2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.1 平行四边形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，CD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为F.若AF=6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵AD平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠AEB=∠ABE
∵AF⊥BE
∴BF=EF==8
∴BE=8+8=16
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质以及等量代换原则，可得∠AEB=∠ABE；根据勾股定理和等腰三角形的性质，可得BE的值.
2．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
3．如图，过 ABCD对角线的交点O 的直线交AD 于点E，交 BC 于点F.若 ABCD的周长为 18，OE=1.5，则四边形 EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 其周长为18 ，
∴OB=OD，AD=BC，AD∥BC，BC+CD=9，
∴∠EDO=∠FBD，
∵∠EOD=∠FDB，
∴△EOD≌△FDB（ASA），
∴OE=OF=1.5，ED=BF
∴四边形EFCD的周长为ED+CF+CD+EF=BF+CF+CD+OE+OF=BC+CD+OE +OF=9+3=12.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质及周长可得OB=OD，AD=BC，AD∥BC，BC+CD=9，再用ASA证△EOD≌△FDB，可得OE=OF=1.5，ED=BF，从而得出四边形EFCD的周长ED+CF+CD+EF=BC+CD+OE +OF，据此计算即可.
4．（2024九上·交城期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接CE，四边形ACED是平行四边形，若∠ACB=30°，则∠AEC的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质求解。根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可。
5．（2023九上·成都月考）如图，已知中，于点，以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到，连接若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠ADC=∠ABC=60°，AD∥BC
∴ ∠ADA'+∠DA'B=180°
∵ ∠ADA'=50°
∴ ∠DA'B=130°
∵以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到，
∴
∴ ∠A'BE'=∠ABC=60°，
∵ AE⊥BC
∴ ∠E'=∠AEB=90°
∴ ∠BA'E'=30°
∴ ∠DA'E'=∠DA'B+∠BA'E'=160°
故答案为：C.
【分析】本题考查旋转的性质和平行四边形的性质、全等的性质，熟悉这些性质是解题关键。根据平型四边形的性质，可得∠DA'B；根据旋转的性质和垂直，可得∠BA'E'，则∠DA'E'可求。
6．（2023八下·长春期末）如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB交CD于点E，AB＝7，BC＝4，则CE的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴ AD=BC=4，DC=AB=7，DC∥AB
∴ ∠DEA=∠EAB
∵AE平分∠DAB交CD于点E
∴ ∠DAE=∠EAB
∴ ∠DEA=∠DAE
∴ AD=ED=4
∴ CE=DC-DE=3
故答案为：A.
【分析】本题考查平行四边形性质和角平分线的性质。熟悉掌握图形性质是关键。
7．（2023八下·高陵期末）如图，点O是的对角线的交点，，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
点E、F分别是OC、OD的中点，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，D不符合题意，
在 中，OB=OD，BC=AD，OD=AD，
，
E是OC中点，
，
，B不符合题意，
四边形BEFP是平行四边形，
，A不符合题意，
只有当是矩形时， ，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】连接EF，根据平行四边形的性质以及直角三角形的性质逐一判断即可.
8．（2022八下·乐清期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合.点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（ ）单位/秒.
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，∠ADC=90°，
∴AE＝CE＝DE，
设AC=2a，则，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BF＝DE=a，
∵点E运动时间为：，
∴点F的运动时间为a，
∴点F的速度为（单位/秒），故A正确.
故答案为：A.
【分析】当四边形DEBF为平行四边形时，则，利用平行线的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得
AE＝CE＝DE，设AC=2a，则，由平行四边形的性质可得BF＝DE=a，再根据速度=路程÷时间即可求解.
二、填空题
9．如图，在 ABCD 中，已知，AC⊥BC，则 BD= cm.
【答案】10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图， 在 ABCD 中 ，BC=AD=4cm，OA=OCAC，BD=2OB，
∵ AC⊥BC ，AB=cm，
∴AC==6，
∴OC=3，
∴BO==5，
∴BD=2OB=10.
故答案为：10.
【分析】由平行四边形的性质可得BC=AD=4cm，OA=OCAC，BD=2OB，由勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理求出BO的长，由BD=2OB即可求解.
10．（2023九下·松原月考）如图，在中，，AC为对角线，将绕点A顺时针旋转一定的角度后得到，使点D的对应点E落在边AB上，若点C的对应点F落在边CB的延长线上，则 度.
【答案】20
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，
∴∠DAB=180°-∠D=80°，
∵△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，
∴AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，
∴∠FAC=∠FAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=80°
∴∠AFC=∠ACF=
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF=50°，
∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-100°-50°=30°，
∴∠AFE=∠ACD=30°，
∴∠EFB=∠AFC-∠AFE=50°-30°=20°，
故答案为：20
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠DAB=180°-∠D=80°，进而根据旋转的性质得到AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，从而即可得到∠FAC=∠FAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=80°，再运用平行线的性质得到∠DAC=∠ACF=50°，进而结合题意进行角的运算即可求解。
11．（2022九上·温州开学考）如图，纸片 ABCD面积为6，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
由此可知，由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如下图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
当PM最小时，MN最小，即AE取最小值，
∴当AE⊥BD时，AE最小，
∵纸片 ABCD面积为6，AB＝3，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据平移的性质得是等腰直角三角形，于是得到当PM最小时，MN最小，即AE取最小值，当AE⊥BD时，AE最小，过D作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出BD的长，进而根据三角形的面积求出AE，即可解答.
12．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】15
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
13．（2023·黄石）如图，将 绕点逆时针旋转到 的位置，使点落在上，与交于点若，，，则 从“，，”中选择一个符合要求的填空； ．
【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵ 由 绕点逆时针旋转得到，
∴∠BAD=∠B′AD′，
∵∠BAB′+∠B′AD=∠BAD，∠1+∠B′AD=∠B′AD′，
∴∠BAB′=∠1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴，
由旋转得：AB′=AB=3，AD′=AD=4，
∵∠BAB′=∠1，
∴∠AD′D=∠AD′D=∠AB′B=∠B，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴，
∴，
解得：DD′=2，
由旋转的性质得：四边形AB′C′D′是平行四边形，∠AB′C′=∠B，AB′=AB=3，∠C′=∠ECB′，B′C′=BC=4，
∴∠AD′C′=∠AB′C′=∠B，C′D′=AB′=3，
∵∠AD′D=∠B=∠AB′B，
∴∠AD′C′=∠AD′D，即点D′、D、C′在同一条直线上，
∴DC′=C′D′-DD′=3-2=1，
∵∠C′=∠ECB′，∠DEC′=∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴，
∴，
设DE=x，B′E=y，
∴，
解得，
.
故答案为：，.
【分析】先证明△BAB′∽△DAD′，列出比例式求得DD′，再证明△CEB′∽△C'ED，列出比例式求得DE.
三、解答题
14．在 ABCD 中，∠C=45°，AD=BD，P为线段CD上的动点(点P不与点D 重合)，连结 AP，过点P作EP⊥AP交直线BD 于点E.
（1）如图1，当P为线段CD的中点时，探究 PA，PE的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，当点P 在线段CD的任意位置时，求证：
【答案】（1）解：PA=PE，理由如下：
连接PB，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，∠ADC＝180°－45°＝135°
∵AD=BD
∴BD=BC
∵∠C=45°
∴三角形DBC是等腰直角三角形
∴∠BDC＝45°，∠DBP＝45°
∴∠PBE＝∠ADC＝135°
∵P是DC的中点
∴BP⊥DC，DP＝BP
∴∠DPA＋∠APB＝∠APB＋∠BPE＝90°
∴∠DPA＝∠BPE
∵∠DPA＝∠BPE，DP＝BP，∠PBE＝∠ADC
∴△DPA≌△BPE(ASA)
∴PA＝PE；
（2）证明：过点P作PF垂直CD交DE于点F，如下图：
∵PF⊥CD，EP⊥AP
∴∠DPE=∠APE=90°
∴∠DPA+∠APB=∠APB+∠FPE
∴∠DPA=∠FPE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠C=∠DAB=45°，AB∥CD
∵AD=BD
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴∠ADB＝∠DBC=90°
∴∠PFD=45°
∴∠PFD=∠PDF
∴PD=PF
∴∠PDA=∠PFE=135°
∴△DPA≌△FPE((ASA)
∴AD=EF
∴DF=DP=DP
∵DE=DF+EF
∴DA+DP=DE；
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和等量代换原则可得BD=BC；根据等腰直角三角形的判定和性质可得∠BDC＝45°，∠DBP＝45°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得PA=PE；
（2）根据等量代换原则可得∠DPA=∠FPE根据平行四边形的性质可得∠C=∠DAB=45°，AB∥CD；根据等腰直角三角形的性质和等量代换原则可得∠PFD=45°，∠PDA=∠PFE=135°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得AD=EF；根据特殊角的三角函数的应用可得DF=DP，根据等量代换原则即可解题.
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
四、综合题
16．（2023八下·市南区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
17．（2023八下·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于，两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
（1）求直线的表达式
（2）试确定点的坐标；
（3）若点在轴上，点在直线上，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入得：，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：将线段绕着点顺时针旋转得到，轴，
，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
设，则点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为；
（3）解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）存在，设点的坐标为．
分两种情况考虑，如图所示：
当为边时，
点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
或，
或，
点的坐标为，点的坐标为；
当为对角线时，
点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，
，
点的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求出答案。
（2） 将线段绕着点顺时针旋转得到，轴 ，全等三角形的判定定理可得：≌， 设，则点的坐标为， 将点D坐标代入直线解析式即可求出答案。
（3）分情况讨论：当为边时，当为对角线时，即可求出答案。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.1 平行四边形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，CD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为F.若AF=6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
2．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，过 ABCD对角线的交点O 的直线交AD 于点E，交 BC 于点F.若 ABCD的周长为 18，OE=1.5，则四边形 EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
4．（2024九上·交城期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接CE，四边形ACED是平行四边形，若∠ACB=30°，则∠AEC的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
5．（2023九上·成都月考）如图，已知中，于点，以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到，连接若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·长春期末）如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB交CD于点E，AB＝7，BC＝4，则CE的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023八下·高陵期末）如图，点O是的对角线的交点，，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022八下·乐清期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合.点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（ ）单位/秒.
A．1 B． C． D．2
二、填空题
9．如图，在 ABCD 中，已知，AC⊥BC，则 BD= cm.
10．（2023九下·松原月考）如图，在中，，AC为对角线，将绕点A顺时针旋转一定的角度后得到，使点D的对应点E落在边AB上，若点C的对应点F落在边CB的延长线上，则 度.
11．（2022九上·温州开学考）如图，纸片 ABCD面积为6，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
由此可知，由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为 ．
12．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是 .
13．（2023·黄石）如图，将 绕点逆时针旋转到 的位置，使点落在上，与交于点若，，，则 从“，，”中选择一个符合要求的填空； ．
三、解答题
14．在 ABCD 中，∠C=45°，AD=BD，P为线段CD上的动点(点P不与点D 重合)，连结 AP，过点P作EP⊥AP交直线BD 于点E.
（1）如图1，当P为线段CD的中点时，探究 PA，PE的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，当点P 在线段CD的任意位置时，求证：
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2023八下·市南区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023八下·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于，两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
（1）求直线的表达式
（2）试确定点的坐标；
（3）若点在轴上，点在直线上，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵AD平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠AEB=∠ABE
∵AF⊥BE
∴BF=EF==8
∴BE=8+8=16
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质以及等量代换原则，可得∠AEB=∠ABE；根据勾股定理和等腰三角形的性质，可得BE的值.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 其周长为18 ，
∴OB=OD，AD=BC，AD∥BC，BC+CD=9，
∴∠EDO=∠FBD，
∵∠EOD=∠FDB，
∴△EOD≌△FDB（ASA），
∴OE=OF=1.5，ED=BF
∴四边形EFCD的周长为ED+CF+CD+EF=BF+CF+CD+OE+OF=BC+CD+OE +OF=9+3=12.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质及周长可得OB=OD，AD=BC，AD∥BC，BC+CD=9，再用ASA证△EOD≌△FDB，可得OE=OF=1.5，ED=BF，从而得出四边形EFCD的周长ED+CF+CD+EF=BC+CD+OE +OF，据此计算即可.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质求解。根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠ADC=∠ABC=60°，AD∥BC
∴ ∠ADA'+∠DA'B=180°
∵ ∠ADA'=50°
∴ ∠DA'B=130°
∵以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到，
∴
∴ ∠A'BE'=∠ABC=60°，
∵ AE⊥BC
∴ ∠E'=∠AEB=90°
∴ ∠BA'E'=30°
∴ ∠DA'E'=∠DA'B+∠BA'E'=160°
故答案为：C.
【分析】本题考查旋转的性质和平行四边形的性质、全等的性质，熟悉这些性质是解题关键。根据平型四边形的性质，可得∠DA'B；根据旋转的性质和垂直，可得∠BA'E'，则∠DA'E'可求。
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴ AD=BC=4，DC=AB=7，DC∥AB
∴ ∠DEA=∠EAB
∵AE平分∠DAB交CD于点E
∴ ∠DAE=∠EAB
∴ ∠DEA=∠DAE
∴ AD=ED=4
∴ CE=DC-DE=3
故答案为：A.
【分析】本题考查平行四边形性质和角平分线的性质。熟悉掌握图形性质是关键。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
点E、F分别是OC、OD的中点，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，D不符合题意，
在 中，OB=OD，BC=AD，OD=AD，
，
E是OC中点，
，
，B不符合题意，
四边形BEFP是平行四边形，
，A不符合题意，
只有当是矩形时， ，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】连接EF，根据平行四边形的性质以及直角三角形的性质逐一判断即可.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，∠ADC=90°，
∴AE＝CE＝DE，
设AC=2a，则，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BF＝DE=a，
∵点E运动时间为：，
∴点F的运动时间为a，
∴点F的速度为（单位/秒），故A正确.
故答案为：A.
【分析】当四边形DEBF为平行四边形时，则，利用平行线的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得
AE＝CE＝DE，设AC=2a，则，由平行四边形的性质可得BF＝DE=a，再根据速度=路程÷时间即可求解.
9．【答案】10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图， 在 ABCD 中 ，BC=AD=4cm，OA=OCAC，BD=2OB，
∵ AC⊥BC ，AB=cm，
∴AC==6，
∴OC=3，
∴BO==5，
∴BD=2OB=10.
故答案为：10.
【分析】由平行四边形的性质可得BC=AD=4cm，OA=OCAC，BD=2OB，由勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理求出BO的长，由BD=2OB即可求解.
10．【答案】20
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，
∴∠DAB=180°-∠D=80°，
∵△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，
∴AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，
∴∠FAC=∠FAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=80°
∴∠AFC=∠ACF=
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF=50°，
∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-100°-50°=30°，
∴∠AFE=∠ACD=30°，
∴∠EFB=∠AFC-∠AFE=50°-30°=20°，
故答案为：20
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠DAB=180°-∠D=80°，进而根据旋转的性质得到AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，从而即可得到∠FAC=∠FAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=80°，再运用平行线的性质得到∠DAC=∠ACF=50°，进而结合题意进行角的运算即可求解。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如下图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
当PM最小时，MN最小，即AE取最小值，
∴当AE⊥BD时，AE最小，
∵纸片 ABCD面积为6，AB＝3，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据平移的性质得是等腰直角三角形，于是得到当PM最小时，MN最小，即AE取最小值，当AE⊥BD时，AE最小，过D作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出BD的长，进而根据三角形的面积求出AE，即可解答.
12．【答案】15
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
13．【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵ 由 绕点逆时针旋转得到，
∴∠BAD=∠B′AD′，
∵∠BAB′+∠B′AD=∠BAD，∠1+∠B′AD=∠B′AD′，
∴∠BAB′=∠1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴，
由旋转得：AB′=AB=3，AD′=AD=4，
∵∠BAB′=∠1，
∴∠AD′D=∠AD′D=∠AB′B=∠B，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴，
∴，
解得：DD′=2，
由旋转的性质得：四边形AB′C′D′是平行四边形，∠AB′C′=∠B，AB′=AB=3，∠C′=∠ECB′，B′C′=BC=4，
∴∠AD′C′=∠AB′C′=∠B，C′D′=AB′=3，
∵∠AD′D=∠B=∠AB′B，
∴∠AD′C′=∠AD′D，即点D′、D、C′在同一条直线上，
∴DC′=C′D′-DD′=3-2=1，
∵∠C′=∠ECB′，∠DEC′=∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴，
∴，
设DE=x，B′E=y，
∴，
解得，
.
故答案为：，.
【分析】先证明△BAB′∽△DAD′，列出比例式求得DD′，再证明△CEB′∽△C'ED，列出比例式求得DE.
14．【答案】（1）解：PA=PE，理由如下：
连接PB，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，∠ADC＝180°－45°＝135°
∵AD=BD
∴BD=BC
∵∠C=45°
∴三角形DBC是等腰直角三角形
∴∠BDC＝45°，∠DBP＝45°
∴∠PBE＝∠ADC＝135°
∵P是DC的中点
∴BP⊥DC，DP＝BP
∴∠DPA＋∠APB＝∠APB＋∠BPE＝90°
∴∠DPA＝∠BPE
∵∠DPA＝∠BPE，DP＝BP，∠PBE＝∠ADC
∴△DPA≌△BPE(ASA)
∴PA＝PE；
（2）证明：过点P作PF垂直CD交DE于点F，如下图：
∵PF⊥CD，EP⊥AP
∴∠DPE=∠APE=90°
∴∠DPA+∠APB=∠APB+∠FPE
∴∠DPA=∠FPE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠C=∠DAB=45°，AB∥CD
∵AD=BD
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴∠ADB＝∠DBC=90°
∴∠PFD=45°
∴∠PFD=∠PDF
∴PD=PF
∴∠PDA=∠PFE=135°
∴△DPA≌△FPE((ASA)
∴AD=EF
∴DF=DP=DP
∵DE=DF+EF
∴DA+DP=DE；
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和等量代换原则可得BD=BC；根据等腰直角三角形的判定和性质可得∠BDC＝45°，∠DBP＝45°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得PA=PE；
（2）根据等量代换原则可得∠DPA=∠FPE根据平行四边形的性质可得∠C=∠DAB=45°，AB∥CD；根据等腰直角三角形的性质和等量代换原则可得∠PFD=45°，∠PDA=∠PFE=135°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得AD=EF；根据特殊角的三角函数的应用可得DF=DP，根据等量代换原则即可解题.
15．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
16．【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
17．【答案】（1）解：将，代入得：，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：将线段绕着点顺时针旋转得到，轴，
，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
设，则点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为；
（3）解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）存在，设点的坐标为．
分两种情况考虑，如图所示：
当为边时，
点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
或，
或，
点的坐标为，点的坐标为；
当为对角线时，
点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，
，
点的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求出答案。
（2） 将线段绕着点顺时针旋转得到，轴 ，全等三角形的判定定理可得：≌， 设，则点的坐标为， 将点D坐标代入直线解析式即可求出答案。
（3）分情况讨论：当为边时，当为对角线时，即可求出答案。
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