2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.1 平行四边形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022八下·石家庄期末）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的对角相等邻补角互补的性质求解即可。
2．（2023八下·铜官期末）的对角线，相交于点O，则下列与边一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，故D正确；A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的对边相等的性质，可以判定答案。
3．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出四边形ABFE的周长即可．
4．如图，在 ABCD中，AB⊥AC.若AB=8，AC=12，则BD的长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC=12，
∴OA=AC=6，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB=，
∴BD=2OB=20.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，在直角三角形ABO中，用勾股定理求出OB的值，然后根据平行四边形的性质得BD=2OB可求解.
5．如果平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是 （ ）
A．8 和14 B．10 和14 C．18 和20 D．10 和34
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
A、24>8+14，A错误.
B、24=10+14，B错误.
C、24<18+20，C符合.
D、24<10+34，D符合.
∴四个选项中只有C，D符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：C．
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系.作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，因此可得：AE＜AC+CE，即AC+CE>24.逐个选项进行判断：A、24>8+14，A错误.B、24=10+14，B错误.C、24<18+20，C符合.D、24<10+34，D符合.但是10，34，24不符合三边关系：10+24=34，D选项排除.
6．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
A、∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
B、∵ BF=DE ，
∴ BF-EF=DE -EF，即BE=DF ，
∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
C、由AE=CF ，AB=CD，∠ABE=∠CDF， 根据SSA无法判断△ABE≌△CDF，故符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，从而根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，然后根据三角形全等的判定方法逐一判断即可.
7．（2023九上·贵阳期中）如图，中，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC，BA于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH，交AD边于点E．若，则的度数是（ ）
A．70° B．60° C．45° D．35°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】根据作图可得：BE是∠ABC的角平分线，
四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】】根据作图可知利用平行四边形的性质可得再利用三角形的内角和定理代入数据计算即可求解.
8．（2022九上·拱墅期中）如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠DAB＝75°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝75°，
∴∠BDA＝30°，
∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，
∴AH＝2BH-BH，
∵∠EBA＝60°，
∴∠BEA＝180°-∠DAB-∠ABE＝45°，
∴∠EBH＝45°＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∴DE＝BH-BH，AE＝3BH-BH，
∴＝
故答案为：D.
【分析】过点B作BH⊥AD于H，根据平行四边形的性质可得∠ADC+∠DAB＝180°，结合∠ADC的度数可得∠DAB的度数，由等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠DBA＝75°，结合内角和定理可得∠BDA＝30°，则BD＝2BH＝AD，DH＝BH，AH＝2BH-BH，易得△BEH为等腰直角三角形，则BH＝EH，DE＝BH-BH，AE＝3BH-BH，据此求解.
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，E，F 是对角线AC 上的两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的度数为 °.
【答案】21
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21.
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质.已知∠ADF=90°，AE=EF，由直角三角形斜边中线的性质：斜边上的中线等于斜边的一半可推出：DE＝AE＝EF，又因为 AE=EF=CD ，进而推出DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，可列出方程：x+2x＝63°，解方程即可得出答案.
10．如图，在 ABCD中，AC和BD 相交于点O.若AC=8，BD=6，则边 AD长的取值范围是 .
【答案】1＜AD＜7
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=8，BD=6，
∴OA=AC=4，OD=BD=3，
在△AOD中，4-3＜AD＜4+3，
∴1＜AD＜7.
故答案为：1＜AD＜7.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分求出OA、OD的长，再利用三角形的三边关系即可求解.
11．如图，□ABCD的周长为 22 cm，对角线AC，BD 相交于点O，过点 O 作 AC 的垂线交边AD 于 点 E，连 结 CE，则△CDE 的周长为 cm.
【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，BC=AD，
又∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm ，
∴AD+CD=11cm，
∴ △CDE 的周长为：CE+CD+DE=AE+DE+CD=AD+CD=11cm.
故答案为：11.
【分析】由平行四边形的性质及周长可得OA=OC，AD+CD=11cm，根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，从而得出△CDE 的周长为CE+CD+DE=AE+DE+CD=AD+CD，继而得解.
12．（2023九上·通城开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB的中点，若CE=5，AC=8，则AD= ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC.
∵AC⊥BC，
∴△ACB为直角三角形.
∵E为AB的中点，
∴AB=2CE=2×5=10，
在Rt△ABC中，，
∴AD=BC=6.
故答案为：6.
【分析】先利用平行四边形的性质说明AD=BC，再根据直角三角形斜边上的中线定理可求得AB，再利用勾股定理求得BC即可.
13．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转，得到(点与点、点与点、点与点分别对应).若点恰好落在BC上，则 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 点恰好落在BC上，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，AD∥BC，∠BAD=∠C，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）=75°，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠BAD=∠C=180°-75°=105°.
故答案为：105°.
【分析】利用旋转的性质和平行四边形的性质，可证得AB=AB′，∠BAB′=30°，AD∥BC，∠BAD=∠C，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠B的度数，即可求出∠C的度数.
三、解答题
14．已知：如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=DF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD；根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠DCF；根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可证明.
15．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
四、综合题
16．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图
（1）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第51页第14题.
如图，的对角线和相交于点，过点且与边、分别相交于点和点.求证：；
（2）【结论应用】若，，，则四边形的面积为 ，的最小值为
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴.
（2）6；2.4
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABD的面积=△BCD的面积=的面积，
∵，
∴△BEO的面积=△DFO的面积，
∴四边形AEFD的面积=四边形BEFC的面积=的面积，
在中，∠ADB=90°，AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴的面积=3×4=12，
∴四边形AEFD的面积=6；
当OE最小时，EF就最小，当OE⊥AB时，OE最小，
∵△AOB的面积=的面积=3，
∴AB·OE=3，
∴OE=1.2，
∴EF的最小值为2OE=2.4；
故答案为：6，2.4；
【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB=OD，AB∥CD，利用平行线的性质可得， 由对顶角相等可得，根据ASA证明，可得OE=OF；
（2）由平行四边形的性质可得四边形AEFD的面积=的面积，据此即可求解；由（1）知OE=OF，当OE最小时，EF就最小，当OE⊥AB时，OE最小，利用三角形的面积求出OE的长，从而求出EF的最小值.
17．（2023八下·都昌期末）如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形；
（2）在图（2）中，以为边作．
【答案】（1）解：在图1中，延长DC和AE交于点F，即为所作．
（2）解：在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形即为所作．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作等腰三角形即可；
（2）根据题意作平行四边形即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.1 平行四边形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022八下·石家庄期末）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·铜官期末）的对角线，相交于点O，则下列与边一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
4．如图，在 ABCD中，AB⊥AC.若AB=8，AC=12，则BD的长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
5．如果平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是 （ ）
A．8 和14 B．10 和14 C．18 和20 D．10 和34
6．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
7．（2023九上·贵阳期中）如图，中，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC，BA于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH，交AD边于点E．若，则的度数是（ ）
A．70° B．60° C．45° D．35°
8．（2022九上·拱墅期中）如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，E，F 是对角线AC 上的两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的度数为 °.
10．如图，在 ABCD中，AC和BD 相交于点O.若AC=8，BD=6，则边 AD长的取值范围是 .
11．如图，□ABCD的周长为 22 cm，对角线AC，BD 相交于点O，过点 O 作 AC 的垂线交边AD 于 点 E，连 结 CE，则△CDE 的周长为 cm.
12．（2023九上·通城开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB的中点，若CE=5，AC=8，则AD= ．
13．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转，得到(点与点、点与点、点与点分别对应).若点恰好落在BC上，则 .
三、解答题
14．已知：如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=DF.
15．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
四、综合题
16．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图
（1）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第51页第14题.
如图，的对角线和相交于点，过点且与边、分别相交于点和点.求证：；
（2）【结论应用】若，，，则四边形的面积为 ，的最小值为
17．（2023八下·都昌期末）如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形；
（2）在图（2）中，以为边作．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的对角相等邻补角互补的性质求解即可。
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，故D正确；A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的对边相等的性质，可以判定答案。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出四边形ABFE的周长即可．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC=12，
∴OA=AC=6，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB=，
∴BD=2OB=20.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，在直角三角形ABO中，用勾股定理求出OB的值，然后根据平行四边形的性质得BD=2OB可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
A、24>8+14，A错误.
B、24=10+14，B错误.
C、24<18+20，C符合.
D、24<10+34，D符合.
∴四个选项中只有C，D符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：C．
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系.作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，因此可得：AE＜AC+CE，即AC+CE>24.逐个选项进行判断：A、24>8+14，A错误.B、24=10+14，B错误.C、24<18+20，C符合.D、24<10+34，D符合.但是10，34，24不符合三边关系：10+24=34，D选项排除.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
A、∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
B、∵ BF=DE ，
∴ BF-EF=DE -EF，即BE=DF ，
∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
C、由AE=CF ，AB=CD，∠ABE=∠CDF， 根据SSA无法判断△ABE≌△CDF，故符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，从而根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，然后根据三角形全等的判定方法逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】根据作图可得：BE是∠ABC的角平分线，
四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】】根据作图可知利用平行四边形的性质可得再利用三角形的内角和定理代入数据计算即可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠DAB＝75°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝75°，
∴∠BDA＝30°，
∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，
∴AH＝2BH-BH，
∵∠EBA＝60°，
∴∠BEA＝180°-∠DAB-∠ABE＝45°，
∴∠EBH＝45°＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∴DE＝BH-BH，AE＝3BH-BH，
∴＝
故答案为：D.
【分析】过点B作BH⊥AD于H，根据平行四边形的性质可得∠ADC+∠DAB＝180°，结合∠ADC的度数可得∠DAB的度数，由等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠DBA＝75°，结合内角和定理可得∠BDA＝30°，则BD＝2BH＝AD，DH＝BH，AH＝2BH-BH，易得△BEH为等腰直角三角形，则BH＝EH，DE＝BH-BH，AE＝3BH-BH，据此求解.
9．【答案】21
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21.
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质.已知∠ADF=90°，AE=EF，由直角三角形斜边中线的性质：斜边上的中线等于斜边的一半可推出：DE＝AE＝EF，又因为 AE=EF=CD ，进而推出DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，可列出方程：x+2x＝63°，解方程即可得出答案.
10．【答案】1＜AD＜7
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=8，BD=6，
∴OA=AC=4，OD=BD=3，
在△AOD中，4-3＜AD＜4+3，
∴1＜AD＜7.
故答案为：1＜AD＜7.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分求出OA、OD的长，再利用三角形的三边关系即可求解.
11．【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，BC=AD，
又∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm ，
∴AD+CD=11cm，
∴ △CDE 的周长为：CE+CD+DE=AE+DE+CD=AD+CD=11cm.
故答案为：11.
【分析】由平行四边形的性质及周长可得OA=OC，AD+CD=11cm，根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，从而得出△CDE 的周长为CE+CD+DE=AE+DE+CD=AD+CD，继而得解.
12．【答案】6
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC.
∵AC⊥BC，
∴△ACB为直角三角形.
∵E为AB的中点，
∴AB=2CE=2×5=10，
在Rt△ABC中，，
∴AD=BC=6.
故答案为：6.
【分析】先利用平行四边形的性质说明AD=BC，再根据直角三角形斜边上的中线定理可求得AB，再利用勾股定理求得BC即可.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 点恰好落在BC上，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，AD∥BC，∠BAD=∠C，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）=75°，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠BAD=∠C=180°-75°=105°.
故答案为：105°.
【分析】利用旋转的性质和平行四边形的性质，可证得AB=AB′，∠BAB′=30°，AD∥BC，∠BAD=∠C，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠B的度数，即可求出∠C的度数.
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD；根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠DCF；根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可证明.
15．【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴.
（2）6；2.4
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABD的面积=△BCD的面积=的面积，
∵，
∴△BEO的面积=△DFO的面积，
∴四边形AEFD的面积=四边形BEFC的面积=的面积，
在中，∠ADB=90°，AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴的面积=3×4=12，
∴四边形AEFD的面积=6；
当OE最小时，EF就最小，当OE⊥AB时，OE最小，
∵△AOB的面积=的面积=3，
∴AB·OE=3，
∴OE=1.2，
∴EF的最小值为2OE=2.4；
故答案为：6，2.4；
【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB=OD，AB∥CD，利用平行线的性质可得， 由对顶角相等可得，根据ASA证明，可得OE=OF；
（2）由平行四边形的性质可得四边形AEFD的面积=的面积，据此即可求解；由（1）知OE=OF，当OE最小时，EF就最小，当OE⊥AB时，OE最小，利用三角形的面积求出OE的长，从而求出EF的最小值.
17．【答案】（1）解：在图1中，延长DC和AE交于点F，即为所作．
（2）解：在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形即为所作．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作等腰三角形即可；
（2）根据题意作平行四边形即可。
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