人教版九年级数学第27章《相似》全章导学案

27.1 图形的相似-1（第一课时） 　
教学目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
教学过程：
1、预习检测案：
相似图形的概念：
二、合作探究案：
线段的比：两条线段的比，就是两条线段长度的比．
成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）
例2一张桌面的长，宽，那么长与宽的比是多少？
（1）如果，，那么长与宽的比是多少？
（2）如果，，那么长与宽的比是多少？
小结：上面分别采用三种不同的长度单位，求得的的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．
三、达标测评案：
1、下列说法正确的是（ ）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.
2、填空题
形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。
4．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm；
（2）（小） ；（大） ．
（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
3．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
5．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
6．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
课后反思：　
27.1 图形的相似-2（第二课时）　
教学目标：知道相似多边形的主要特征：会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
一、预习检测案：(阅读教材P36页思考，回答以下问题)
1、相似图形性质：
2、成比例线段
二、合作探究案：
实验探究：如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？
结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．
几何语言：∵ ∴
（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．
三、达标测评案：
1．与相似，且相似比是，则 与与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边、、、的长度．
4．已知四边形和四边形相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形的最短边的长是6cm，那么四边形中最长的边长是多少？
6．如图，∥∥，，，若梯形与梯形相似，求的长．
7．如图，一个矩形的长，宽，分别是AD的中点，连接，所得新矩形A与原矩形相似，求的值．
课后反思：
27.2.1相似三角形的判定-1（第三课时） 　
教学目标：会用符号“∽”表示相似三角形如 ∽ ;知道当 与的相似比为时，与的相似比为．理解掌握平行线分线段成比例定理
教学过程：
一．预习检测案：
1、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？
2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在与中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说与相似，记作∽，就是它们的相似比．
反之如果∽，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且．
注意：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如∽;
（3）相似比是带有顺序性和对应性的：当与的相似比为时，与的相似比为．
二、合作探究案：
探究一：见课本P40探究1
问题：，．强调“对应线段的比是否相等”
归纳总结：平行线分线段成比例定理：三条_______截两条直线，所得的_____线段的比________。
做一做： 如图，若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出= _____ =_____，____=______。求FK的长
探究二：见课本P41图27.2-2
平行线分线段成比例定理推论：平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.
三、达标测评案：
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
3．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．
4 .已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC，，，求：AE的长。
课后反思：　
27.2.1相似三角形的判定-2（第四课时）
教学目标：经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．
会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
教学过程：
一．预习检测案
1、相似多边形的主要特征是什么？
2、平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？
3、什么是相似三角形？
4、问题：如果两个三角形的相似比，这两个三角形有怎样的关系？
二、合作探究案：
如果∽,那么你能找出哪些角的关系？边呢？
问题：如图，在中，DE∥BC，分别交，于点。
（1）与满足“对应角相等”吗？为什么？
（2）与满足对应边成比例吗？由DE∥BC的条件可得到哪些线段的比相等？
（3）根据以前学习的知识如何把移到上去？你能证明吗？
归纳总结：相似三角形的预备定理：
例1 如图∽，AD∥BC，．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若．求的长．
三．达标测评案：
1.下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）A．1对B．2对 C．3对 D．4对
3.如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形，写出来并说明理由；
4.如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
5. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
6.如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
课后反思：　
27.2.1相似三角形的判定-3（第五课时）
教学目标：1.掌握相似三角形的两种判定方法.2.能运用三角形相似的条件解决简单问题．
教学过程：
一．预习检测案：
两个三角形全等有哪些判定方法？我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
二．合作探究案：
探究一：见课本P42探究2
三角形相似的判定方法1：
探究二：课本P44探究3
三角形相似的判定方法2：
例1 根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1）
（2）
三、达标测评案：
1. 如图，在四边形ABCD中，，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
2. 如果在中，，在中，，，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3. 如图，中，点分别是的中点，
求证：．
4. 如图，P为正方形ABCD边BC上的点，且BP=3PC，Q为DC的中点，
求证：
　
课后反思：
27.2.1相似三角形的判定-4（第六课时）
教学目标：掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
教学过程：
一、预习检测案：
1、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
2、如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
二、合作探究（课堂导学）
实验探究：如上题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？
归纳：三角形相似的判定方法3：
例1．如图，与都是圆O的内接三角形，和相交与点,找出图中的一对相似三角形，并说明理由。
例 2 弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证: PA PB=PC PD.
例 3 已知：如图，在和中，,,
求证：∽
三．达标测评案：
1、填一填
（1）如图，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。
（2）如图，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形；
（3）底角相等的两个等腰三角形相似。
如图，在中，CD是斜边上的高，和都与相似吗？证明你的结论。
2．
3. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE ∽△EFC.
4 、图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。
5 、图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
6 、在和中，如果，，，，那么这两个三角形是否相似？为什么？
7、已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：．
课后反思：　1．如图，AB AC=AD AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
2．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD AD，求证：△ADC∽△CDP．
3 、在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
4 、已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：．
5．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC BC=BE CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
6 .已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °求证：AD·AB= AE·AC
7、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D ，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，
求证：AB : BC=DF : BF
27.2.2 相似三角形应用举例（第七课时） 　
教学目标：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如
测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
教学过程：
一、预习检测案：
测量旗杆的高度
操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB的影长米，标杆高米，其影长米，求AB：
分析：∵太阳光线是平行的
∴∠____________＝∠____________
又∵∠____________＝∠____________＝90°
∴△____________∽△____________
∴__________________，即AB=__________
二．合作探究案：
探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
方案一：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
探究三：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝6cm和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域I和II都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
三．达标测评案：
1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( ) 。 A．15m B．60 C．20m D．
2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( ) A． B． C． D．
3．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。
4如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．
5. 如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？
6、如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为多少？
7、如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.
8. 8.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，求该梯子的长。
课后反思：
27.2.3 相似三角形的周长与面积（第八课时） 　
教学目标：理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．利用相似三角形及相似多边形的性质解决相关的问题．
导学过程：
一、预习检测案：
如图，已知 ∽ ，且,,,,
.
（1）计算出两个三角形的周长以及周长之比。
（2）计算出两个三角形的面积以及面积之比。
（3）两个相似三角形的周长之比、面积之比、相似比之间有怎样的关系？
二．合作探究案：
探究1：如图，∽ ，相似比为，它们对应边上的高之比为多少？面积之比为多少？
探究1 ： 探究2：
探究2：如图，四边形与四边形相似，相似比为，它们的面积之比为多少？
归纳 ：相似三角形对应的高的比等于
相似三角形面积的比等于
相似多边形面积的比等于
例1 如图，在和中，AB=2DE,AC=2DF,,的周长为24，面积是，求的面积与周长？
例2 如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系？写出推导过程。
三、达标测评案：
1.若,则=_____________.
2.个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,85
3.一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
4.两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
6.如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么　　　． .
7.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D, △ABC的周长是24,面积是
18,求△DEF的周长和面积.
8.图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC的面积.
27.3 位似-1 （第九课时）
教学目标：了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位
似图形的性质．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形
放大或缩小．
教学过程：
一、预习检测案：
图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征？
（1）位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对应边 或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ．
（2）掌握位似图形概念，需注意：
①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图形，而相似图形不一定是 图形；
②两个位似图形的位似中心只有一个；
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
二．合作探究案：
探究1：如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA、OB、OC上取一点D、E、F，使得,连接DE、EF、FD，所得△DEF与△ABC是否相似？证明你的结论。
探究2：把图中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
作图时要注意:
1、首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
2、确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
3、确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
4、符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，
并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形
四、课堂检测（当堂训练）
1、如图，以O为位似中心，将放大为原来的两倍。
0
2．画出所给图中的位似中心．
三．达标检测案：
1、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，位似中心是点O，则它们的对应点的连线一定经过____________。
2、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，点O是位似中心。如果OA：OA1=1:3，那么AB：A1B1=____________
3、如果四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，且位似比为,下列说法正确的是________。①△ABC∽△EFG ②③。
4、如果正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是( )
A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、3∠A=2∠F D、2∠A=3∠F
5、用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在( )
A、原图形的外部 B、原图形的内部 C、原图形的边上 D、任意位置
6、如图，△ABC与是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )
A、6 B、5 C、9 D、
7．已知：如图，△ABC，画，使∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．
课后反思：　
27.3 位似-2（第十课时）
教学目标：掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律
能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题
教学过程：
一、预习检测案：
在平面直角坐标系中有两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小
方法一： 方法二：
探究：（1）在方法一中，的坐标是 ，的坐标是 ，对应点坐标之比是　　　；（2）在方法二中，的坐标是 ，的坐标是 ，对应点坐标之比是　　　
二、合作探究案：
如图，三个顶点坐标分别为，以点为位似中心，相似比为２，将放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后的对应点坐标为：
归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；
三、达标测评案：
1.如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）．
（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺TA′∶TA=3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；
（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．
2.如图，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_______
3.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
4.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求△COD和△AOB的相似比．
5.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－1），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．
6.如图，△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）．
(1)把△ABC向左平移5格后得到△A1B1C1，则点B1的坐标为____________
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90o后得到△A2B2C，则点B2的坐标为___________
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，则B3的坐标是_______
课后反思：　
A
B
E
D
F
A
B
OO
C
D
A
B
D
C
E
B
C
E
F
D
A
II
I
II
I
O
D
E
F
第4题图
C
B
A
D
F
E
O
A
C
B
A
B
D
C
E
F
PAGE
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