3．5.2 直线与圆锥曲线的位置关系(2)
1. 利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决简单的综合问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的值或取值范围
例1 设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
活动二 体会直线与圆锥曲线相交的解决方法
例2 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________．
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
(1) 根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2) 点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
活动三 直线与圆锥曲线位置关系的综合应用
例4 如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．
1. (2023深圳期末)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
2. (2024内蒙古赤峰开学考试)已知直线l交抛物线C：x2＝－28y于M，N两点，且MN的中点为(－2，－11)，则直线l的斜率为( )
A. － B. C. D. －
3. (多选)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点．若|＋|＝8，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为y＝±x
C. △PF1F2的面积为36 D. 点P到该双曲线左焦点的距离为18
4. (2023云南阶段练习)已知双曲线C：－＝1，M，N是双曲线C上的两点，P是MN的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则直线MN的斜率为________．
5. 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P在椭圆E上，且△PF1F2面积的最大值为2.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆E交于不同的两点M，N，若x轴上存在点G，使得GM＝GN，求点G的横坐标的取值范围．【参考答案与解析】
3.5.2 直线与圆锥曲线的位置关系(2)
【活动方案】
例1 C 由题意，知两个交点横坐标是－c，c，所以两个交点分别为，，代入椭圆方程，得＋＝1，两边乘以2a2b2，得c2(2b2＋a2)＝2a2b2.因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，即(2a2－c2)(a2－2c2)＝0，所以＝2或＝.因为0例2 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
所以＝＝2，解得k＝－，
故直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
例3 设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减，得＋＝0，所以＝－×＝1，所以＝，故椭圆的离心率e＝＝ ＝.
例4 由题意，知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
联立消去y并整理，得(＋)·x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①
设M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－. ②
由①②，得m<－或m>.
【检测反馈】
1. A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得两式作差，得＋＝0.又AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，则＝.又直线AB的斜率为kAB＝＝，所以＝，而a2－b2＝c2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为＋＝1.
2. C 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入抛物线C：x2＝－28y，得两式相减，得(x2－x1)(x2＋x1)＝－28(y2－y1)，所以直线l的斜率为k＝＝－.因为MN的中点为(－2，－11)，所以x1＋x2＝－4，所以k＝－＝－＝，即直线l的斜率为.
3. BD 因为在双曲线－＝1中，a2＝25，b2＝16，则c2＝a2＋b2＝41，所以左焦点为 F1(－，0)，离心率为e＝＝＝，故A错误；令－＝0，则双曲线的渐近线方程为 y＝±x，故B正确；由题意，设P(x0，y0)，x0≥5, 则＝(x0，y0)，＝(－，0)，所以＋＝(x0－，y0).因为|＋|＝8，所以(x0－)2＋y＝64.又－＝1，则y＝－16，所以(x0－)2＋－16＝64，整理，得－2x0－39＝0，解得x0＝或x0＝－(舍去)，所以|y0|＝＝，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝F1F2·|y0|＝×2×＝32，故C错误；PF1＝＝18，故D正确．故选BD.
4. －4 设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).因为M，N是双曲线C上的两点，P是MN的中点，O为坐标原点，且直线OP的斜率为－，所以＝－①，－＝1②，－＝1③，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以②－③，得－＝0，即＝，整理，得＝＝＝，即＝2×(－2)＝－4，所以kMN＝＝－4.
5. (1) 由题意，显然当点P在短轴端点时，△PF1F2的面积最大，则×2c×b＝2，即bc＝2.
又由离心率e＝＝，a2－b2＝c2，
解得a2＝9，b2＝8，c2＝1，
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2) 联立消去y并整理，得(8＋9k2)·x2＋36kx－36＝0.
因为直线l恒过定点(0，2)，
所以直线与椭圆必有两个交点．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
设MN的中点为E(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝.
因为GM＝GN，所以GE⊥MN.
设G(m，0)，则kGE＝＝－，化简，得m＝＝.
当k>0时，9k＋≥2＝12，当且仅当9k＝，即k＝时，等号成立，故－≤m<0；
当k<0时，9k＋≤－2＝－12，当且仅当9k＝，即k＝－时，等号成立，故0综上，点G的横坐标的取值范围为[－，0)∪(0，].(共32张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.5 直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.2 直线与圆锥曲线的位置关系(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决简单的综合问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一 已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的值或取
值范围
【答案】 C
活动二 体会直线与圆锥曲线相交的解决方法
【解析】 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又M为线段AB的中点，
故直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
反思与感悟
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
(1) 根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
活动三 直线与圆锥曲线位置关系的综合应用
设M为AB的中点，
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
【答案】 A
2
4
5
1
3
2
4
5
1
3
2. (2024内蒙古赤峰开学考试)已知直线l交抛物线C：x2＝－28y于M，N两点，且MN的中点为(－2，－11)，则直线l的斜率为( )
2
4
5
1
3
【答案】 C
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 BD
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 －4
2
4
5
3
1
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆E交于不同的两点M，N，若x轴上存在点G，使得GM＝GN，求点G的横坐标的取值范围．
2
4
5
3
1
【解析】 (1) 由题意，显然当点P在短轴端点时，△PF1F2的面积最大，
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
谢谢观看
Thank you for watching
