(共32张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.6 圆锥曲线的综合应用
3.6.1 圆锥曲线的综合应用(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握圆锥曲线的方程和几何性质的应用．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一 圆锥曲线方程的应用
【解析】 易知a>0，b>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以|x2－x1|＝2.
活动二 圆锥曲线几何性质的应用
【答案】 D
【解析】 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以A(5,0)是双曲线C的右焦点，且PQ＝QA＋PA＝4b＝16.因为点A在线段PQ上，所以点P，Q在双曲线的右支上．由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6，所以PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，所以△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
【答案】 44
活动三 圆锥曲线中的最值问题、存在性问题
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
检 测 反 馈
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【答案】 B
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A. 48 B. 50
C. 52 D. 54
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【答案】 B
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【答案】 ACD
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5. (2023咸宁高级中学阶段练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线PF1交双曲线于另一点Q，满足PF2＝F1F2，且△PQF2的周长为32.
(1) 求双曲线的标准方程；
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【解析】 (1) 由PF2＝F1F2＝2c,2a＝6，
得PF1＝2c＋6，PQ＝2c＋6－QF1，QF2＝QF1＋6，
所以2c＋6－QF1＋2c＋QF1＋6＝32，解得c＝5，b2＝c2－a2＝16，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x，y)，
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即16x－5y－80＝0，
所以点H在定直线16x－5y－80＝0上．
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3.6 圆锥曲线的综合应用
3.6.1 圆锥曲线的综合应用(1)
【活动方案】
例1 易知a>0，b>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意，得ax＋by＝1, ①
ax＋by＝1, ②
由②－①，得a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(y2＋y1)·(y2－y1)＝0.
因为＝kAB＝－1，＝kOC＝，
所以b＝a.
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
所以|x2－x1|＝2.
由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－＝4.
将b＝a代入上式，得a＝，b＝，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
例2 (1) D 由题意，得椭圆方程为＋y2＝1，联立消去y并整理，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，代入直线方程，得或不妨设A(0，1)，B，所以AB＝＝.
(2) 44 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以A(5，0)是双曲线C的右焦点，且PQ＝QA＋PA＝4b＝16.因为点A在线段PQ上，所以点P，Q在双曲线的右支上．由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6，所以PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，所以△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
(3) 4 由抛物线的定义，得AF＝AH.因为直线AF的斜率为，所以直线AF的倾斜角为30°.因为AH垂直于准线，所以∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A(m，)，m>0.过点F作FM⊥AH于点M，则在Rt△FAM中，AM＝AF，所以－1＝(＋1)，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长AH＝4，所以△AHF的面积是×4×4×sin 60°＝4.
例3 由＋＝1，得F(－1，0).
设P(x，y)，－2≤x≤2，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
所以当x＝2时，·取得最大值6.
例4 (1) 因为椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，
所以解得
所以椭圆C的方程为x2＋＝1.
(2) 将y＝kx＋代入椭圆方程，
得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由题意，知OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝kx1＋，y2＝kx2＋，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝0，
所以(1＋k2)(－)＋k(－)＋3＝0，
解得k＝±，
所以存在实数k＝±，使得以线段AB为直径的圆恰好经过原点O.
【检测反馈】
1. B 抛物线x＝y2，即y2＝4x的焦点(1，0)到双曲线x2－＝1的渐近线y＝±x的距离是.
2. B 设点P(5cos θ，4sin θ).由F1(－3，0)，F2(3，0)，＝4，得F(25cos θ－12，20sin θ)，所以＝(25cos θ－9，20sin θ)，则||2＝(25cos θ－9)2＋(20sin θ)2＝225cos 2θ－450cos θ＋481＝225(cos θ－1)2＋256∈[256，1 156]，所以||∈[16，34]，则F1F的最小值和最大值之和为16＋34＝50.
3. ACD 设M(x1，y1)，N(x2，y2).根据题意，设直线MN的方程为y＝k，且k>0，与y2＝2px(p>0)联立，消去y并整理，得k2x2－(k2p＋ 2p)x＋k2p2＝0，则x1＋x2＝p＋①，x1x2＝②.因为＝3，所以x1＋＝3，即x1－3x2＝p③，由②③解得，x1＝p，x2＝p，代入①，得p＋p＝p＋，解得k2＝3.因为k>0，所以k＝，故A正确；将x1＝p，x2＝p分别代入y2＝2px中，得M，N(p，－p)，所以S△MON＝OF·|y1－y2|＝××p＝p2.由A可知，k＝＝tan α，所以sin α＝，所以＝＝≠p2，故B错误；因为NQ⊥l，所以Q(－p，－p)，所以kOQ＝.又kOM＝，所以M，O，Q三点共线，故C正确；因为M，F，所以MF＝2p，线段MF的中点坐标为.因为线段MF的中点的横坐标恰为MF的一半，所以以MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选ACD.
4．－ 椭圆＋＝1的右焦点F(4，0)，设P(0，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ1，得(x1，y1－t)＝λ1(4－x1，－y1)，即则又＋＝1，所以＋＝(1＋λ1)2，同理由＝λ2，得＋＝(1＋λ2)2，两式相减，得＝(λ1－λ2)(λ1＋λ2＋2)，此等式恒成立，显然λ1－λ2不恒为0，因此16(λ1＋λ2)＝25(λ1＋λ2＋2)，解得λ1＋λ2＝－，所以λ1＋λ2的值为－.
5. (1) 由PF2＝F1F2＝2c，2a＝6，
得PF1＝2c＋6，PQ＝2c＋6－QF1，QF2＝QF1＋6，
所以2c＋6－QF1＋2c＋QF1＋6＝32，解得c＝5，b2＝c2－a2＝16，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 因为＝，设＝λ，
则＝－λ.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x，y)，
则－＝1，－＝1.
由＝λ，得＝λ(x2－，y2－1)，
即可化为
由＝－λ，得(x－x1，y－y1)＝－λ(x2－x，y2－y)，
即可化为
所以＝x，＝y，
所以x－y＝[(－)－λ2(－)]＝1，
即16x－5y－80＝0，
所以点H在定直线16x－5y－80＝0上．3．6 圆锥曲线的综合应用
3.6.1 圆锥曲线的综合应用(1)
1. 掌握圆锥曲线的方程和几何性质的应用．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 圆锥曲线方程的应用
例1 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是线段AB的中点，O为坐标原点．若AB＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程．
活动二 圆锥曲线几何性质的应用
例2 (1) 已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点．若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是( )
A. B. 2 C. D.
(2) 已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________；
(3) 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是________．
活动三 圆锥曲线中的最值问题、存在性问题
例3 若O，F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，求·的最大值．
例4 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
1. 抛物线x＝y2的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C. D.
2. (2024全国竞赛)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P和平面一点F满足 ＝4，则F1F的最大值与最小值之和是( )
A. 48 B. 50 C. 52 D. 54
3. (多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，焦点为F，坐标原点为O，过点F的直线交抛物线于点M，N，且点M在第一象限，＝3，过点M，N作准线的垂线，垂足分别为P，Q，直线MN的倾斜角为α，则下列说法中一定正确的是( )
A. kMN＝ B. S△MON＝
C．M，O，Q三点共线 D. 以MF为直径的圆与y轴相切
4. (2023日照实验高级中学阶段练习)已知椭圆＋＝1，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，设＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2＝________．
5. (2023咸宁高级中学阶段练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线PF1交双曲线于另一点Q，满足PF2＝F1F2，且△PQF2的周长为32.
(1) 求双曲线的标准方程；
(2) 过点G作直线l与双曲线的右支相交于M，N两点，在线段MN上取点H，满足＝，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．
