2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.1 平行四边形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，在 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，∠ODA=90°，OA=6，OB=2，则AD的长是（ ）
A．6 B．4 C．4 D．4
2．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（ ）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
3．如图，□ABCD的两条对角线相交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
4．平行四边形被两条对角线分成四个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．四个三角形的面积都相等
B．只有相对的两个三角形面积相等
C．只有相邻的两个三角形面积相等
D．四个三角形的面积都不相等
5．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．18
6．如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，有下列结论：
①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH +BG =AG .其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
9．平行四边形的两条对角线长分别为6 和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围是 .
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC.若 ABCD的周长为28，AE=5，CD=6，则□ABCD的面积为 .
11．在ABCD中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高等于12，则ABCD的周长是 .
12．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为 .
13．如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE.若∠BAC=26°，则∠ACB= °.
三、解答题
14．（2024九下·福州开学考）如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
15．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
四、综合题
16．（2023八下·泗县期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点任作直线分别交、于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
17．（2023·牡丹江）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
（1）当点E在线段上，时，如图①，求证：；
（2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD＝2
∵∠ODA＝90°
∴AD＝
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，进而根据勾股定理，可直接求出AD的长.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=4，BD=5
∴OB=BD=2.5，OC=AC=2，
∵ BC=3，
∴△BOC的周长为OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BD=2.5，OC=AC=2，利用△BOC的周长为OB+OC+BC进行计算即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
根据等底同高可得：△OAB的面积=△OBC的面积=△DCO的面积=△OAD的面积，
∴ 四个三角形的面积都相等 .
故答案为：A.
【分析】平行四边形被两条对角线分成四个面积相等的三角形，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由题意可知AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2OE=15+6=21，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可证得△AOE≌△COF，从而得到OE=OF，AE=CF，再根据线段之间的等量关系进行替换可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；勾股定理的应用；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠BDC=∠DBC=45°，∠C+∠CDE=90°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BEH和△DEC中
∴△BEH≌△DEC（ASA）
∴BH=CD，CE=EH，
∵点H不是DE的中点，
∴BE=ED≠2CE，即CE≠BE；
②∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，∠CBF+∠BHE=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠BHE=∠A，即结论正确；
③由①得：△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，即结论正确；
④∵∠BHD=∠BEH+∠EBH=90°+∠EBH，∠BDG=∠EDG+∠DBG=90°+∠DBG，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠ABG=90°，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，
∵AB=BH，
∴HB2+BG2=AG2，即结论正确.
故答案为：B.
【分析】①由题意用角边角可证△BEH≌△DEC，由全等三角形的性质可得BH=CD，CE=EH，结合已知可得BE=ED≠2CE，即结论错误；
②由平行四边形的对角相等和同角的余角相等可得∠BHE=∠A，即结论正确；
③由平行四边形的对边相等并结合全等三角形的对应边相等可得AB=BH，即结论正确；
④由三角形外角的性质和角的构成并结合已知可得∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤在Rt△ABG中，由勾股定理可得HB2+BG2=AG2，即结论正确.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BM=DN，
∵ S =AC·BM，S =AC·DN，
∴ S =S .
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，由平行四边线的性质可得BM=DN，根据三角形的面积公式及同底等高即可得解.
9．【答案】1＜x＜7
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，
∴OB=BD=4，OC=AC=3，
∴4-3＜BC＜4+3，
即1＜BC＜7，
∴ 该平行四边形的一条边x的取值范围1＜x＜7.
故答案为：1＜x＜7.
【分析】画出示意图，由平行四边形的对角线互相平分得OB=BD=4，OC=AC=3，进而根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得x的取值范围.
10．【答案】40
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 在 ABCD中，CD=6，
∴AD=BC，AB=CD=6，
∵ ABCD的周长为28 ，
∴BC+CD=14，
∴BC=8，
∵ AE⊥BC ， AE=5 ，
∴ 平行四边形ABCD的面积为BC·AE=8×5=40.
故答案为：40.
【分析】由平行四边形的对边相等及周长可求BC的长，再利用平行四边形的面积公式计算即可.
11．【答案】58或38
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=15，AC=13，BC边上的高是12，即AE=12，
在Rt△ABE中，BE==9
在Rt△ACE中，CE==5，
如图1，BC=BE+CE=14，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=58，
如图2，BC=BE-CE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=38，
故答案为：58或38．
【分析】平行四边形的形状未知，所以存在两种情况，得BC=BE+CE或BC=BE-CE；
12．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
13．【答案】52
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE=BE，∠BAC=26° ，
∴∠EAB=∠EBA=26° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=52° ，
在 ABCD中， AD=BC，AD=AE=BE ，
∴BE=BC，
∴ ∠ACB=∠CEB=52° .
故答案为：52.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA=26° ，再利用三角形外角的性质可得∠CEB=∠EAB+∠EBA=52° ，由平行四边形的性质及已知可得BE=BC，利用等边对等角即可求解.
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形的周长．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查了平行四边的性质，由平行四边形的性质证出两三角形全等，再得到OE=OF的结论；在求四边形AEFD的周长时，关键是需要将DF+AE的整体转化为DC的长，再根据已知条件，即可求出四边形的周长，属于常规题型.
17．【答案】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，
同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）1或7
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）解：如图①：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC-BE=4-3=1.
如图②：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BF=AD=4. ∵AE-EC=BF，
∴EC=AE-EF=3-4=-1（舍去）.
如图③：∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC+BE=4+3=7.
故答案为：1或7.
【分析】（1）由垂直的定义可得∠AEB=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AED，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此证明；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，由全等三角形的性质可得AD=BF，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，然后根据线段的和差关系进行解答；当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，∠ABE=∠BAE=45°，则AE=BE，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此解答；
（3）如图①：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD的值，然后根据CE=BC-BE进行计算；
如图②：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD=4，则BF=AD=4，然后根据AE-EC=BF进行计算；
如图③：由平行线的性质可得∠DAE=180°-∠AEB=90°，根据勾股定理可得AD =4，则BC=AD=4，然后根据CE=BC+BE进行计算.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.1 平行四边形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，在 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，∠ODA=90°，OA=6，OB=2，则AD的长是（ ）
A．6 B．4 C．4 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD＝2
∵∠ODA＝90°
∴AD＝
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，进而根据勾股定理，可直接求出AD的长.
2．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（ ）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.
3．如图，□ABCD的两条对角线相交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=4，BD=5
∴OB=BD=2.5，OC=AC=2，
∵ BC=3，
∴△BOC的周长为OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BD=2.5，OC=AC=2，利用△BOC的周长为OB+OC+BC进行计算即可.
4．平行四边形被两条对角线分成四个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．四个三角形的面积都相等
B．只有相对的两个三角形面积相等
C．只有相邻的两个三角形面积相等
D．四个三角形的面积都不相等
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
根据等底同高可得：△OAB的面积=△OBC的面积=△DCO的面积=△OAD的面积，
∴ 四个三角形的面积都相等 .
故答案为：A.
【分析】平行四边形被两条对角线分成四个面积相等的三角形，据此解答即可.
5．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．18
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由题意可知AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2OE=15+6=21，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可证得△AOE≌△COF，从而得到OE=OF，AE=CF，再根据线段之间的等量关系进行替换可得出答案.
6．如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，有下列结论：
①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH +BG =AG .其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；勾股定理的应用；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠BDC=∠DBC=45°，∠C+∠CDE=90°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BEH和△DEC中
∴△BEH≌△DEC（ASA）
∴BH=CD，CE=EH，
∵点H不是DE的中点，
∴BE=ED≠2CE，即CE≠BE；
②∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，∠CBF+∠BHE=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠BHE=∠A，即结论正确；
③由①得：△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，即结论正确；
④∵∠BHD=∠BEH+∠EBH=90°+∠EBH，∠BDG=∠EDG+∠DBG=90°+∠DBG，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠ABG=90°，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，
∵AB=BH，
∴HB2+BG2=AG2，即结论正确.
故答案为：B.
【分析】①由题意用角边角可证△BEH≌△DEC，由全等三角形的性质可得BH=CD，CE=EH，结合已知可得BE=ED≠2CE，即结论错误；
②由平行四边形的对角相等和同角的余角相等可得∠BHE=∠A，即结论正确；
③由平行四边形的对边相等并结合全等三角形的对应边相等可得AB=BH，即结论正确；
④由三角形外角的性质和角的构成并结合已知可得∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤在Rt△ABG中，由勾股定理可得HB2+BG2=AG2，即结论正确.
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
8．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BM=DN，
∵ S =AC·BM，S =AC·DN，
∴ S =S .
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，由平行四边线的性质可得BM=DN，根据三角形的面积公式及同底等高即可得解.
二、填空题
9．平行四边形的两条对角线长分别为6 和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围是 .
【答案】1＜x＜7
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，
∴OB=BD=4，OC=AC=3，
∴4-3＜BC＜4+3，
即1＜BC＜7，
∴ 该平行四边形的一条边x的取值范围1＜x＜7.
故答案为：1＜x＜7.
【分析】画出示意图，由平行四边形的对角线互相平分得OB=BD=4，OC=AC=3，进而根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得x的取值范围.
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC.若 ABCD的周长为28，AE=5，CD=6，则□ABCD的面积为 .
【答案】40
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 在 ABCD中，CD=6，
∴AD=BC，AB=CD=6，
∵ ABCD的周长为28 ，
∴BC+CD=14，
∴BC=8，
∵ AE⊥BC ， AE=5 ，
∴ 平行四边形ABCD的面积为BC·AE=8×5=40.
故答案为：40.
【分析】由平行四边形的对边相等及周长可求BC的长，再利用平行四边形的面积公式计算即可.
11．在ABCD中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高等于12，则ABCD的周长是 .
【答案】58或38
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=15，AC=13，BC边上的高是12，即AE=12，
在Rt△ABE中，BE==9
在Rt△ACE中，CE==5，
如图1，BC=BE+CE=14，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=58，
如图2，BC=BE-CE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=38，
故答案为：58或38．
【分析】平行四边形的形状未知，所以存在两种情况，得BC=BE+CE或BC=BE-CE；
12．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
13．如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE.若∠BAC=26°，则∠ACB= °.
【答案】52
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE=BE，∠BAC=26° ，
∴∠EAB=∠EBA=26° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=52° ，
在 ABCD中， AD=BC，AD=AE=BE ，
∴BE=BC，
∴ ∠ACB=∠CEB=52° .
故答案为：52.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA=26° ，再利用三角形外角的性质可得∠CEB=∠EAB+∠EBA=52° ，由平行四边形的性质及已知可得BE=BC，利用等边对等角即可求解.
三、解答题
14．（2024九下·福州开学考）如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
15．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
四、综合题
16．（2023八下·泗县期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点任作直线分别交、于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形的周长．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查了平行四边的性质，由平行四边形的性质证出两三角形全等，再得到OE=OF的结论；在求四边形AEFD的周长时，关键是需要将DF+AE的整体转化为DC的长，再根据已知条件，即可求出四边形的周长，属于常规题型.
17．（2023·牡丹江）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
（1）当点E在线段上，时，如图①，求证：；
（2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则 ．
【答案】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，
同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）1或7
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）解：如图①：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC-BE=4-3=1.
如图②：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BF=AD=4. ∵AE-EC=BF，
∴EC=AE-EF=3-4=-1（舍去）.
如图③：∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC+BE=4+3=7.
故答案为：1或7.
【分析】（1）由垂直的定义可得∠AEB=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AED，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此证明；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，由全等三角形的性质可得AD=BF，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，然后根据线段的和差关系进行解答；当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，∠ABE=∠BAE=45°，则AE=BE，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此解答；
（3）如图①：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD的值，然后根据CE=BC-BE进行计算；
如图②：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD=4，则BF=AD=4，然后根据AE-EC=BF进行计算；
如图③：由平行线的性质可得∠DAE=180°-∠AEB=90°，根据勾股定理可得AD =4，则BC=AD=4，然后根据CE=BC+BE进行计算.
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