)，且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P，Q，求实数k的取值范围．
例2 经过点P(0，4)，且与抛物线y2＝16x只有一个交点的直线有几条？求出这样的直线方程．
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求实数k的取值范围．
活动二 会求直线与圆锥曲线相交弦的长
例3 已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4，2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．
已知双曲线C的焦点在y轴上，虚轴长为4，且与双曲线－＝1有相同渐近线．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 过点M(2，0)的直线l与双曲线C的异支相交于A，B两点，若S△AOB＝4，O为坐标原点，求直线l的方程．
1. (2024安徽师范大学附属中学阶段练习)直线y＝x－1与抛物线y2＝4x交于 A，B两点，则AB的值为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
2. (2024临沂费县开学考试)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>b>0)分别交于A，B两点，若线段AB的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. 2 D.
3. (多选)(2023重庆黔江中学阶段练习)已知椭圆＋＝1(0A. 椭圆的短轴长为 B. AF2＋BF2的最大值为8
C. 离心率为 D. 椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°
4. 过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截得的线段的长度为_________．
5. 已知椭圆C：4x2＋y2＝1及直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1) 当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点；
(2) 若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，O为坐标原点，求直线l的方程．【参考答案与解析】
3．5 直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
【活动方案】
思考1：在一平面内，若两条直线有一个公共点，则两条直线相交；若两条直线有无数个公共点，则两条直线重合；若两条直线没有公共点，则两条直线互相平行．
思考2：若直线与圆没有公共点，则直线与圆相离；若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切；若直线与圆只有两个公共点，则直线与圆相交．
探究：略
例1 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
则关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1) 由Δ>0，得－3所以当－3(2) 由Δ＝0，得m＝±3，
所以当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，此时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 由Δ<0，得m<－3或m>3，
所以当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，此时直线l与椭圆C没有公共点．
跟踪训练 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，
整理，得x2＋2kx＋1＝0.
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P，Q，
所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞).
例2 当直线的斜率不存在时，由题意可知直线方程为x＝0，满足条件；
当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为y＝kx＋4，
代入y2＝16x，得k2x2＋(8k－16)x＋16＝0，
所以Δ＝(8k－16)2－4×16k2＝256－256k＝0，
解得k＝1，所以直线的方程为y＝x＋4.
当斜率为0时，由题意可知直线方程为y＝4，满足条件．
综上所述，满足条件的直线有三条，方程为x＝0，x－y＋4＝0，y＝4.
跟踪训练 (1) 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).由已知，得a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝1，
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2) 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意，知 解得所以当例3 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
由椭圆方程，知a2＝4，b2＝1，
所以c＝＝，
所以F(，0)，所以直线l的方程为y＝x－，
代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以AB＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
跟踪训练1 由题意，得当直线的斜率不存在时，不满足题意，所以设直线的方程为y＝kx＋2－4k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得k2x2＋(4k－8k2－6)x＋(2－4k)2＝0.
由题意，得kOA·kOB＝·＝－＝－1，
所以x1x2＝36，
所以＝36，解得k＝－1或k＝，
所以x1＋x2＝18或x1＋x2＝138，
所以AB2＝OA2＋OB2＝x＋6x1＋x＋6x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋6(x1＋x2)，
所以AB2＝360或AB2＝19 800，
所以AB＝6或AB＝30.
跟踪训练2 (1) 因为与双曲线－＝1有相同渐近线，
所以设所求双曲线为－＝λ，即－＝1.
因为焦点在y轴上，虚轴长为4，
所以－4λ＝4，解得λ＝－1，
故双曲线C的方程为－＝1.
(2) 由题意，知直线l的斜率不为0，
设直线的方程为x＝my＋2，
联立消去x并整理，得(4－3m2)y2－12my－24＝0.
因为直线l与双曲线的异支相交于A，B两点，
所以Δ＝144m2＋96(4－3m2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
且y1y2＝－<0，即4－3m2>0.
因为S△AOB＝S△AOM＋S△BOM，
＝×2×|y1－y2|
＝
＝＝4，
所以＋＝16×15，
化简，得8－3m2＝5(4－3m2)2，
所以4＋4－3m2＝5(4－3m2)2.
令t＝4－3m2，则5t2－t－4＝0，
解得t＝1或t＝－.
由y1y2＝－<0，即4－3m2>0知，t＝1，即4－3m2＝1，解得m＝±1，
此时m2＝1满足Δ>0，y1y2<0，
故所求直线方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
【检测反馈】
1. B 联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6.又抛物线 y2＝4x的焦点F(1，0)在直线y＝x－1上，所以AB＝x1＋x2＋p＝8.
2. A 由线段AB的中点横坐标是，得线段AB的中点纵坐标是.设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去x并整理，得(9b2－a2)y2－6b2my＋b2(m2－a2)＝0，Δ＝36b4m2－4b2(9b2－a2)(m2－a2)＝4a2b2(9b2＋m2－a2)>0，所以y1＋y2＝＝，整理，得a2＝4b2，显然Δ>0成立，所以该双曲线的离心率e＝＝＝.
3. BCD 易知当AB⊥x轴，即线段AB为通径时，AB最短，所以AB＝＝4，解得b2＝6，所以椭圆方程为＋＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2，故A错误；因为△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝12，且ABmin＝4，所以(AF2＋BF2)max＝12－ABmin＝8，故B正确；因为c＝＝，a＝3，所以离心率e＝＝，故C正确；易知当点P位于短轴顶点时，∠F1PF2最大，此时PF1＝PF2＝a＝3，F1F2＝2c＝2，所以cos ∠F1PF2＝＝>0.又∠F1PF2为三角形内角，所以∠F1PF2∈，所以椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故D正确．故选BCD.
4. 由题意，得直线的方程为y＝(x－3).设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝－8，所以AB＝·＝×＝.
5. (1) 联立消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
解得－≤m≤，
故实数m的取值范围是.
(2) 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为OP⊥OQ，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝＝0，解得m＝±，
故直线l的方程为y＝x±.(共37张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.5 直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 根据直线与曲线的交点个数来判断直线与圆锥曲线的位置关系．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一 判断直线与圆锥曲线的位置关系
思考1
如何判断两条直线的位置关系？
【解析】 在一平面内，若两条直线有一个公共点，则两条直线相交；若两条直线有无数个公共点，则两条直线重合；若两条直线没有公共点，则两条直线互相平行．
思考2
如何判断直线与圆的位置关系？
【解析】 若直线与圆没有公共点，则直线与圆相离；若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切；若直线与圆只有两个公共点，则直线与圆相交．
探究：
直线与圆锥曲线有几种位置关系？如何判断？
【解析】 略
(1) 有两个不同的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
【解析】 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
则关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P，Q，
例2 经过点P(0,4)，且与抛物线y2＝16x只有一个交点的直线有几条？求出这样的直线方程．
【解析】 当直线的斜率不存在时，由题意可知直线方程为x＝0，满足条件；
当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为y＝kx＋4，
代入y2＝16x，得k2x2＋(8k－16)x＋16＝0，
所以Δ＝(8k－16)2－4×16k2＝256－256k＝0，解得k＝1，
所以直线的方程为y＝x＋4.
当斜率为0时，由题意可知直线方程为y＝4，满足条件．
综上所述，满足条件的直线有三条，方程为x＝0，x－y＋4＝0，y＝4.
活动二 会求直线与圆锥曲线相交弦的长
【解析】 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由椭圆方程，知a2＝4，b2＝1，
已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4，2)，且OA⊥OB (O为坐标原点)，求弦AB的长．
所以x1x2＝36，
(2) 由题意，知直线l的斜率不为0，
设直线的方程为x＝my＋2，
｀
因为S△AOB＝S△AOM＋S△BOM，
化简，得8－3m2＝5(4－3m2)2，
所以4＋4－3m2＝5(4－3m2)2.
令t＝4－3m2，则5t2－t－4＝0，
此时m2＝1满足Δ>0，y1y2<0，
故所求直线方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
1. (2024安徽师范大学附属中学阶段练习)直线y＝x－1与抛物线y2＝4x交于 A，B两点，则AB的值为( )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
【答案】 B
2
4
5
1
3
2
4
5
1
3
【答案】 A
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 BCD
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
5. 已知椭圆C：4x2＋y2＝1及直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1) 当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点；
(2) 若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，O为坐标原点，求直线l的方程．
2
4
5
3
1
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
2
4
5
3
1
(2) 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
谢谢观看
Thank you for watching
