2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.2 平行四边形的判断同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·广州期中）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023九上·中山开学考）如图所示，在平行四边形中，，，平分，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，若要使四边形AECF为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（ ）
甲：只需要满足；乙：只需要满足；丙：只需要满足，
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
4．（2023八下·安达期末）如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点，增加下列条件，不一定能得出的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·南开期末）如图，在四边形中，，且 交于点E，平分．若，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．（2023八下·南开期末）如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，给出下列结论：①BE=DF；②四边形EBFD是平行四边形；③AB=DE；④AF=CE；⑤其中正确的个数是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2023八下·红桥期末） 如图，在四边形中，，，若，则的大小为 （度）．
10．（2023八下·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是 ．
11．（2023八下·修水期末）先将两个完全相同的三角尺和重合放置，然后将三角尺沿方向平移，使点在中点处，如图1；在图1的基础上将三角尺绕点在平面内旋转，如图2．若，当点好落在三角尺边上时，长为 ．
12．（2023八下·宜春期中）如图，在 中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为 时，线段．
13．（2023八下·西安月考）如图，在 ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动，另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为
秒．
三、解答题
14．（2023八上·重庆市期中）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC绕点C旋转，
（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，求∠AEB的度数；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG.
15．（2023八下·榕城期末）证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是的边，中点．
求证：，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一 证明：如图，延长至F，使，连接、、． 方法二 证明：如图，过E作交于F，过A作交于M．
四、综合题
16．（2023九上·池州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，，于点E，过点C作于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且，连接DN，延长AD到点G，使，连接CG.
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由.
（3）若，，求DN的长.
17．（2023九上·开州期中）如图，在中，，把边绕点旋转到．
（1）如图1，连接，使，，求到的距离；
（2）如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：；
（3）如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、两个相邻的角分别相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE=AF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，∴∠AEB=∠EAB，
∴BE=BA，
∵AB=3.5cm，BC=5cm，
∴AF=CE=BC-BE=5-3.5=1.5.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，结合已知根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE=AF，由平行线的性质和角平分线定义可得∠AEB=∠EAB，由等角对等边可得BE=BA，然后由线段的构成得AF=CE=BC-BE可求解.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】 连接AC，交BD于O.
甲：只需要满足
ABCD是平行四边形
BO=DO AO=CO
BF=DE
BF-BO=DE-DO即FO=EO
AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
乙：只需要满足
当前条件无法证明对角线平分或者一组对边平行
故不是正确方案。
丙：只需要满足
在中
≌ (AAS)
AE=CF
AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质及补充条件，依据平行四边形的判定定理进行判断。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC.
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴BE//DF；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC.
当BE=DF时，四边形BFDE有可能是等腰梯形，不一定能判定BE//DF；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，
∵∠EBF=∠FDE，
∴∠BED+∠FDE=180°，
∴BE//DF；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，
∵∠BED=∠BFD，
∴∠BFD+∠EBF=180°，
∴BE∥DF．
故答案为：B.
【分析】（1）通过说明四边形BFDE是平行四边形，来说明BE//DF；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，与BE=DF，只能得出四边形BEDF是梯形；
（3）先说明∠BED+∠FDE=180°，从而有BE//DF；
（4）先说明∠BFD+∠EBF=180°，从而有BE//DF.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=3，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=3，
∵BC=7，
∴BE=BC-CE=4.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线和平行线得到AB=AD=3，利用平行四边形的判定得到AECD是平行四边形，从而求得CE=AD=3，即可求得BE=BC-CE.
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短；全等三角形的应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直线x=2交x轴于点F，交OC于点G，设直线x=5交AB于点H，
过点B作BD⊥x轴于点D，BE⊥直线x=5于点E，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∠BCO=∠OAB，OA=BC，
∵直线x=5∥直线x=2，即AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴∠HCG=∠GAH，
∴∠BCO-∠HCG=∠OAB-∠GAH，即∠OAG=∠BCH，
在△OAF和△BCE中，
∴△OAF≌△BCE（AAS），
∴BE=OF=2，
∴OD=5+2=7，
∴点B在直线BD（直线x=7）上运动，
∴当点B与点D重合时OB取得最小值7.
故答案为：7.
【分析】根据平行四边形的性质可证得三角形全等，从而可以得点B在直线x=7上运动，根据点到直线的距离垂线段最短得点B与点D重合时取得最小值.
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠BAE=∠DCF
∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴BE=DF，故①正确；
∵△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠DFC
∴∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF
∵BE∥DF，BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形，故②正确；
由②可知，DE=BF，无法判定AB=DE，故③错误；
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，④正确；
由①可知，S△ABE=S△CDF；
S△ADE=|AE|，S△ABE=S△CDF=|CF|；
∵AE=CF
∴S△ADE=S△ABE=S△CDF，⑤正确；
综上所述，正确结论一共由4个.
故答案为：C.
【分析】①根据平行四边形的性质和三角形全等（SAS）的判定和性质即可判定；②根据内错角相等，判定两直线平行；再根据平行四边形的判定即可判定；③根据平行四边形的性质即可解题；④根据等量代换原则解题即可；⑤根据三角形面积公式，列代数式判定即可.
9．【答案】120
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠C=60°，
∴∠D=180°-∠C=180°-60°=120°，
故答案为：120°.
【分析】先判断出四边形ABCD是平行四边形，可得∠D+∠C=180°，再求出∠D=180°-∠C=180°-60°=120°即可.
10．【答案】1
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点M关于AC的对称点M'，连接M'P
菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点M'，点M是AB的中点
点M'是AD的中点，MP=M'P
当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值为M'N的长
点M'是AD的中点，点N是BC边上的中点
在菱形ABCD中，AD||BC，AD=BC
四边形AM'NB是平行四边形
故 MP+NP的最小值是 1
故答案为：1
【分析】作点M关于AC的对称点M'，连接M'P，当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值，根据平行四边形的判定定理证明四边形AM'NB是平行四边形，即可求出答案。
11．【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示：当点C落在DF上时，
∵AC = DF = 2，∠A = ∠EDF = 45°，∠C=∠F=90°，
∴△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴，
∵点D是AB的中点，
∴AD=CD==，
∴，
如下图所示：当点C落在DE上时，连接CF，
∵DE=AB=， CD = ，
∴CE=CD=，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴CF= CD= AD= ，CF⊥DE，
∴CF//AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF=CD = ，
故答案为： 或 .
【分析】分类讨论，先作图，再利用等腰直角三角形判定与性质，勾股定理以及平行四边形的判定与性质等计算求解即可。
12．【答案】3或6或9
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：当PA= QB时，PQ∥AB，
∵PA=QB，AP∥QB，
∴四边形BQPA为平行四边形，
∴PQ∥AB，
∵点P运动的时间为12÷1 =12s，
∴点Q运动的路程为3×12=36cm，
故点Q可在BC间往返3次，
∴PQ与AB存在3次平行的情况，
设运动时间为t秒，
①第一次平行：PA= t，QB=12-3t，
∴t=12-3t，
解得t= 3；
②第二次平行：PA=t，QB=3t-12，
∴t=3t-12，
解得t= 6；
③第三次平行：AP=t，QB=36-3t，
∴t=36-3t，
解得t= 9；
故答案为：3或6或9
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到PQ∥AB，再求出点P的运动时间，进而得到点Q可在BC间往返3次，故PQ与AB存在3次平行的情况，设运动时间为t秒，再根据题意分类讨论即可求解。
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=3cm，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，当点Q从C到B过程中，
则AP=0.5t，CQ=t，PD=3-0.5t，BQ=3-t，
∴3-0.5t=3-t，
解得：t=0，不合题意；
当点P到达B返回过程中，PD=3-0.5t，BQ=t-3，
∴3-0.5t=t-3，
解得：t=4，
∴当运动时间为4时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 ；
故答案为：4.
【分析】由PD∥BQ，可知以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分两种情况：当点Q从C到B过程中和当点P到达B返回过程中，据此分别列出方程并求解即可.
14．【答案】（1）解：90°
（2）证明：如图2，过点A作AH//CE，交CG的延长线于点H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠DCE-90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°.
∴∠CAH=∠BCD，
∵CF⊥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°.
∴∠CBF=∠ACG.
在△BCD和△CAH中，
∴△BCD≌△CAH(ASA).
∴CD=AH=CE，BD=CH.
又∵AH//CE，
∴四边形ACEH是平行四边形，
∴CH=2CG，∴BD=2CG，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）在△ECB和△DCA中：∵CE=CD，∠ECB=∠DCA，CB=CA，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠ADC=180°-45°=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠DEC=135°-45°=90°；
【分析】（1）首先根据SAS证明△ECB≌△DCA，即可得出∠BEC=∠ADC=135°，然后再根据∠AEB=∠BEC-∠DEC即可得出∠AEB=90°；
（2） 如图2，过点A作AH//CE，交CG的延长线于点H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°， 再根据 ∠BCD+∠ACE=180°，可得出∠CAH=∠BCD， 进而可证得 △BCD≌△CAH ，可得出 CD=AH=CE，BD=CH，再结合AH//CE判定四边形ACEH是平行四边形，即可得出CH=2CG，进而代换为BD=2CG.
15．【答案】解：方法一：延长DE至F，使，连接、、．
∵D、E分别是的边，中点，
∴，，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴；
方法二：过E作交于F，过A作交于M，
同理有：，，
∵，，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，得AD∥CF，AD=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BDFC是平行四边形，得DF∥BC，DF=BC，从而问题得证；
方法二：首先用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形AMFB是平行四边形，得AM=FB，AM∥FB，AB∥FM，再从AAS证明△AME≌△CFE，得AM=FC，EM=EF，最后用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AMED是平行四边形，得AM=ED，AM∥ED，从而问题得证.
16．【答案】（1）证明：∵于点，于点，
∴，∴.
∵，，∴，∴.
在和中，
∴，
∴.
（2）解：是等腰直角三角形.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴.
∵，∴，，
∴，.
∵，，
∴.
∵，，∴.
在和中，
∴，∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形.
（3）解：∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出，再利用“ASA”证出，可得；
（2）先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到是等腰直角三角形；
（3）先利用线段和差求出，利用勾股定理求出，再证出四边形是平行四边形，可得.
17．【答案】（1）解：如图，作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴到的距离为；
（2）证明：如图，延长至K，使，连接，
∵，
∴，
∴是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∵
∴，
∴
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）如图，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
∴当点N在与圆的交点时，取最小，
∵，，
，
∴，
∴，
作于点M，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，首先计算AC的长度，继而计算CG，求出答案即可；
（2）延长EG到k，使得KG=AB，连接AK，即可证明四边形ABKG为平行四边形，即可得到AK=BG，由全等三角形的判定定理证明△ABC≌△BEG，继而得到∠AKC=∠AC证明得到答案即可；
（3）根据题意求出∠ANB=90°，即可得到点N为OC与圆的交点，结合勾股定理求出OC，继而得到CN，求出FC上的高，计算△CNF的面积即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.2 平行四边形的判断同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·广州期中）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、两个相邻的角分别相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
2．（2023九上·中山开学考）如图所示，在平行四边形中，，，平分，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE=AF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，∴∠AEB=∠EAB，
∴BE=BA，
∵AB=3.5cm，BC=5cm，
∴AF=CE=BC-BE=5-3.5=1.5.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，结合已知根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE=AF，由平行线的性质和角平分线定义可得∠AEB=∠EAB，由等角对等边可得BE=BA，然后由线段的构成得AF=CE=BC-BE可求解.
3．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，若要使四边形AECF为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（ ）
甲：只需要满足；乙：只需要满足；丙：只需要满足，
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】 连接AC，交BD于O.
甲：只需要满足
ABCD是平行四边形
BO=DO AO=CO
BF=DE
BF-BO=DE-DO即FO=EO
AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
乙：只需要满足
当前条件无法证明对角线平分或者一组对边平行
故不是正确方案。
丙：只需要满足
在中
≌ (AAS)
AE=CF
AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质及补充条件，依据平行四边形的判定定理进行判断。
4．（2023八下·安达期末）如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点，增加下列条件，不一定能得出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC.
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴BE//DF；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC.
当BE=DF时，四边形BFDE有可能是等腰梯形，不一定能判定BE//DF；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，
∵∠EBF=∠FDE，
∴∠BED+∠FDE=180°，
∴BE//DF；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，
∵∠BED=∠BFD，
∴∠BFD+∠EBF=180°，
∴BE∥DF．
故答案为：B.
【分析】（1）通过说明四边形BFDE是平行四边形，来说明BE//DF；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，与BE=DF，只能得出四边形BEDF是梯形；
（3）先说明∠BED+∠FDE=180°，从而有BE//DF；
（4）先说明∠BFD+∠EBF=180°，从而有BE//DF.
5．（2023八下·南开期末）如图，在四边形中，，且 交于点E，平分．若，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=3，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=3，
∵BC=7，
∴BE=BC-CE=4.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线和平行线得到AB=AD=3，利用平行四边形的判定得到AECD是平行四边形，从而求得CE=AD=3，即可求得BE=BC-CE.
6．（2023八下·南开期末）如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】垂线段最短；全等三角形的应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直线x=2交x轴于点F，交OC于点G，设直线x=5交AB于点H，
过点B作BD⊥x轴于点D，BE⊥直线x=5于点E，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∠BCO=∠OAB，OA=BC，
∵直线x=5∥直线x=2，即AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴∠HCG=∠GAH，
∴∠BCO-∠HCG=∠OAB-∠GAH，即∠OAG=∠BCH，
在△OAF和△BCE中，
∴△OAF≌△BCE（AAS），
∴BE=OF=2，
∴OD=5+2=7，
∴点B在直线BD（直线x=7）上运动，
∴当点B与点D重合时OB取得最小值7.
故答案为：7.
【分析】根据平行四边形的性质可证得三角形全等，从而可以得点B在直线x=7上运动，根据点到直线的距离垂线段最短得点B与点D重合时取得最小值.
7．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
8．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，给出下列结论：①BE=DF；②四边形EBFD是平行四边形；③AB=DE；④AF=CE；⑤其中正确的个数是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠BAE=∠DCF
∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴BE=DF，故①正确；
∵△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠DFC
∴∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF
∵BE∥DF，BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形，故②正确；
由②可知，DE=BF，无法判定AB=DE，故③错误；
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，④正确；
由①可知，S△ABE=S△CDF；
S△ADE=|AE|，S△ABE=S△CDF=|CF|；
∵AE=CF
∴S△ADE=S△ABE=S△CDF，⑤正确；
综上所述，正确结论一共由4个.
故答案为：C.
【分析】①根据平行四边形的性质和三角形全等（SAS）的判定和性质即可判定；②根据内错角相等，判定两直线平行；再根据平行四边形的判定即可判定；③根据平行四边形的性质即可解题；④根据等量代换原则解题即可；⑤根据三角形面积公式，列代数式判定即可.
二、填空题
9．（2023八下·红桥期末） 如图，在四边形中，，，若，则的大小为 （度）．
【答案】120
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠C=60°，
∴∠D=180°-∠C=180°-60°=120°，
故答案为：120°.
【分析】先判断出四边形ABCD是平行四边形，可得∠D+∠C=180°，再求出∠D=180°-∠C=180°-60°=120°即可.
10．（2023八下·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是 ．
【答案】1
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点M关于AC的对称点M'，连接M'P
菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点M'，点M是AB的中点
点M'是AD的中点，MP=M'P
当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值为M'N的长
点M'是AD的中点，点N是BC边上的中点
在菱形ABCD中，AD||BC，AD=BC
四边形AM'NB是平行四边形
故 MP+NP的最小值是 1
故答案为：1
【分析】作点M关于AC的对称点M'，连接M'P，当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值，根据平行四边形的判定定理证明四边形AM'NB是平行四边形，即可求出答案。
11．（2023八下·修水期末）先将两个完全相同的三角尺和重合放置，然后将三角尺沿方向平移，使点在中点处，如图1；在图1的基础上将三角尺绕点在平面内旋转，如图2．若，当点好落在三角尺边上时，长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示：当点C落在DF上时，
∵AC = DF = 2，∠A = ∠EDF = 45°，∠C=∠F=90°，
∴△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴，
∵点D是AB的中点，
∴AD=CD==，
∴，
如下图所示：当点C落在DE上时，连接CF，
∵DE=AB=， CD = ，
∴CE=CD=，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴CF= CD= AD= ，CF⊥DE，
∴CF//AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF=CD = ，
故答案为： 或 .
【分析】分类讨论，先作图，再利用等腰直角三角形判定与性质，勾股定理以及平行四边形的判定与性质等计算求解即可。
12．（2023八下·宜春期中）如图，在 中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为 时，线段．
【答案】3或6或9
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：当PA= QB时，PQ∥AB，
∵PA=QB，AP∥QB，
∴四边形BQPA为平行四边形，
∴PQ∥AB，
∵点P运动的时间为12÷1 =12s，
∴点Q运动的路程为3×12=36cm，
故点Q可在BC间往返3次，
∴PQ与AB存在3次平行的情况，
设运动时间为t秒，
①第一次平行：PA= t，QB=12-3t，
∴t=12-3t，
解得t= 3；
②第二次平行：PA=t，QB=3t-12，
∴t=3t-12，
解得t= 6；
③第三次平行：AP=t，QB=36-3t，
∴t=36-3t，
解得t= 9；
故答案为：3或6或9
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到PQ∥AB，再求出点P的运动时间，进而得到点Q可在BC间往返3次，故PQ与AB存在3次平行的情况，设运动时间为t秒，再根据题意分类讨论即可求解。
13．（2023八下·西安月考）如图，在 ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动，另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为
秒．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=3cm，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，当点Q从C到B过程中，
则AP=0.5t，CQ=t，PD=3-0.5t，BQ=3-t，
∴3-0.5t=3-t，
解得：t=0，不合题意；
当点P到达B返回过程中，PD=3-0.5t，BQ=t-3，
∴3-0.5t=t-3，
解得：t=4，
∴当运动时间为4时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 ；
故答案为：4.
【分析】由PD∥BQ，可知以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分两种情况：当点Q从C到B过程中和当点P到达B返回过程中，据此分别列出方程并求解即可.
三、解答题
14．（2023八上·重庆市期中）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC绕点C旋转，
（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，求∠AEB的度数；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG.
【答案】（1）解：90°
（2）证明：如图2，过点A作AH//CE，交CG的延长线于点H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠DCE-90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°.
∴∠CAH=∠BCD，
∵CF⊥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°.
∴∠CBF=∠ACG.
在△BCD和△CAH中，
∴△BCD≌△CAH(ASA).
∴CD=AH=CE，BD=CH.
又∵AH//CE，
∴四边形ACEH是平行四边形，
∴CH=2CG，∴BD=2CG，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）在△ECB和△DCA中：∵CE=CD，∠ECB=∠DCA，CB=CA，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠ADC=180°-45°=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠DEC=135°-45°=90°；
【分析】（1）首先根据SAS证明△ECB≌△DCA，即可得出∠BEC=∠ADC=135°，然后再根据∠AEB=∠BEC-∠DEC即可得出∠AEB=90°；
（2） 如图2，过点A作AH//CE，交CG的延长线于点H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°， 再根据 ∠BCD+∠ACE=180°，可得出∠CAH=∠BCD， 进而可证得 △BCD≌△CAH ，可得出 CD=AH=CE，BD=CH，再结合AH//CE判定四边形ACEH是平行四边形，即可得出CH=2CG，进而代换为BD=2CG.
15．（2023八下·榕城期末）证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是的边，中点．
求证：，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一 证明：如图，延长至F，使，连接、、． 方法二 证明：如图，过E作交于F，过A作交于M．
【答案】解：方法一：延长DE至F，使，连接、、．
∵D、E分别是的边，中点，
∴，，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴；
方法二：过E作交于F，过A作交于M，
同理有：，，
∵，，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，得AD∥CF，AD=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BDFC是平行四边形，得DF∥BC，DF=BC，从而问题得证；
方法二：首先用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形AMFB是平行四边形，得AM=FB，AM∥FB，AB∥FM，再从AAS证明△AME≌△CFE，得AM=FC，EM=EF，最后用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AMED是平行四边形，得AM=ED，AM∥ED，从而问题得证.
四、综合题
16．（2023九上·池州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，，于点E，过点C作于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且，连接DN，延长AD到点G，使，连接CG.
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由.
（3）若，，求DN的长.
【答案】（1）证明：∵于点，于点，
∴，∴.
∵，，∴，∴.
在和中，
∴，
∴.
（2）解：是等腰直角三角形.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴.
∵，∴，，
∴，.
∵，，
∴.
∵，，∴.
在和中，
∴，∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形.
（3）解：∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出，再利用“ASA”证出，可得；
（2）先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到是等腰直角三角形；
（3）先利用线段和差求出，利用勾股定理求出，再证出四边形是平行四边形，可得.
17．（2023九上·开州期中）如图，在中，，把边绕点旋转到．
（1）如图1，连接，使，，求到的距离；
（2）如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：；
（3）如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：如图，作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴到的距离为；
（2）证明：如图，延长至K，使，连接，
∵，
∴，
∴是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∵
∴，
∴
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）如图，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
∴当点N在与圆的交点时，取最小，
∵，，
，
∴，
∴，
作于点M，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，首先计算AC的长度，继而计算CG，求出答案即可；
（2）延长EG到k，使得KG=AB，连接AK，即可证明四边形ABKG为平行四边形，即可得到AK=BG，由全等三角形的判定定理证明△ABC≌△BEG，继而得到∠AKC=∠AC证明得到答案即可；
（3）根据题意求出∠ANB=90°，即可得到点N为OC与圆的交点，结合勾股定理求出OC，继而得到CN，求出FC上的高，计算△CNF的面积即可。
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