2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.3 三角形的中位线同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017八下·福清期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG= BC，
∴ED=FG= BC=2，
同理GD=EF= AO=1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出ED=FG、GD=EF的长，求出四边形DEFG的周长.
2．（2023九下·沭阳月考）如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为边的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：DE为△ABC的中位线，则BC=2DE，据此计算.
3．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，在平行四边形中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=10，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
∵EF⊥BD，∠ADB=90°，
∴EF∥AD，又EF是BD的垂直平分线，
∴点M是AB的中点，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点M是斜边AB的中点，
∴DM=BM=AM，
∴DM+BM=AM+BM=AB=10，
同理DN+BN=CD=10，
∴四边形DMBN的周长为DM+BM+BN+DN=20.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD=10，AD∥BC，∠DBC=∠ADB=90°，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AD，然后利用三角形中位线定理得点M是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DM=BM=AM，则DM+BM=AM+BM=AB=10，同理DN+BN=CD=10，据此就很容易求出四边形DMBN的中点了.
4．（2023九上·南宁开学考）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得，则池塘的宽度AB（ ）m.
A．40 B．20 C．10 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知：
∵M、N分别是OA、OB的中点
∴=20m
∴AB=40m
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质定理：一个三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边，由此可知=20m，可求AB=40m.
5．（2023八下·石家庄期末）如图，的对角线，相交于点O，E是的中点，且，则的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AE+EO=3，
∴2AE+2EO=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴OE=.
∴2OE=CD，
∴AD+CD=6，
∴的周长为 ：2（AD+CD）=2×6=12.
故答案为：C。
【分析】首先求得CD=2OE，从而得出AD+CD=6，从而得出的周长为12。
6．（2023八下·梁山期末）如图，中，，斜边，D为的中点，F是上一点，且，延长到E，使，连接，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．7 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵D为斜边AB的中点，
∴CD=
∵CF=，
∴DF=CD-CF=3，
∵AF=EF，
∴DF是△ABE的一条中位线，
∴BE=2DF=6.
故答案为：A。
【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，求得CD的长度，再根据可求得DF=3，然后根据三角形中位线的性质，可求得BE的长度。
7．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22° D．23°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G分别是边AB、CD、AC的中点，
∴EG、FG分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，
∴∠FGC=∠DAC，∠ACB=∠AGE，
∵∠DAC=20°，∠ACB=66°，AD=BC，
∴∠FGC=∠DAC=20°，∠ACB=∠AGE=66°，EG=FG，
∴∠EGC=180°-66°=114°，∠EFG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+114°=134°，
∴∠EFG=∠FEG=.
故答案为：D.
【分析】由三角形的中位线定理可得EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，结合已知并根据平行线的性质和三角形内角和定理可求解.
8．（2023八上·安岳期末）如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F.以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵P是的中点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确，
∵，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
只有当为的中位线时，，故④错误；
综上所述：正确的结论有①②③
故答案为：A.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，PA⊥BC，由等腰三角形的性质可得∠C=∠PAE，由同角的余角相等可得∠FPC=∠EPA，证明△EPA≌△FPC，据此判断①②；根据全等三角形的性质可得S△EPA=S△FPC，则S四边形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S就行PAF=S△APC，由高相等的两个三角形面积之比等于对应底边的比可得S△APC=S△ABC，据此判断③；只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，据此判断④.
二、填空题
9．（2023·荷塘模拟）如图，在中，，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若，则CD的长为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10，
∵， 点D分别为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5，
故答案为：5.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出CD的长即可.
10．（2023九上·开福开学考）如图，在等腰中，，过点作于点，为边的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，BC=8，
∴，
∴由勾股定理可得：，
∵E 为边的中点，
∴BE=AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再利用勾股定理求出AC=5，最后根据三角形的中位线计算求解即可。
11．（2023九上·贵阳期中）如图，在中，，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线，交BC于点F．若，且的面积为，则BC的长是 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，过点A作，垂足为点H，
D是AB的中点，
AD=BD，
，
AE=EC，
BF=HF，
的面积为，
解得：
【分析】过点A作，垂足为点H，利用已知条件求得AE=EC，求得再求得利用三角形面积公式得到进而得到求得，再利用勾股定理即可求解.
12．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
13．（2023八下·嵊州期末）如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是 ．（填上相应的序号即可）
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴EF、DE为△ABC的中位线，
∴EF∥BD，DE∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，故①正确；
∵AH⊥BC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴HE=AC，HF=AB.
∵EF、DE为△ABC的中位线，
∴DF=AC，DE=AB，
∴HE=DF，HF=DE，
∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；
∵EF∥BC，
∴S△DFH=S△DEH，
∴S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.
∵点D为BC的中点，EF∥BC，
∴S△BDF=S△DEC，
∴S△DFH+S△HEC=S△BDF，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由题意可得EF、DE为△ABC的中位线，则EF∥BD，DE∥AB，然后根据平行四边形的判定定理可判断①；根据中位线的性质可得DF=AC，DE=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得HE=AC，HF=AB，则HE=DF，HF=DE，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；易得S△BDF=S△DEC，S△DFH=S△DEH，则S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.，据此判断③.
三、解答题
14．（2022·乐山模拟）等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接CE，取CE中点G，连接BG，DG，探索BG，DG的关系．
【答案】解：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：
取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P．
∵M是AC的中点，G是CD的中点．
∴MG是三角形的中位线．
∴MG∥AE，MG＝AE．
∴∠CMG＝∠CAE．
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，AB＝BC．
∴BM＝AC．∠BMA＝90°．
同理可得GN∥AC，NG＝AC，∠DNA＝90°，∠ENG＝∠CAE，DN＝AE．
∴BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG．
∴∠AMG＝∠ANG．
∴∠BMG＝∠DNG．
∴△BMG≌△GND（SAS）．
∴BG＝DG，∠MGB＝∠GDN
∵MG∥AE．
∴∠MGD＝∠GPE．
∴∠MGB+∠BGD＝∠PND+∠GDN．
∴∠BGD＝∠AND＝90°，即BG⊥GD．
∴BG＝DG且BG⊥GD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】关系：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P；结合已知由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”可得MG∥AE，MG＝AE，GN∥AC，NG＝AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC，DN=AE，于是BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG，用边角边可证△BMG≌△GND，由全等三角形的性质可得BG＝DG，∠MGB＝∠GDN，结合平行线的性质易得∠BGD＝∠AND＝90°，再由垂线的定义可得BG⊥DG.
15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点N，M是对角线BD的中点，连结AM，CM.已知AM=DC，AB⊥AC，且AB=AC.
（1）求证：四边形AMCD是平行四边形.
（2）求tan∠DBC的值.
【答案】（1）证明：∵点M是BD的中点，∠BCD=90°，
∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线，
∴CM=BM=MD，
又AB=AC，AM=AM，
∴△AMB≌△AMC（SSS），
∴∠BAM=∠CAM，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAM=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCA=∠DCB-∠ACB=45°，
∴∠DCA=∠MAC，
∴AM∥CD，
又∵AM=DC，
∴四边形AMCD为平行四边形；
（2）解：如图：延长AM交BC于点E，
∵∠BAC=90°，∠BAM=∠CAM，
∴∠BAM=∠CAM=45°，
即AM是∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，点E为BC的中点，
∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，
∴ME是△BCD的中位线，
∴CD=2ME，
∵四边形AMCD为平行四边形，
∴AM=CD，
∴AM=2ME，
∴AE=AM+ME=3ME，
设AB=a，则，
∵点E为BC的中点，∠BAC=90°，
∴AE是Rt△ABC斜边BC的中线，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得CM=BM=MD；根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形得△AMB≌△AMC，由全等三角形的对应角相等得∠BAM=∠CAM；推得∠CAM=45°，根据等边对等角得∠ACB=∠ABC=45°；推得∠DCA=∠MAC；根据内错角相等，两直线平行可得AM∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）延长AM交BC于点E，根据等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高重合可推得点E为BC的中点，根据连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得CD=2ME，根据平行四边形的对边相等可推得AM=2ME，AE=3ME，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值，结合直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得BE的值，根据锐角三角函数的定义即可求解.
四、综合题
16．（2023八下·无为期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
17．（2023八下·历城期末）在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是 ；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）
（2）解： ，理由如下：
如图，连接，
由（1）同理可得： ，
由旋转得：，
，
，
在和中
，
（），
，
点M，N分别是和的中点，
，
（3）解： ①如图，当点E在线段上时，过点作于点
，
，，
，
在（1）中：点D，E是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
；
②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，
在中，，，
，
由①同理可求，
在中，，
，，
；
．
综上所述，或．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点D，E是边，的中点 ，
∴BD=AB，CE=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△DEC中， 点M，N分别是和的中点 ，
∴MN=CE=BD，
故答案为：MN=BD，
【分析】（1）根据线段的中点及AB=AC，可得BD=CE，利用三角形中位线定理可得MN=CE，即得MN=BD；
（2） 连接， 由（1）同理可得 ，根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE， 利用三角形中位线定理可得MN=CE，即得MN=BD；
（3） 分两种情况：①当点E在线段上时，②当点D在线段上时，据此分别画出图形，根据等腰直角三角形及勾股定理分别解答即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.3 三角形的中位线同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017八下·福清期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
2．（2023九下·沭阳月考）如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，在平行四边形中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
4．（2023九上·南宁开学考）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得，则池塘的宽度AB（ ）m.
A．40 B．20 C．10 D．15
5．（2023八下·石家庄期末）如图，的对角线，相交于点O，E是的中点，且，则的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
6．（2023八下·梁山期末）如图，中，，斜边，D为的中点，F是上一点，且，延长到E，使，连接，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．7 D．12
7．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22° D．23°
8．（2023八上·安岳期末）如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F.以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2023·荷塘模拟）如图，在中，，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若，则CD的长为 ．
10．（2023九上·开福开学考）如图，在等腰中，，过点作于点，为边的中点，连接．若，则的长为 ．
11．（2023九上·贵阳期中）如图，在中，，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线，交BC于点F．若，且的面积为，则BC的长是 ．
12．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
13．（2023八下·嵊州期末）如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是 ．（填上相应的序号即可）
三、解答题
14．（2022·乐山模拟）等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接CE，取CE中点G，连接BG，DG，探索BG，DG的关系．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点N，M是对角线BD的中点，连结AM，CM.已知AM=DC，AB⊥AC，且AB=AC.
（1）求证：四边形AMCD是平行四边形.
（2）求tan∠DBC的值.
四、综合题
16．（2023八下·无为期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
17．（2023八下·历城期末）在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是 ；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG= BC，
∴ED=FG= BC=2，
同理GD=EF= AO=1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出ED=FG、GD=EF的长，求出四边形DEFG的周长.
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为边的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：DE为△ABC的中位线，则BC=2DE，据此计算.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=10，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
∵EF⊥BD，∠ADB=90°，
∴EF∥AD，又EF是BD的垂直平分线，
∴点M是AB的中点，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点M是斜边AB的中点，
∴DM=BM=AM，
∴DM+BM=AM+BM=AB=10，
同理DN+BN=CD=10，
∴四边形DMBN的周长为DM+BM+BN+DN=20.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD=10，AD∥BC，∠DBC=∠ADB=90°，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AD，然后利用三角形中位线定理得点M是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DM=BM=AM，则DM+BM=AM+BM=AB=10，同理DN+BN=CD=10，据此就很容易求出四边形DMBN的中点了.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知：
∵M、N分别是OA、OB的中点
∴=20m
∴AB=40m
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质定理：一个三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边，由此可知=20m，可求AB=40m.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AE+EO=3，
∴2AE+2EO=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴OE=.
∴2OE=CD，
∴AD+CD=6，
∴的周长为 ：2（AD+CD）=2×6=12.
故答案为：C。
【分析】首先求得CD=2OE，从而得出AD+CD=6，从而得出的周长为12。
6．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵D为斜边AB的中点，
∴CD=
∵CF=，
∴DF=CD-CF=3，
∵AF=EF，
∴DF是△ABE的一条中位线，
∴BE=2DF=6.
故答案为：A。
【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，求得CD的长度，再根据可求得DF=3，然后根据三角形中位线的性质，可求得BE的长度。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G分别是边AB、CD、AC的中点，
∴EG、FG分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，
∴∠FGC=∠DAC，∠ACB=∠AGE，
∵∠DAC=20°，∠ACB=66°，AD=BC，
∴∠FGC=∠DAC=20°，∠ACB=∠AGE=66°，EG=FG，
∴∠EGC=180°-66°=114°，∠EFG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+114°=134°，
∴∠EFG=∠FEG=.
故答案为：D.
【分析】由三角形的中位线定理可得EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，结合已知并根据平行线的性质和三角形内角和定理可求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵P是的中点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确，
∵，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
只有当为的中位线时，，故④错误；
综上所述：正确的结论有①②③
故答案为：A.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，PA⊥BC，由等腰三角形的性质可得∠C=∠PAE，由同角的余角相等可得∠FPC=∠EPA，证明△EPA≌△FPC，据此判断①②；根据全等三角形的性质可得S△EPA=S△FPC，则S四边形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S就行PAF=S△APC，由高相等的两个三角形面积之比等于对应底边的比可得S△APC=S△ABC，据此判断③；只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，据此判断④.
9．【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10，
∵， 点D分别为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5，
故答案为：5.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出CD的长即可.
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，BC=8，
∴，
∴由勾股定理可得：，
∵E 为边的中点，
∴BE=AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再利用勾股定理求出AC=5，最后根据三角形的中位线计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，过点A作，垂足为点H，
D是AB的中点，
AD=BD，
，
AE=EC，
BF=HF，
的面积为，
解得：
【分析】过点A作，垂足为点H，利用已知条件求得AE=EC，求得再求得利用三角形面积公式得到进而得到求得，再利用勾股定理即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
13．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴EF、DE为△ABC的中位线，
∴EF∥BD，DE∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，故①正确；
∵AH⊥BC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴HE=AC，HF=AB.
∵EF、DE为△ABC的中位线，
∴DF=AC，DE=AB，
∴HE=DF，HF=DE，
∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；
∵EF∥BC，
∴S△DFH=S△DEH，
∴S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.
∵点D为BC的中点，EF∥BC，
∴S△BDF=S△DEC，
∴S△DFH+S△HEC=S△BDF，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由题意可得EF、DE为△ABC的中位线，则EF∥BD，DE∥AB，然后根据平行四边形的判定定理可判断①；根据中位线的性质可得DF=AC，DE=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得HE=AC，HF=AB，则HE=DF，HF=DE，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；易得S△BDF=S△DEC，S△DFH=S△DEH，则S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.，据此判断③.
14．【答案】解：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：
取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P．
∵M是AC的中点，G是CD的中点．
∴MG是三角形的中位线．
∴MG∥AE，MG＝AE．
∴∠CMG＝∠CAE．
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，AB＝BC．
∴BM＝AC．∠BMA＝90°．
同理可得GN∥AC，NG＝AC，∠DNA＝90°，∠ENG＝∠CAE，DN＝AE．
∴BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG．
∴∠AMG＝∠ANG．
∴∠BMG＝∠DNG．
∴△BMG≌△GND（SAS）．
∴BG＝DG，∠MGB＝∠GDN
∵MG∥AE．
∴∠MGD＝∠GPE．
∴∠MGB+∠BGD＝∠PND+∠GDN．
∴∠BGD＝∠AND＝90°，即BG⊥GD．
∴BG＝DG且BG⊥GD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】关系：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P；结合已知由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”可得MG∥AE，MG＝AE，GN∥AC，NG＝AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC，DN=AE，于是BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG，用边角边可证△BMG≌△GND，由全等三角形的性质可得BG＝DG，∠MGB＝∠GDN，结合平行线的性质易得∠BGD＝∠AND＝90°，再由垂线的定义可得BG⊥DG.
15．【答案】（1）证明：∵点M是BD的中点，∠BCD=90°，
∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线，
∴CM=BM=MD，
又AB=AC，AM=AM，
∴△AMB≌△AMC（SSS），
∴∠BAM=∠CAM，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAM=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCA=∠DCB-∠ACB=45°，
∴∠DCA=∠MAC，
∴AM∥CD，
又∵AM=DC，
∴四边形AMCD为平行四边形；
（2）解：如图：延长AM交BC于点E，
∵∠BAC=90°，∠BAM=∠CAM，
∴∠BAM=∠CAM=45°，
即AM是∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，点E为BC的中点，
∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，
∴ME是△BCD的中位线，
∴CD=2ME，
∵四边形AMCD为平行四边形，
∴AM=CD，
∴AM=2ME，
∴AE=AM+ME=3ME，
设AB=a，则，
∵点E为BC的中点，∠BAC=90°，
∴AE是Rt△ABC斜边BC的中线，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得CM=BM=MD；根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形得△AMB≌△AMC，由全等三角形的对应角相等得∠BAM=∠CAM；推得∠CAM=45°，根据等边对等角得∠ACB=∠ABC=45°；推得∠DCA=∠MAC；根据内错角相等，两直线平行可得AM∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）延长AM交BC于点E，根据等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高重合可推得点E为BC的中点，根据连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得CD=2ME，根据平行四边形的对边相等可推得AM=2ME，AE=3ME，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值，结合直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得BE的值，根据锐角三角函数的定义即可求解.
16．【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
17．【答案】（1）
（2）解： ，理由如下：
如图，连接，
由（1）同理可得： ，
由旋转得：，
，
，
在和中
，
（），
，
点M，N分别是和的中点，
，
（3）解： ①如图，当点E在线段上时，过点作于点
，
，，
，
在（1）中：点D，E是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
；
②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，
在中，，，
，
由①同理可求，
在中，，
，，
；
．
综上所述，或．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点D，E是边，的中点 ，
∴BD=AB，CE=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△DEC中， 点M，N分别是和的中点 ，
∴MN=CE=BD，
故答案为：MN=BD，
【分析】（1）根据线段的中点及AB=AC，可得BD=CE，利用三角形中位线定理可得MN=CE，即得MN=BD；
（2） 连接， 由（1）同理可得 ，根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE， 利用三角形中位线定理可得MN=CE，即得MN=BD；
（3） 分两种情况：①当点E在线段上时，②当点D在线段上时，据此分别画出图形，根据等腰直角三角形及勾股定理分别解答即可.
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