2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.3 三角形的中位线同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024九上·双阳期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
2．（2023八下·宁远期中）如图平行四边形中，对角线相交于点，点E是的中点，若，则的长为（ ）
A．3 B．12 C．8 D．10
3．（2023九上·南关月考）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测的OA、OB的中点分别是点D、E，且米，则A、B两点的距离是（ ）
A．9米． B．18米． C．36米． D．54米．
4．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
6．（2024九上·祁东期末）如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
7．（2020·泰安）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2024九上·衡东期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，若的长是3，则 ．
10．（2023八下·高陵期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，以A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，若AD＝8，DE＝7，则BF的长为 ．
11．（2024·湖南模拟）在周长为800米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米．
12．如图，已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点 C 作CG⊥AD于点F，交 AB 于点 G，连结EF，则线段 EF 的长为 .
13．如图，直线l ∥l ，点A，B固定在直线 l 上，C 是直线l 上一动点，连结CA，CB. E，F分别是CA，CB的中点，连结 EF.对于下列各值：①线段 EF 的长；②△CEF 的周长；③△CEF 的面积；④∠ECF 的度数.其中不随点 C 的移动而改变的是 （填序号）.
三、解答题
14．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使EF=2DE，连结FC.求证：四边形BCFE是平行四边形.
15．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
四、综合题
16．（2023八下·金东期末）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，过点E作交的延长线于点F．
（1）证明：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的周长是18，的长为12，求线段的长度．
17．（2023八下·临汾期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：
I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
（1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，，
∴，
∴（米）．
故答案为：B．
【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。据此求解。
2．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
O为BD的中点
故答案为A
【分析】平行四边形的对角线互相平分，则O为BD的中点，再利用三角形中位线定理即可求出答案。
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E是、的中点，即是的中位线，
∴，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，据此求解．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线性质和外角性质，可得∠DEC=∠BFC=35°；根据等腰三角形的性质可得∠BFC＝∠CBF=35°，根据三角形的内角和定理可得∠C和∠ABC的度数.
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E，F分别是的中点，
∴EF、DE和FD均是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=（AB+BC+AC）=6，
故答案为：A.
【分析】先证出EF、DE和FD均是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质可得EF=AB，DE=AC，DF=BC，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，
三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵ ，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB= ，N为AB的中点，
∴ON= ，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN= ，
∴OM=ON+MN= ，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FE＝AC＝4，
∴DF＝DE-FE＝6-4＝2，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得FE，即可．
9．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点，分别是边，的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴AC=2DE=6
故答案为：6
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出答案.
10．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D、E分别是AC、BC的中点，
DE是 △ABC 的中位线，
，
由尺规作图得：AF=AD=8，
.
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理得到AB的长，根据题意进而求出BF.
11．【答案】400
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得△ABC的周长为800m，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，
∴水渠总长为，
故答案为：400
【分析】先根据题意标点，进而结合三角形中位线定理即可得到2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，从而即可求解。
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠CAG，
∴ ∠GAF=∠CAF，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠AFG=∠AFC=90°，
∵ AF=AF，
∴ △AFG≌△AFC（ASA），
∴ GF=FC，AG=AC=3，
∵ AB=4，
∴ GB=AB-AG=1，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ EF是△GBC的中位线，
∴ EF=GB=.
故答案为：.
【分析】依据ASA判定△AFG≌△AFC推出GF=FC，AG=AC=3，得到GB的长，再根据中位线的性质即可求得.
13．【答案】①③
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ A，B为定点，
∴ AB的长为定值，
∵ E，F分别为CA，CB的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF=AB，即EF的长为定值，故①正确；
∵ △CEF的周长=（AC+BC）+EF，点C移动时，AC+BC发生改变，
∴ △CEF的周长也改变，故②错误；
∵l 与l 之间的距离为定值，
∴ C到AB的距离为定值，
∵ EF是中位线，
∴ C到EF的距离为定值，
∴ △CEF的面积也为定值，故③正确；
∵ 点C移动时，∠ACB发生改变，
∴ ∠ECF也改变，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】根据AB的长和 l 与l 之间的距离都为定值，根据平行线的性质和三角形的中位线的性质即可判断①③，根据C点移动时，AC+BC发生改变，∠ACB发生改变，即可判断②④.
14．【答案】证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵EF=2DE，
则DE=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可求解.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
16．【答案】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴，即，
又，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形，
∴，，
又四边形的周长是18，
∴，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE ∥BC，由已知条件可知EF∥CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质结合题意可得DE+DC=9，由中位线的性质可得BC=2DE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，则AB+BC=18，由勾股定理可得AB2-BC2=AC2=144，则(AB+BC)(AB-BC)=144，据此可得AB-BC的值，进而可得AB、BC的值.
17．【答案】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求出答案。
（2） 过点作交边于点，连接， 根据平行四边形的判定定理和性质即可求出答案。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.3 三角形的中位线同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024九上·双阳期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，，
∴，
∴（米）．
故答案为：B．
【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。据此求解。
2．（2023八下·宁远期中）如图平行四边形中，对角线相交于点，点E是的中点，若，则的长为（ ）
A．3 B．12 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
O为BD的中点
故答案为A
【分析】平行四边形的对角线互相平分，则O为BD的中点，再利用三角形中位线定理即可求出答案。
3．（2023九上·南关月考）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测的OA、OB的中点分别是点D、E，且米，则A、B两点的距离是（ ）
A．9米． B．18米． C．36米． D．54米．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E是、的中点，即是的中位线，
∴，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，据此求解．
4．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线性质和外角性质，可得∠DEC=∠BFC=35°；根据等腰三角形的性质可得∠BFC＝∠CBF=35°，根据三角形的内角和定理可得∠C和∠ABC的度数.
5．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
6．（2024九上·祁东期末）如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E，F分别是的中点，
∴EF、DE和FD均是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=（AB+BC+AC）=6，
故答案为：A.
【分析】先证出EF、DE和FD均是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质可得EF=AB，DE=AC，DF=BC，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
7．（2020·泰安）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，
三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵ ，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB= ，N为AB的中点，
∴ON= ，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN= ，
∴OM=ON+MN= ，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
8．（2023八下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FE＝AC＝4，
∴DF＝DE-FE＝6-4＝2，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得FE，即可．
二、填空题
9．（2024九上·衡东期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，若的长是3，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点，分别是边，的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴AC=2DE=6
故答案为：6
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出答案.
10．（2023八下·高陵期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，以A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，若AD＝8，DE＝7，则BF的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D、E分别是AC、BC的中点，
DE是 △ABC 的中位线，
，
由尺规作图得：AF=AD=8，
.
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理得到AB的长，根据题意进而求出BF.
11．（2024·湖南模拟）在周长为800米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米．
【答案】400
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得△ABC的周长为800m，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，
∴水渠总长为，
故答案为：400
【分析】先根据题意标点，进而结合三角形中位线定理即可得到2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，从而即可求解。
12．如图，已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点 C 作CG⊥AD于点F，交 AB 于点 G，连结EF，则线段 EF 的长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠CAG，
∴ ∠GAF=∠CAF，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠AFG=∠AFC=90°，
∵ AF=AF，
∴ △AFG≌△AFC（ASA），
∴ GF=FC，AG=AC=3，
∵ AB=4，
∴ GB=AB-AG=1，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ EF是△GBC的中位线，
∴ EF=GB=.
故答案为：.
【分析】依据ASA判定△AFG≌△AFC推出GF=FC，AG=AC=3，得到GB的长，再根据中位线的性质即可求得.
13．如图，直线l ∥l ，点A，B固定在直线 l 上，C 是直线l 上一动点，连结CA，CB. E，F分别是CA，CB的中点，连结 EF.对于下列各值：①线段 EF 的长；②△CEF 的周长；③△CEF 的面积；④∠ECF 的度数.其中不随点 C 的移动而改变的是 （填序号）.
【答案】①③
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ A，B为定点，
∴ AB的长为定值，
∵ E，F分别为CA，CB的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF=AB，即EF的长为定值，故①正确；
∵ △CEF的周长=（AC+BC）+EF，点C移动时，AC+BC发生改变，
∴ △CEF的周长也改变，故②错误；
∵l 与l 之间的距离为定值，
∴ C到AB的距离为定值，
∵ EF是中位线，
∴ C到EF的距离为定值，
∴ △CEF的面积也为定值，故③正确；
∵ 点C移动时，∠ACB发生改变，
∴ ∠ECF也改变，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】根据AB的长和 l 与l 之间的距离都为定值，根据平行线的性质和三角形的中位线的性质即可判断①③，根据C点移动时，AC+BC发生改变，∠ACB发生改变，即可判断②④.
三、解答题
14．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使EF=2DE，连结FC.求证：四边形BCFE是平行四边形.
【答案】证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵EF=2DE，
则DE=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可求解.
15．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
四、综合题
16．（2023八下·金东期末）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，过点E作交的延长线于点F．
（1）证明：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的周长是18，的长为12，求线段的长度．
【答案】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴，即，
又，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形，
∴，，
又四边形的周长是18，
∴，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE ∥BC，由已知条件可知EF∥CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质结合题意可得DE+DC=9，由中位线的性质可得BC=2DE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，则AB+BC=18，由勾股定理可得AB2-BC2=AC2=144，则(AB+BC)(AB-BC)=144，据此可得AB-BC的值，进而可得AB、BC的值.
17．（2023八下·临汾期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：
I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
（1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
【答案】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求出答案。
（2） 过点作交边于点，连接， 根据平行四边形的判定定理和性质即可求出答案。
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