2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.2 平行四边形的判断同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·长春开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷 ）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （ ）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
4．（2017八下·陆川期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且.
证明：延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连结 FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
以下是接着的排序错误的证明步骤：
①∴DF∥BC.
②∴CF∥AD，即CF∥BD.
③∴四边形 DBCF 是平行四边形.
④∴DE∥BC，且正确的证明顺序应是（ ）
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
6．（2023八下·朝阳期末）如图，在 中，、是对角线上的两点若四边形为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（ ）
甲：只需要满足；
乙：只需要满足；
丙：只需要满足．
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
7．（2023八下·崆峒期末）在四边形中，，分别添加下列条件：①；，其中能使四边形成为平行四边形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2023八下·承德期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是
C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是 (填一个即可).
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为 .
11．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有 (填序号).
12．如图，在ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为
13．（2023八下·临潼期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于 ．
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，点E，F分别在CD，CB的延长线上，直线EF与对角线BD平行，并交AD于点H，交AB于点G.求证：EG=FH.
15．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形.
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长.
四、综合题
16．（2022·新疆）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点.延长DF到点E，使，连接BE.
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形.
17．（2023八下·东源期末）如图，在中，，D为边上一点，连接，E为中点，过点C作交BE的延长线于F，连接交于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.由AB//CD，AD=BC无法判断四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
B.∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C.∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D.∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】结合图形，根据平行四边形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可知
根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可知B不符合题意；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C不符合题意；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知D不符合题意.
故答案为：A
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵ ∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：证明：延长DE至点 F，使EF=DE，连结FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AD，AD=FC，
又∵ AD=BD，
∴ CF∥BD，CF=BD，
∴ 四边形DBCF是平行四边形，
∴ DE∥BC，DF=BC，
∵ DE=DF，
∴ DE=BC.
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ADCF是平行四边形，根据平行四边形的性质得CF∥BD，AD=FC，再根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形判定四边形DBCF是平行四边形，最后根据平行四边形的对边平行且相等即可证明.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
甲：
四边形AECF为平行四边形
乙：由AE=CF不能证明，不能使四边形AECF为平行四边形，乙不正确
丙：
四边形AECF为平行四边形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】 解：
四边形ABCD是平行四边形
①正确
由不能判定四边形ABCD是平行四边形
错误
四边形ABCD是平行四边形
正确
四边形ABCD是平行四边形
正确
四边形ABCD是平行四边形
正确
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定、平行线的判定与性质即可求出答案。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：由作图知M、N分别为AD、BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
乙：由作图知：BN=AB，DM=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴BN=DM，
∴AD-DM=BC-BN，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
丙：由作图知：BN=AB，CM=BN=AB=CD，
∴不能判断DM=BN，也就不能得出AM=CN，
∴不能得出四边形ANCM是平行四边形。
所以甲、乙是正确方案。
故答案为：C。
【分析】根据作图步骤，依据平行四边形的判定，即可得出正确方案。
9．【答案】BE=DF(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：BE=DF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF =CE ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE =CF .
故答案为：BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”以及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可求解.
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵E是CD的中点，EF=EB
∴四边形CFDB是平行四边形
∴DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC
∴∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°
∴FG＝CF＝
∴CG＝
∴DG＝2－＝
∴CD＝＝
故答案为：.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形CFDB是平行四边形；根据平行四边形的性质，可得DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC；根据两直线平行，内错角相等，可得∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°，根据含30°角直角三角形的性质，可得FG＝CF＝；根据勾股定理，可得CD的长.
11．【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作交BC延长线于点E，
在ABCD中，BC=AD=3，AC⊥BC，由勾股定理得，
∵，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE=AC=4，CE=AD=3
在中，根据勾股定理可得.
故答案为：.
【分析】过D作交BC延长线于点E，根据平行四边形得性质，结合勾股定理可得，然后根据平行四边形得判定得ACDE是平行四边形，再由勾股定理可推出.
13．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DO=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，
则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴PC+PB的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】首先根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等，可证明该四边形为平行四边形得到四边形DPBQ是平行四边形，再将PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再用勾股定理求解即可.
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∵EF∥BD，
∴四边形BFHD是平行四边形，
∴FB=HD。
∵DH∥FB，
∴∠EHD=∠GFB，
∵AB∥CD，
∴∠FGB=∠HED.
在△FGB和△HED中，
∴△FGB≌△HED，
∴FG=HE，
∴EG=FH.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质知道AD∥BC，AB∥CD.再有AD∥BC，AB∥CD.得到∠FGB=∠HED，∠EHD=∠GFB。再结合已知得到EF∥BD，进而得到平行四边形BFHD，根据平行四边形的性质得到FB=HD，根据这三个条件，可以得到△FGB≌△HED，进而得到FG=HE，所以EG=FH.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∴ 四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠BFC=90°，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
在Rt△BFN中，
BN=.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，然后根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（2）由题意用角角边可证△ADE≌△CBF，则DE=BF，在Rt△BFN中，用勾股定理可求解.
16．【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BF=AF，由已知可得DF=EF，根据对顶角性质得∠AFD=∠BFE，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据中点的概念可得AD=DC，根据全等三角形的性质可得AD=BE，∠ADF=∠BEF，推出DC=BE，DC∥BE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
17．【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：过点C作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由中点的定义得到CE=DE，再利用平行线的性质通过AAS判定，然后由证得四边形为平行四边形.
(2)先利用的直角三角形的性质求得的三边长度，进而得到高线CH的长，再通过平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.2 平行四边形的判断同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·长春开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.由AB//CD，AD=BC无法判断四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
B.∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C.∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D.∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】结合图形，根据平行四边形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷 ）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可知
根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可知B不符合题意；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C不符合题意；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知D不符合题意.
故答案为：A
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
3．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （ ）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵ ∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
4．（2017八下·陆川期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且.
证明：延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连结 FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
以下是接着的排序错误的证明步骤：
①∴DF∥BC.
②∴CF∥AD，即CF∥BD.
③∴四边形 DBCF 是平行四边形.
④∴DE∥BC，且正确的证明顺序应是（ ）
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：证明：延长DE至点 F，使EF=DE，连结FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AD，AD=FC，
又∵ AD=BD，
∴ CF∥BD，CF=BD，
∴ 四边形DBCF是平行四边形，
∴ DE∥BC，DF=BC，
∵ DE=DF，
∴ DE=BC.
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ADCF是平行四边形，根据平行四边形的性质得CF∥BD，AD=FC，再根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形判定四边形DBCF是平行四边形，最后根据平行四边形的对边平行且相等即可证明.
6．（2023八下·朝阳期末）如图，在 中，、是对角线上的两点若四边形为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（ ）
甲：只需要满足；
乙：只需要满足；
丙：只需要满足．
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
甲：
四边形AECF为平行四边形
乙：由AE=CF不能证明，不能使四边形AECF为平行四边形，乙不正确
丙：
四边形AECF为平行四边形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
7．（2023八下·崆峒期末）在四边形中，，分别添加下列条件：①；，其中能使四边形成为平行四边形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】 解：
四边形ABCD是平行四边形
①正确
由不能判定四边形ABCD是平行四边形
错误
四边形ABCD是平行四边形
正确
四边形ABCD是平行四边形
正确
四边形ABCD是平行四边形
正确
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定、平行线的判定与性质即可求出答案。
8．（2023八下·承德期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是
C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：由作图知M、N分别为AD、BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
乙：由作图知：BN=AB，DM=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴BN=DM，
∴AD-DM=BC-BN，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
丙：由作图知：BN=AB，CM=BN=AB=CD，
∴不能判断DM=BN，也就不能得出AM=CN，
∴不能得出四边形ANCM是平行四边形。
所以甲、乙是正确方案。
故答案为：C。
【分析】根据作图步骤，依据平行四边形的判定，即可得出正确方案。
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是 (填一个即可).
【答案】BE=DF(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：BE=DF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF =CE ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE =CF .
故答案为：BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”以及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可求解.
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵E是CD的中点，EF=EB
∴四边形CFDB是平行四边形
∴DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC
∴∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°
∴FG＝CF＝
∴CG＝
∴DG＝2－＝
∴CD＝＝
故答案为：.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形CFDB是平行四边形；根据平行四边形的性质，可得DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC；根据两直线平行，内错角相等，可得∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°，根据含30°角直角三角形的性质，可得FG＝CF＝；根据勾股定理，可得CD的长.
11．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有 (填序号).
【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
12．如图，在ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作交BC延长线于点E，
在ABCD中，BC=AD=3，AC⊥BC，由勾股定理得，
∵，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE=AC=4，CE=AD=3
在中，根据勾股定理可得.
故答案为：.
【分析】过D作交BC延长线于点E，根据平行四边形得性质，结合勾股定理可得，然后根据平行四边形得判定得ACDE是平行四边形，再由勾股定理可推出.
13．（2023八下·临潼期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DO=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，
则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴PC+PB的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】首先根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等，可证明该四边形为平行四边形得到四边形DPBQ是平行四边形，再将PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再用勾股定理求解即可.
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，点E，F分别在CD，CB的延长线上，直线EF与对角线BD平行，并交AD于点H，交AB于点G.求证：EG=FH.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∵EF∥BD，
∴四边形BFHD是平行四边形，
∴FB=HD。
∵DH∥FB，
∴∠EHD=∠GFB，
∵AB∥CD，
∴∠FGB=∠HED.
在△FGB和△HED中，
∴△FGB≌△HED，
∴FG=HE，
∴EG=FH.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质知道AD∥BC，AB∥CD.再有AD∥BC，AB∥CD.得到∠FGB=∠HED，∠EHD=∠GFB。再结合已知得到EF∥BD，进而得到平行四边形BFHD，根据平行四边形的性质得到FB=HD，根据这三个条件，可以得到△FGB≌△HED，进而得到FG=HE，所以EG=FH.
15．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形.
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∴ 四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠BFC=90°，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
在Rt△BFN中，
BN=.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，然后根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（2）由题意用角角边可证△ADE≌△CBF，则DE=BF，在Rt△BFN中，用勾股定理可求解.
四、综合题
16．（2022·新疆）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点.延长DF到点E，使，连接BE.
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BF=AF，由已知可得DF=EF，根据对顶角性质得∠AFD=∠BFE，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据中点的概念可得AD=DC，根据全等三角形的性质可得AD=BE，∠ADF=∠BEF，推出DC=BE，DC∥BE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
17．（2023八下·东源期末）如图，在中，，D为边上一点，连接，E为中点，过点C作交BE的延长线于F，连接交于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：过点C作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由中点的定义得到CE=DE，再利用平行线的性质通过AAS判定，然后由证得四边形为平行四边形.
(2)先利用的直角三角形的性质求得的三边长度，进而得到高线CH的长，再通过平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
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