2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.4 矩形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024九上·锦江期末）关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
2．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
3．（2023九上·白银期中） 已知矩形的对角线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴BD=AC=4
故答案为：D
【分析】根据矩形的性质即可求出答案.
4．（2023八下·瓦房店期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB⊥BC，AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∴A、C、D选项正确，不符合题意，只有B选项错误，符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，即两邻边互相垂直可得出AB⊥BC，排除A；由矩形对边平行且相等，对角线相等且互相平分可得AC=BD，OA=OC排除C、D.
5．（2024·深圳模拟） 如图， 在矩形 ABCD 中， ， 对角线AC与BD相交于点 ， A E 垂直平分OB于点 E， 则 BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴AB=AO=OB=2，
∴AC=2×2=4
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，利用垂直平分线的性质求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
6．先将一张边长为a的正方形纸片按如图1所示的方式放置于长方形 ABCD内，再将长为 b(bb 的长方形纸片按如图2，3所示的两种方式放置，长方形 ABCD未被覆盖的部分用阴影表示，设图2 中阴影部分的面积为 S1，图3中阴影部分的面积为 S2，且S2-S1=2b，则AD-AB的值为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】利用面积的和差求出S1和S2，然后根据整式的混合运算求出两者之差，再根据S2-S1=2b，列出方程即可求解.
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，M 是边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，过点 M 作ME⊥AC 于点E，MF⊥BC 于点 F.若 P 是EF 的中点，则CP的最小值为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图
∵ME⊥AC ，MF⊥BC，
∴∠MEC=∠MFC=90°=∠ACB，
∴四边形EMFC是矩形，
延长CP交AB于点N，此时点M和点N重合，
∴CP=CM，
当CM⊥AB时，CM的长最短，
∴此时CP的长最小；
在Rt△ABC中
，
∵S△ABC=AC·BC=AB·MC，
∴5CM=3×4
解之：CM=2.4，
∴CP的最小值为1.2.
故答案为：A.
【分析】利用垂直的定义可证得∠MEC=∠MFC=90°=∠ACB，可证得四边形EMFC是矩形，延长CP交AB于点N，利用矩形的性质可证此时点M和点N重合，可得到CP=CM；当CM⊥AB时，CM的长最短，此时CP的长最小；利用勾股定理求出AB的长；利用直角三角形的两个面积公式求出CM的长，即可等等CP的最小值.
8．（2024九下·深圳开学考）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作圆弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则△AEC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∠B=∠BAD=90°，
∠BAC＝60°，
∠BCA＝30°，
根据作图可得AE平分∠BAC，
∠BAE＝∠CAE=30°，
∠EAC＝∠ECA=30°，
AE=CE，
过点E作EF⊥AC于点F，如图，
EF=BE=1，
EC=3-1=2，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，结合已知条件求得∠BCA＝30°，由作图可得AE平分∠BAC，从而得到∠BAE＝∠CAE=30°，利用等腰三角形的性质得到AE=CE，过点E作EF⊥AC于点F，得到EF=BE=1，求得由直角三角形的性质得到最后利用三角形面积公式即可得出结论.
二、填空题
9．（2023·石景山模拟） 如图，在矩形中，点，分别为，的中点，若，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD， ，在矩形中，AC=BD，
∵ 点，分别为，的中点 ，MN=5，
∴BD=2MN=10，
∴AC=BD=10，
故答案为：10.
【分析】根据三角形中位线定理可得BD=2MN=10，再利用矩形的性质可得AC=BD=10.
10．（2023八下·射阳月考）矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，AC＝6，则△ABO的周长为 ．
【答案】9
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
，
∴OA=OB=3，
，
，
是等边三角形，
∴AB=OA=3，
，
故答案为：9.
【分析】通过矩形的性质即可得到边及对角线的关系再找到等量关系.
11．（2024·湖南模拟）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形．
【答案】
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，同理，，进而得到，，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解。
12．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P 在对角线 BD上，且 BP=BA，连结 AP 并延长，交 DC的延长线于点Q，连结 BQ，则 BQ 的长为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，
∴，
∵BP=BA=5，
∴PD=BD-BP=13-5=8，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA
又∵∠BPA=∠DPQ，
∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DQP，
∴∠DPQ=∠DQP，
∴DQ=DP=8，
∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，
在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
；
故BQ的长为：.
【分析】根据矩形的对边相等，四个角是直角；结合直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和可求出BD=13，根据等角对等边，对顶角相等可得∠BAP=∠BPA=∠DPQ，；根据两直线平行，内错角相等可得∠DPQ=∠DQP，根据等角对等边可得DQ=DP=8，求得CQ=3，根据直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和可求出即可求得BQ的长.
13．如图，已知在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图：①以点 A 为圆心，BC长为半径作弧，以点 C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点 D；②连结 DA，DC，则四边形ABCD为 形，判定的依据是 .
【答案】矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD为矩形．
理由：∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩，有一个角是直角的四边形是矩形．
【分析】直接利用基本作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解答．
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
（1）求证：BE=DF.
（2）设当k为何值时，四边形DEBF是矩形 请说明理由.
【答案】（1）证明：连接DE、BF，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴，，
∴EO=FO，
∵BO=OD，EO=FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF.
（2）解：当k=2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD=EF时，四边形DEBF是矩形，
即OD=OE时，四边形DEBF是矩形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，OA=OC，
∴AC=2EF=2BD，
∴当k=2时，四边形DEBF是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；结合题意可得EO=FO，根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形BFDE是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等即可证明；
（2）根据矩形的对角线相等可得OD=OE时，四边形DEBF是矩形；结合题意即可求解.
15．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO=BO，∠ADB的平分线交AB于点E.
（1）求证： ABCD是矩形.
（2）若AB=8，OC=5，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OC=OB=OD，即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图：
∵四边形ABCD是矩形，OC=5，
∴∠BAD=90°，BD=AC=2OC=10，
在Rt△ABD中，AD=，
∵∠DAB=90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的平分线，EG⊥BD，
∴EG=EA，∠EGB=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）
∴AD=GD=6，
∴BG=BD-GD=10-6=4，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：
BE2=EG2+BG2，即（8-AE）2=AE2+42，
解得：AE=3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可得AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质可得AE=EG，由HL定理可证Rt△ADE≌Rt△GDE，则AD=DG，由线段的构成BG=BD-GD求出BG的值，在Rt△BEG中，由勾股定理可得关于AE的方程，解方程即可求解.
四、综合题
16．（2020·宁波模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形.
【答案】（1）证明：∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）.
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠B+∠C=180°.
∴∠B=∠C=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，由 BE=CF 得出BF=CE，再根据平行四边形的对边相等得出AB=DC，从而利用SSS判断出 △ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠C，根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠B+∠C=180°，从而即可得出∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论.
17．（2023·新疆）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：在与中，
∴，
∴，
又∵、分别是、的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再结合 、分别是、的中点，可得；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，可证出四边形是矩形．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.4 矩形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024九上·锦江期末）关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
2．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023九上·白银期中） 已知矩形的对角线，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·瓦房店期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·深圳模拟） 如图， 在矩形 ABCD 中， ， 对角线AC与BD相交于点 ， A E 垂直平分OB于点 E， 则 BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
6．先将一张边长为a的正方形纸片按如图1所示的方式放置于长方形 ABCD内，再将长为 b(bb 的长方形纸片按如图2，3所示的两种方式放置，长方形 ABCD未被覆盖的部分用阴影表示，设图2 中阴影部分的面积为 S1，图3中阴影部分的面积为 S2，且S2-S1=2b，则AD-AB的值为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，M 是边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，过点 M 作ME⊥AC 于点E，MF⊥BC 于点 F.若 P 是EF 的中点，则CP的最小值为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
8．（2024九下·深圳开学考）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作圆弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则△AEC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
9．（2023·石景山模拟） 如图，在矩形中，点，分别为，的中点，若，则的长为 ．
10．（2023八下·射阳月考）矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，AC＝6，则△ABO的周长为 ．
11．（2024·湖南模拟）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P 在对角线 BD上，且 BP=BA，连结 AP 并延长，交 DC的延长线于点Q，连结 BQ，则 BQ 的长为 .
13．如图，已知在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图：①以点 A 为圆心，BC长为半径作弧，以点 C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点 D；②连结 DA，DC，则四边形ABCD为 形，判定的依据是 .
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
（1）求证：BE=DF.
（2）设当k为何值时，四边形DEBF是矩形 请说明理由.
15．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO=BO，∠ADB的平分线交AB于点E.
（1）求证： ABCD是矩形.
（2）若AB=8，OC=5，求AE的长.
四、综合题
16．（2020·宁波模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形.
17．（2023·新疆）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴BD=AC=4
故答案为：D
【分析】根据矩形的性质即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB⊥BC，AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∴A、C、D选项正确，不符合题意，只有B选项错误，符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，即两邻边互相垂直可得出AB⊥BC，排除A；由矩形对边平行且相等，对角线相等且互相平分可得AC=BD，OA=OC排除C、D.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴AB=AO=OB=2，
∴AC=2×2=4
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，利用垂直平分线的性质求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
6．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】利用面积的和差求出S1和S2，然后根据整式的混合运算求出两者之差，再根据S2-S1=2b，列出方程即可求解.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图
∵ME⊥AC ，MF⊥BC，
∴∠MEC=∠MFC=90°=∠ACB，
∴四边形EMFC是矩形，
延长CP交AB于点N，此时点M和点N重合，
∴CP=CM，
当CM⊥AB时，CM的长最短，
∴此时CP的长最小；
在Rt△ABC中
，
∵S△ABC=AC·BC=AB·MC，
∴5CM=3×4
解之：CM=2.4，
∴CP的最小值为1.2.
故答案为：A.
【分析】利用垂直的定义可证得∠MEC=∠MFC=90°=∠ACB，可证得四边形EMFC是矩形，延长CP交AB于点N，利用矩形的性质可证此时点M和点N重合，可得到CP=CM；当CM⊥AB时，CM的长最短，此时CP的长最小；利用勾股定理求出AB的长；利用直角三角形的两个面积公式求出CM的长，即可等等CP的最小值.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∠B=∠BAD=90°，
∠BAC＝60°，
∠BCA＝30°，
根据作图可得AE平分∠BAC，
∠BAE＝∠CAE=30°，
∠EAC＝∠ECA=30°，
AE=CE，
过点E作EF⊥AC于点F，如图，
EF=BE=1，
EC=3-1=2，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，结合已知条件求得∠BCA＝30°，由作图可得AE平分∠BAC，从而得到∠BAE＝∠CAE=30°，利用等腰三角形的性质得到AE=CE，过点E作EF⊥AC于点F，得到EF=BE=1，求得由直角三角形的性质得到最后利用三角形面积公式即可得出结论.
9．【答案】10
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD， ，在矩形中，AC=BD，
∵ 点，分别为，的中点 ，MN=5，
∴BD=2MN=10，
∴AC=BD=10，
故答案为：10.
【分析】根据三角形中位线定理可得BD=2MN=10，再利用矩形的性质可得AC=BD=10.
10．【答案】9
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
，
∴OA=OB=3，
，
，
是等边三角形，
∴AB=OA=3，
，
故答案为：9.
【分析】通过矩形的性质即可得到边及对角线的关系再找到等量关系.
11．【答案】
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，同理，，进而得到，，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，
∴，
∵BP=BA=5，
∴PD=BD-BP=13-5=8，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA
又∵∠BPA=∠DPQ，
∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DQP，
∴∠DPQ=∠DQP，
∴DQ=DP=8，
∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，
在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
；
故BQ的长为：.
【分析】根据矩形的对边相等，四个角是直角；结合直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和可求出BD=13，根据等角对等边，对顶角相等可得∠BAP=∠BPA=∠DPQ，；根据两直线平行，内错角相等可得∠DPQ=∠DQP，根据等角对等边可得DQ=DP=8，求得CQ=3，根据直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和可求出即可求得BQ的长.
13．【答案】矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD为矩形．
理由：∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩，有一个角是直角的四边形是矩形．
【分析】直接利用基本作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解答．
14．【答案】（1）证明：连接DE、BF，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴，，
∴EO=FO，
∵BO=OD，EO=FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF.
（2）解：当k=2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD=EF时，四边形DEBF是矩形，
即OD=OE时，四边形DEBF是矩形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，OA=OC，
∴AC=2EF=2BD，
∴当k=2时，四边形DEBF是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；结合题意可得EO=FO，根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形BFDE是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等即可证明；
（2）根据矩形的对角线相等可得OD=OE时，四边形DEBF是矩形；结合题意即可求解.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OC=OB=OD，即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图：
∵四边形ABCD是矩形，OC=5，
∴∠BAD=90°，BD=AC=2OC=10，
在Rt△ABD中，AD=，
∵∠DAB=90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的平分线，EG⊥BD，
∴EG=EA，∠EGB=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）
∴AD=GD=6，
∴BG=BD-GD=10-6=4，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：
BE2=EG2+BG2，即（8-AE）2=AE2+42，
解得：AE=3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可得AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质可得AE=EG，由HL定理可证Rt△ADE≌Rt△GDE，则AD=DG，由线段的构成BG=BD-GD求出BG的值，在Rt△BEG中，由勾股定理可得关于AE的方程，解方程即可求解.
16．【答案】（1）证明：∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）.
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠B+∠C=180°.
∴∠B=∠C=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，由 BE=CF 得出BF=CE，再根据平行四边形的对边相等得出AB=DC，从而利用SSS判断出 △ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠C，根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠B+∠C=180°，从而即可得出∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论.
17．【答案】（1）证明：在与中，
∴，
∴，
又∵、分别是、的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再结合 、分别是、的中点，可得；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，可证出四边形是矩形．
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