(共49张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
本 章 复 习
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固椭圆、双曲线、抛物线的概念及其几何性质．
3. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用及圆锥曲线性质的应用．
活 动 方 案
活动一 理解与圆锥曲线相关的基本知识
1. 知识结构框图：
2. 知识能力整合：
三种圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质：
椭圆 双曲线 抛物线
对称轴
焦点坐标
离心率
准线方程
渐近线方程
【解析】 填表略
活动二 圆锥曲线的方程与性质
例1 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2c＝a＋b，且CB>CA，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．
【解析】以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系.
因为2c＝a＋b，即CB＋CA＝2AB＝4>2，且CB>CA，
所以点C的轨迹为椭圆的左半部分，且去掉左顶点．
反思与感悟
根据条件先判断动点的轨迹，再求其轨迹方程．
已知圆(x＋4)2＋y2＝25的圆心为M1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程．
【解析】 设动圆圆心P(x，y)，动圆的半径为R.
由题意，得PM1＝R＋5，PM2＝R＋1，
所以PM1－5＝PM2－1，
即PM1－PM2＝4<8＝M1M2，
所以动圆圆心P的轨迹是以M1，M2为焦点的双曲线的右支，其中c＝4，a＝2，
所以b2＝12，
例2 过原点的直线l与曲线y＝x2－2x＋2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹．
【解析】 设AB的中点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意，直线l的斜率必须存在，设为k.
又直线l过原点，
所以直线l的方程为y＝kx.
所以x1＋x2＝2＋k，
又因为直线l与曲线有两交点，
所以(2＋k)2－8>0，
反思与感悟
消参求轨迹方程时，特别要注意其取值范围．
由OM⊥AB，得点M在以ON为直径的圆上(去掉原点)，所以动点M的轨迹方程为x2＋y2－4y＝0(y≠0)．
活动三 直线与圆锥曲线的有关问题
【解析】 不妨设直线l过双曲线的右焦点(2,0)．当AB⊥x轴时，点A(2,3)，B(2，－3)，不满足条件，则直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)．
代入双曲线方程，得3x2－k2(x－2)2＝3，
即(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)>0，
反思与感悟
直线与圆锥曲线的位置关系，通常采用代数的方法(建立方程组)去研究解决．
(1) 求mn的值；
(2) 求点P的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
(3) 设直线l的方程为x＝ty＋2，将其代入轨迹C的方程，得3(ty＋2)2－y2＝3，
即(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0.
易知(3t2－1)≠0.
又Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
活动四 求取值范围或最值
反思与感悟
圆锥曲线中的最值问题一般采用代数的方法，即列出求解的表达式，再根据变量的取值范围解决这个式子的最值问题．有时也根据题中的图形特征，用几何的方法解决其最值问题．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N.当AM＝AN时，求实数m的取值范围．
因为直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0, 即m2<3k2＋1，①
又AM＝AN，所以AP⊥MN，
检 测 反 馈
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【答案】 D
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A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【答案】 B
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3. (多选)(2024长沙一中开学考试)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，动点M(x0，y0)(x0≥0)，记点M到y轴的距离为d.将满足AM＝d＋1的点M的轨迹记为Γ，且直线l：kx－y＋k＝0与Γ交于相异的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线Γ的方程为y2＝2x
B. 直线l过定点(－1,0)
C. y1＋y2的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)
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【答案】 BCD
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4. 在抛物线y2＝16x内，通过点(2,1)且被此点平分的弦所在直线的方程是______________.
【答案】 8x－y－15＝0
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而n2－4m2＝－32≠0，且Δ＝(64m)2＋4(n2－4m2)×8(n2＋32)＝(64m)2－322×4m2＝0，
所以直线l与双曲线C相切于点M.
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谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
第3章 圆锥曲线的方程 复 习
【活动方案】
2. 填表略
例1 以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系．
因为2c＝a＋b，即CB＋CA＝2AB＝4>2，且CB>CA，
所以点C的轨迹为椭圆的左半部分，且去掉左顶点．
设点C的轨迹方程为＋＝1(x<0，且x≠－2)，在此椭圆中，a′＝2，c′＝1，b′＝，
故点C的轨迹方程为＋＝1(x<0且x≠－2).
跟踪训练 设动圆圆心P(x，y)，动圆的半径为R.
由题意，得PM1＝R＋5，PM2＝R＋1，
所以PM1－5＝PM2－1，
即PM1－PM2＝4<8＝M1M2，
所以动圆圆心P的轨迹是以M1，M2为焦点的双曲线的右支，其中c＝4，a＝2，
所以b2＝12，
故所求轨迹方程为－＝1(x≥2).
例2 设AB的中点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
依题意，直线l的斜率必须存在，设为k.
又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝kx.
联立消去y并整理，得x2－(2＋k)x＋2＝0，
所以x1＋x2＝2＋k，所以x＝＝，
y＝kx＝k·＝.
由消去k并整理，得y＝2x2－2x.
又因为直线l与曲线有两交点，
所以(2＋k)2－8>0，
解得k＋2<－2或k＋2>2.
因为x＝，所以x<－或x>，
所以所求的轨迹是抛物线y＝2x2－2x(x<－或x>).
跟踪训练 由题意，得直线OA的斜率存在且不为0，设直线OA的方程为y＝kx，代入y＝x2，得点A的坐标为(4k，4k2).
因为OA⊥OB，所以kOB＝－.
同理可得点B的坐标为，
所以直线AB的方程为y－4k2＝(x－4k)，
即y＝x＋4，故直线AB过定点N(0，4).
由OM⊥AB，得点M在以ON为直径的圆上(去掉原点)，所以动点M的轨迹方程为x2＋y2－4y＝0(y≠0).
例3 不妨设直线l过双曲线的右焦点(2，0).当AB⊥x轴时，点A(2，3)，B(2，－3)，不满足条件，则直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－2).
代入双曲线方程，得3x2－k2(x－2)2＝3，
即(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－.
因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以－＝0，解得k2＝，
所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－，
故AB＝|x1－x2|＝4.
跟踪训练 (1) 由已知，得·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn＝－，所以mn＝.
(2) 设点P的坐标为(x，y)(x＞0).
由＝＋，得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，(m－n))，
所以所以x2－＝4mn.
又因为mn＝，
所以点P的轨迹方程为x2－＝1(x>0).
它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．
(3) 设直线l的方程为x＝ty＋2，将其代入轨迹C的方程，得3(ty＋2)2－y2＝3，
即(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0.
易知(3t2－1)≠0.
又Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
因为直线l与轨迹C的两个交点M，N在y轴的右侧，
所以x1x2＝(ty1＋2)(ty2＋2)＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝t2·＋2t·＋4＝－>0，
所以3t2－1<0，即0又由x1＋x2>0，同理可得0由＝3，得－y1＝3y2.
由y1＋y2＝－3y2＋y2＝－2y2＝－，
得y2＝，
由y1y2＝(－3y2)y2＝－3y＝，
得y＝－，
消去y2，得 ＝－，
解得t2＝，满足0故直线l存在，其方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
例4 (1) 由题设，知A，F1(，0).
由＋2＝0，得＝2(－)，解得a＝2，
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2) ·＝(－)·(－)
＝(－－)·(－)
＝(－)2－||2＝||2－1.
从而将求·的最大值转化为求||2的最大值．
设P(x0，y0).
因为P是椭圆M上的任意一点，
所以＋＝1，即x＝24－3y.
又N(0，2)，所以||2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋30.
又y0∈[－2，2]，
所以当y0＝－1时，||2取最大值30，
所以·的最大值为29.
跟踪训练 (1) 依题意可设椭圆的方程为 ＋y2＝1，
则右焦点F(，0)，
所以＝3，解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2) 设P为弦MN的中点．
由消去y并整理，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.
因为直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0, 即m2<3k2＋1，①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－.
又AM＝AN，所以AP⊥MN，则－＝－，即2m＝3k2＋1.②
将②代入①，得 2m>m2，解得 0又由②，得k2＝>0，解得m>，
故实数m的取值范围是.
【检测反馈】
1. D 双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x.联立消去y并整理，得x2－x＋1＝0，所以Δ＝－4＝0，所以＝2，所以e＝＝＝.
2. B 设椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，令F1F2＝2c，不妨设PF1>PF2，则解得由余弦定理，得(2c)2＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，化简，得(2c)2＝(m＋n)2＋(m－n)2＋(m＋n)(m－n)，整理，得4c2＝3m2＋n2，则4＝3＋，即＋＝4.
3. BCD 依题意，得点M到直线x＝－1的距离等于到点A(1，0)的距离，所以点M的轨迹Γ是抛物线，其方程为y2＝4x，故A错误；直线l：k(x＋1)－y＝0恒过定点(－1，0)，故B正确；联立消去y并整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4>0，k≠0，解得－14. 8x－y－15＝0 设所求直线与y2＝16x相交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程，得y＝16x1，y＝16x2，两式相减，得(y1＋y2)·(y1－y2)＝16(x1－x2)，即＝＝＝8，所以kAB＝8，故所求直线方程为8x－y－15＝0.
5. (1) 由题意，得解得a2＝8，b2＝32，
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
(2) 因为M(m，n)是双曲线C上任意一点，
所以－＝·m－·n＝－＝1，
所以点M(m，n)也在直线l上，
联立消去y并整理，得(n2－4m2)x2＋64mx－256－8n2＝0，
而n2－4m2＝－32≠0，且Δ＝(64m)2＋4(n2－4m2)×8(n2＋32)＝(64m)2－322×4m2＝0，
所以直线l与双曲线C相切于点M.
(3) 不妨设T(m，n)，P(p，q)，
由(2)可知过点T的直线PT的方程为－＝1.
因为点P(p，q)在直线－＝1上，
所以－＝1，即nq＝4mp－32.
又a2＋b2＝40，所以焦点F(2，0)，
所以＝(p－2，q)，＝(m－2，n).
因为·＝0，所以·＝(p－2)(m－2)＋qn＝pm－2(p＋m)＋40＋4pm－32＝5pm－2(p＋m)＋8＝0，
整理，得p(m－2)＝2(m－2).
因为|m|≥a＝2，所以m－2≠0，
所以p＝＝，
所以点P在定直线上x＝上．第3章 圆锥曲线的方程 复 习
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固椭圆、双曲线、抛物线的概念及其几何性质．
3. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用及圆锥曲线性质的应用．
活动一 理解与圆锥曲线相关的基本知识
1. 知识结构框图：
2. 知识能力整合：
三种圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质：
椭圆 双曲线 抛物线
统一定义
各自定义
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0)
图 形
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
离心率
准线方程
渐近线方程
活动二 圆锥曲线的方程与性质
例1 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2c＝a＋b，且CB>CA，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．
根据条件先判断动点的轨迹，再求其轨迹方程．
已知圆(x＋4)2＋y2＝25的圆心为M1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程．
例2 过原点的直线l与曲线y＝x2－2x＋2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹．
消参求轨迹方程时，特别要注意其取值范围．
以抛物线y＝x2的弦AB为直径的圆经过原点O，过点O作OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程．
活动三 直线与圆锥曲线的有关问题
例3 设直线l过双曲线x2－＝1的一个焦点，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点．若·＝0，求AB的值．
直线与圆锥曲线的位置关系，通常采用代数的方法(建立方程组)去研究解决．
如图，A(m，m)，B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1) 求mn的值；
(2) 求点P的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
(3) 若直线l过点E(2，0)交(2)中曲线C于M，N两点，且＝3，求直线l的方程．
活动四 求取值范围或最值
例4 设椭圆M：＋＝1(a>2)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A.若＋2＝0(其中O为坐标原点).
(1) 求椭圆M的方程；
(2) 设P是椭圆M上的一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径，求·的最大值．
圆锥曲线中的最值问题一般采用代数的方法，即列出求解的表达式，再根据变量的取值范围解决这个式子的最值问题．有时也根据题中的图形特征，用几何的方法解决其最值问题．
已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1).若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N.当AM＝AN时，求实数m的取值范围．
1. 若双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A. B. 5 C. D.
2. (2023哈尔滨期中)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多选)(2024长沙一中开学考试)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1，0)，动点M(x0，y0)(x0≥0)，记点M到y轴的距离为d.将满足AM＝d＋1的点M的轨迹记为Γ，且直线l：kx－y＋k＝0与Γ交于相异的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线Γ的方程为y2＝2x
B. 直线l过定点(－1，0)
C. y1＋y2的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)
D. ·的取值范围是(－∞，4)
4. 在抛物线y2＝16x内，通过点(2，1)且被此点平分的弦所在直线的方程是______________．
5. (2024山西一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点A(3，2)，其右焦点为F，且直线y＝2x是双曲线C的一条渐近线．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 设M(m，n)是双曲线C上任意一点，直线l：－＝1，证明：l与双曲线C相切于点M；
(3) 设直线PT与双曲线C相切于点T，且·＝0，证明：点P在定直线上．
