(共33张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.6 圆锥曲线的综合应用
3.6.2 圆锥曲线的综合应用(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握圆锥曲线中的最值、定值、定点类问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一 圆锥曲线中的最值问题
例1 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1) 若P(m，n)是椭圆C上的一点，求m2＋n2的取值范围；
(2) 设直线l：y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及当△AOB的面积最大时直线l的方程．
【解析】 (1) 因为P(m，n)是椭圆C上的一点，
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
活动二 圆锥曲线中的定值问题
(1) 求椭圆C的方程及离心率；
(2) 设P为第三象限内的一点，且在椭圆C上，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【解析】 (1) 由题意，得a＝2，b＝1，
(2) 设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
又A(2,0)，B(0,1)，
所以四边形ABNM的面积为定值．
活动三 圆锥曲线中的定点问题
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A 均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
(2) 由x－my－t＝0，得x＝my＋t，
代入椭圆E的方程，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为以MN为直径的圆过点A，
所以AM⊥AN，
因为点M，N与点A均不重合，
所以t≠－2，
检 测 反 馈
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1
3
2
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1
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【答案】 C
2
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【答案】 B
2
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1
B. 以MN为直径的圆的面积大于4π
C. 直线MN过定点(2,0)
D. 点O到直线MN的距离不大于2
2
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1
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3
1
【答案】 CD
2
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1
4. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3,2)，P是抛物线上的一点，点P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________.
2
4
5
3
1
(1) 求椭圆E的方程和离心率；
(2) 过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆E于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值．
2
4
5
3
1
【解析】 (1) 由题意可得A(－a,0)，C(0，b)，
所以a2－b2＝c2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
2
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5
3
1
设R(x1，y1)，S(x2，y2)(x1x2≠0)，
2
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3
1
即k的值为3.
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．6.2 圆锥曲线的综合应用(2)
【活动方案】
例1 (1) 因为P(m，n)是椭圆C上的一点，
所以＋n2＝1，
所以m2＋n2＝m2＋1－＝1－3m2.
又因为－≤m≤，所以0≤m2≤，
所以≤1－3m2≤1，
所以m2＋n2的取值范围是.
(2) 可求得点O到直线AB的距离为d＝.
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
所以－因为x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以AB＝·＝·＝，
所以S△AOB＝AB·d＝×·＝≤·＝，当且仅当－m2＝m2，即m＝±时，取等号，
所以△AOB面积的最大值为，此时直线方程为x－y－＝0或x－y＋＝0.
例2 (1) 由题意，得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，
所以离心率e＝＝.
(2) 设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.
又A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2).
令x＝0，得yM＝－，
所以BM＝1－yM＝1＋；
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
所以AN＝2－xN＝2＋，
所以四边形ABNM的面积S＝AN·BM
＝
＝
＝＝2，
所以四边形ABNM的面积为定值．
例3 (1) 由e2＝＝＝，得a2＝2b2，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
将点代入，得b2＝2，a2＝4，
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2) 由x－my－t＝0，得x＝my＋t，
代入椭圆E的方程，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.
因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN，
所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝＋2×＋4＋
＝＝＝0.
因为点M，N与点A均不重合，所以t≠－2，
所以t＝－，则直线l的方程是x＝my－，故直线l过定点T.
易知点T在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个不同的交点，满足题意，
所以直线l过定点T.
【检测反馈】
1. C 由题可知双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线2x－4y＋2＝0的斜率为，则－×＝－1，即＝2.又c2＝a2＋b2，所以e＝＝＝.
2. B 如图，由椭圆和双曲线的定义，得解得在△MF1F2中，由余弦定理，得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cos ∠F1MF2，代入，得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·，整理，得4c2＝a＋3a，同除以c2，得4＝＋3，即4＝＋3，所以＝4－3.又e2∈[，]，所以3∈，则∈，所以e1∈.
3. CD 不妨设M为第一象限内的点．①当直线MN⊥x轴时，kOM＝－kON.由kOM·kON＝－，得kOM＝，kON＝－，所以直线OM，ON的方程分别为y＝x和y＝－x.与抛物线方程联立，得M(2，)，N(2，－)，所以直线MN的方程为x＝2，此时OM＋ON＝2，以MN为直径的圆的面积S＝2π，故A，B不正确；②当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，消去x并整理，得ky2－y＋m＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝.因为kOM·kON＝－，所以·＝－，则2y1y2＝－x1x2＝－yy，则y1y2＝－2，所以＝－2，即m＝－2k，所以直线MN的方程为y＝kx－2k＝k(x－2).综上可知，直线MN恒过定点Q(2，0)，故C正确；易知当OQ⊥MN时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为2，即原点O到直线MN的距离不大于2，故D正确．故选CD.
4. 4＋2 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，则PF＝PQ，△PAF的周长为PF＋PA＋AF＝PQ＋PA＋AF≥4＋2，当且仅当A，P，Q三点共线时取等号，所以△PAF周长的最小值为4＋2.
5. (1) 由题意可得A(－a，0)，C(0，b)，
则AC＝＝，即a2＋b2＝5，
由焦距为2，可得c＝，
所以a2－b2＝c2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1，离心率e＝.
(2) 由(1)可得C(0，1)，
由题意设直线RS的方程为x＝my＋1(m≠0)，则k＝，
设R(x1，y1)，S(x2，y2)(x1x2≠0)，
则k1＝，k2＝.
联立消去x并整理，得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
显然Δ>0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以k1＋k2＝＋
＝
＝
＝＝.
因为k1＋k2＝－3，即－3＝，解得m＝，
所以直线RS的斜率k＝＝3.
即k的值为3.3．6.2 圆锥曲线的综合应用(2)
1. 掌握圆锥曲线中的最值、定值、定点类问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 圆锥曲线中的最值问题
例1 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1) 若P(m，n)是椭圆C上的一点，求m2＋n2的取值范围；
(2) 设直线l：y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及当△AOB的面积最大时直线l的方程．
活动二 圆锥曲线中的定值问题
例2 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过A(2，0)，B(0，1)两点．
(1) 求椭圆C的方程及离心率；
(2) 设P为第三象限内的一点，且在椭圆C上，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
活动三 圆锥曲线中的定点问题
例3 设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点(－1，－).
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A 均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
1. (2023哈尔滨期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－4y＋2＝0垂直，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 2
2. (2024盐城期末)设F1，F2分别为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝60°，若双曲线C2的离心率e2∈[，]，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为( )
A. [，1) B. [，] C. (0，] D. [，]
3. (多选)设M，N是抛物线y2＝x上的两个不同的点，O是坐标原点．若直线OM与ON的斜率之积为－，则下列说法中正确的是( )
A. OM＋ON≥4 B. 以MN为直径的圆的面积大于4π
C. 直线MN过定点(2，0) D. 点O到直线MN的距离不大于2
4. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，P是抛物线上的一点，点P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．
5. (2024潍坊一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)中，A，C分别是椭圆E的左、上顶点，AC＝，且椭圆E的焦距为2.
(1) 求椭圆E的方程和离心率；
(2) 过点(1，0)且斜率不为零的直线交椭圆E于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值．
