2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.4 矩形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024九上·锦江期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，BD=4，
所以AC=BD=4，AO=AC=2，
因为，，
所以，
所以，AE=EO，
即
得出AE=，
故答案为：B.
【分析】先由对角线相等，结合等边对等角，得出，结合直角三角形两个锐角互余，得出，故，AE=EO，根据勾股定理列式计算，即可得出答案.
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的四边形是矩形是错误的，符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定进行判断即可解答.
3．如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点О，下列说法正确的是（ ）
A．点О为矩形ABCD的对称中心 B．点О为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴
【答案】A
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意；
线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意；
矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过每一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；
过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，逐项判断即可解答．
4．（2023九上·青羊月考）如图，矩形的两对角线相交于点，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵ 矩形ABCD
∴ AO=OB=OC
∵ ∠AOB=60°
∴ AB=AO=
设AB=x，则AC=2x
∴ x2+32=（2x）2
解得x=
∴
故答案为A
【分析】本题考查矩形的性质，对角线互相平分且相等，可得三角形AOB为等腰三角形，结合∠AOB，可得AB=，根据勾股定理可得AB长，计算面积即可。
5．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．20 C．35 D．40
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，由图可知 ，那么 ，
所以 ，同理， ，则 ，
故答案为：C.
【分析】连接EF，易证△EFG的面积与△ABG的面积相等，△EFH的面积与△DCH的面积相等，因此可得出阴影部分的面积=△ABG的面积+△DCH的面积，即可解答。
6．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （ ）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
7．（2023九上·深圳月考）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（ ）
A．(1，) B．（2，0） C．(1，-) D．(，-1)
【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABOC为矩形， 对角线交点为P，
∴AP = OP，即点P为OA的中点.
∵O（0，0），A（－2，2），
∴点P的坐标为（－，1）.
∵若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴点P的坐标每4次为一个循环.
∵74÷4=18......2，
∴第74次旋转后的点P74与点2次旋转后的点P2重合.
∵当P旋转2次，即旋转180°时，P与P2关于原点对称，
∴点P2的坐标为（，-1）.
∴第74次旋转后点P的落点坐标为（，-1）.
故答案为：D.
【分析】首先根据矩形的性质和中点坐标的性质，得点P的坐标，然后根据旋转的性质，判断循环数，进而得到第74次旋转后点P的落点坐标与点P2重合，最后根据P与P2关于原点对称，即可得到结
8．（2023八下·秀山期末）如图，正方形边长为20，点P为正方形对角线上任一点，过点P作于点E，作于点F，连接．给出以下4个结论：①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBP，AB=CB，∠BCD=90°，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴AP=CP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=CP，
∴AP=EF；
故①正确；
由①知△ABP≌△CBP，
∴S△ABP=S△CBP，
∵S△CBP=S△BEP+S△CEP，S△CEP=S△FEP，
∴S△ABP=S△BEP+S△FEP，
∴S△ABP=S四边形BPFE；
故②正确；
当AP⊥BD时，AP的值最小，此时AP=，
∵AP=EF，
∴AP+EF的最小值是；
故③不正确；
延长FP交AB于点H，
在Rt△PAH中，∠BAP=60°，∠AHP=90°，
∴∠HPA=30°，
∴AP=2AH，
设AH=x，则AP=2x，
∴HP=，
∵∠PBH=45°，∠BHP=90°，
∴∠HPB=45°，
∴BH=HP=，
∵AH+BH=AB，
∴x+=20，
∴，
∴，
∴，
故④正确。
所以正确的个数为：3个。
故答案为：C.
【分析】连接CP，根据SAS证明△ABP≌△CBP，可得AP=CP，又知四边形FPEC是矩形，CP=EF，故而得到AP=EF，①正确；由①知△ABP≌△CBP，故而得到S△ABP=S△CBP，S△CBP=S△BEP+S△CEP，S△CEP=S△FEP，故而得出S△ABP=S四边形BPFE，②正确；当AP⊥BD时，AP的值最小，此时AP=，故而得到AP+EF的最小值是，③不正确；在Rt△PAH中，根据含30°锐角的直角三角形的性质，设AH=x，则AP=2x，HP=，又根据等腰Rt△PBH，得到BH=，然后根据AH+BH=AB，得出x+=20，求得x的值，进一步求出AP的长，进一步得出EF的长，即可判断④正确。故而得出答案。
二、填空题
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AD=6，
，，
，
，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质证得，，再通过AAS判定得到BF=AE，然后利用勾股定理求得BF的长度.
10．（2023九上·平遥月考）如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB＝6，∠ABD＝60°，则点D的坐标 ．
【答案】（9，0）
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-60°=30°，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=180°-60°-90°=30°，
∵AB=6，
∴BD=2AB=2×6=12，BO=AB=×6=3，
∴OD=BD-BO=12-3=9，
∴点D的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）.
【分析】先利用角的运算求出∠ADB=∠BAO=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BD和BO的长，利用线段的和差求出OD的长，可得点D的坐标即可.
11．（2023九上·龙湾开学考）如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型如图，过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域，形成一幅装饰画，则矩形的周长为 若点，，在同一直线上，且点到的距离与到的距离相等，则印章区域的边长为 ．
【答案】；
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由图1可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为，然后，最小的直角边长为，正方形和平行四边形的短边长都是
过点作和的垂线，垂足分别为，则
又且是等腰直角三角形，所以，故
又，所以四边形是矩形，所以
又知，所以，故矩形的周长为：
延长经过点与交于点，连接
因为，且，所以
又因点到和的距离相等，所以点在的角平分线上
则，所以，所以
又，所以四边形是平行四边形.
又，
所以，
所以
则
故答案为：.
【分析】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的判定，解答此问题关键是作出辅助线，利用几何关系找出对边和对角，进而对相关图形的判定，使用相关图形的性质可实现对本题的求解.
12．（2023九下·灌南期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，
又∵BE=BM，
∴∠BME=45°，
∵∠AME+∠BME=180°，∠FNC+∠FNE=180°，
∴∠AME=∠ENF=135°，
∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEN=90°，
∴∠BAE=∠FEN，
又AE=EF，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，
∴AM+BM=EN+BE，即BN=AB=4，
∴CN=BC-BN=2，
∴点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，
由勾股定理得最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，由矩形性质得∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，由等腰直角三角形的性质得∠BME=45°，然后由等角的补角相等得∠AME=∠ENF，再由同角的余角相等得∠BAE=∠FEN，从而用AAS判断出△AME≌△ENF，则AM=EN，进而根据线段的和差可得BN=AB=4，CN=2，所以点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，最后由勾股定理即可算出答案.
13．（2023七下·吴江期末）如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t= 秒．
【答案】2或6
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）当点F由点B向点C运动时，
∵四边形ABCD为矩形，AB=8cm，AD=12cm，∠B=∠C=90°，
∴BC=AD=12cm，CD=AB=8cm，
由于以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，BE=3cm，
可以下两种情况：
①当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF=3t，
∵BF=CF，BC=12cm，
∴3t=6，解得t=2（秒）；
②当△BEF≌△CFG时，BE=CF=3cm，BF=CG，
∴3t=12-3，解得t=3，
∴BF=3t=9(cm)，
∵CD=8cm，CG=BF=9cm，
∴CG＞CD，故不存在这种情况；
（2）当点F折返时，又有以下两种情况：
①当△BEF≌△CFG时，
BE=CF=3cm，BF=CG，
由（1）②可知：这种情况不存在；
②当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF，
由（1）①可知：CF=6m，
∴点F运动的路程为：BC+CF=12+6=18（cm），
∴3t=18，解得t=6（秒）．
综上所述：若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t为2秒或6秒．
故答案为：2或6.
【分析】分“点F由点B向点C运动”和“点F折返”两种情况讨论；当点F由点B向点C运动时，可分“△BEF≌△CGF”和“△BEF≌△CFG”情况；当点F折返时，又可分“△BEF≌△CFG”和“△BEF≌△CGF”两种情况，分别根据全等三角形的对应边相等建立方程，求解并判断可得答案.
三、解答题
14．如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点 E在四边形ABCD 外，连结 AE，BE，CE，DE，∠AEC =∠BED=90°，求证：四边 形 ABCD 是矩形.
【答案】证明：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【知识点】矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接EO，先根据O为BD和AC的中点，可得AO＝CO，BO＝DO，从而得出四边形ABCD是平行四边形，然后再根据直角三角形的性质可得EOAC，EOBD，从而得到AC＝BD，即可解答．
15．（2023九上·朝阳期中）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（3）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1）解：过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：
∵点A（6，0），点B（0，8）．
∴OA＝6，OB＝8，
∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，
∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，
在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，
∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，
∴点D的坐标为（6﹣3，3）；
（2）解：过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：
则GA＝DH，HA＝DG，
∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，
∴AE＝＝＝10，
∵AE×DH＝AD×DE，
∴，
∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，，
∴点D的坐标为；
（3）解：点E的坐标为（12，8）．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：
由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，
∴∠AOC＝∠ADO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴AE∥OC，
∴∠GAE＝∠AOD，
∴∠DAE＝∠GAE，
在△AEG和△AED中，，
∴△AEG≌△AED（AAS），
∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，
∴OG＝OA+AG＝12，
∴点E的坐标为（12，8）．
【分析】（1）过点作轴，根据旋转的性质可得，然根据含30度角的直角三角形的性质勾股定，求出的长，即可求得点的坐标；
（2）过点D作轴于G，于H，则，勾股定理求出的长，根据等面积法求出，进而求出，然后勾股定理求出，即可求得点的坐标；
（3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，根据平行线的性质等边对等角证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
四、综合题
16．（2019·云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
【答案】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.
∴∠OAD＝∠ADO.
∴AO＝OD.
又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
（2）证明：设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°
∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，
∴∠ODC=3×18°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形由 AO＝OC，BO＝OD， 得出四边形ABCD是平行四边形， 根据三角形外角定理及 ∠AOB＝2∠OAD 得出 ∠OAD＝∠ADO，根据等角对等边得出 AO＝OD ，进而即可推出 AC＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论： 四边形ABCD是矩形 ；
（2） 设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x， 根据三角形的内角和及对顶角相等列出方程，求解算出x的值，从而∠ ODC ，再根据矩形的四个角都是直角及角的和差即可算出答案。
17．（2023·修文模拟）
（1）【阅读理解】如图，在中，，是斜边上的中线试判断与的数量关系解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，易证四边形是矩形，得到，即可作出判断则与的数量关系为 ；
（2）【问题探究】如图，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有若，求的长度；
（3）【拓展延伸】如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点所经过的路径长是多少？
【答案】（1）
（2）解：如图中，设交于点．
，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：过点作，，如图，
，，
．
是边中点，
，
同理：，
，
．
四边形为正方形，
．
，
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
为等腰直角三角形，
当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线，
即所经过的路径为，
，，
，
的中点所经过的路径长为．
【知识点】全等三角形的应用；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：(1) CD =AB ，理由如下：
延长 CD 到 E，使 DE=CD，连接 AE ， BE ，则
CD =
∵ CD 是斜边 AB上的中线，
∴ AD=BD ，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE = AB ，
∴CD=AB
故答案为：CD=AB.
【分析】 （1） 延长 CD到E，使 DE = CD，连接 AE ， BE ，则 CD =CE，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2） 如图2中，设 CE 交 AB 于点 O.证明 CO = OE，可得结论；
（3） 过点 D 作 DG ⊥ AC ， DH⊥BC，如图，证明四边形DGCH为正方形，再证明△EDG△ FDH (ASA )．推出 DE = DF .△EDF 为等腰直角三角形，可得结论．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.4 矩形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024九上·锦江期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3．如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点О，下列说法正确的是（ ）
A．点О为矩形ABCD的对称中心 B．点О为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴
4．（2023九上·青羊月考）如图，矩形的两对角线相交于点，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．20 C．35 D．40
6．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （ ）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
7．（2023九上·深圳月考）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（ ）
A．(1，) B．（2，0） C．(1，-) D．(，-1)
8．（2023八下·秀山期末）如图，正方形边长为20，点P为正方形对角线上任一点，过点P作于点E，作于点F，连接．给出以下4个结论：①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 .
10．（2023九上·平遥月考）如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB＝6，∠ABD＝60°，则点D的坐标 ．
11．（2023九上·龙湾开学考）如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型如图，过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域，形成一幅装饰画，则矩形的周长为 若点，，在同一直线上，且点到的距离与到的距离相等，则印章区域的边长为 ．
12．（2023九下·灌南期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为 ．
13．（2023七下·吴江期末）如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t= 秒．
三、解答题
14．如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点 E在四边形ABCD 外，连结 AE，BE，CE，DE，∠AEC =∠BED=90°，求证：四边 形 ABCD 是矩形.
15．（2023九上·朝阳期中）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（3）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
四、综合题
16．（2019·云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
17．（2023·修文模拟）
（1）【阅读理解】如图，在中，，是斜边上的中线试判断与的数量关系解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，易证四边形是矩形，得到，即可作出判断则与的数量关系为 ；
（2）【问题探究】如图，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有若，求的长度；
（3）【拓展延伸】如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点所经过的路径长是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，BD=4，
所以AC=BD=4，AO=AC=2，
因为，，
所以，
所以，AE=EO，
即
得出AE=，
故答案为：B.
【分析】先由对角线相等，结合等边对等角，得出，结合直角三角形两个锐角互余，得出，故，AE=EO，根据勾股定理列式计算，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的四边形是矩形是错误的，符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定进行判断即可解答.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意；
线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意；
矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过每一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；
过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，逐项判断即可解答．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵ 矩形ABCD
∴ AO=OB=OC
∵ ∠AOB=60°
∴ AB=AO=
设AB=x，则AC=2x
∴ x2+32=（2x）2
解得x=
∴
故答案为A
【分析】本题考查矩形的性质，对角线互相平分且相等，可得三角形AOB为等腰三角形，结合∠AOB，可得AB=，根据勾股定理可得AB长，计算面积即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，由图可知 ，那么 ，
所以 ，同理， ，则 ，
故答案为：C.
【分析】连接EF，易证△EFG的面积与△ABG的面积相等，△EFH的面积与△DCH的面积相等，因此可得出阴影部分的面积=△ABG的面积+△DCH的面积，即可解答。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABOC为矩形， 对角线交点为P，
∴AP = OP，即点P为OA的中点.
∵O（0，0），A（－2，2），
∴点P的坐标为（－，1）.
∵若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴点P的坐标每4次为一个循环.
∵74÷4=18......2，
∴第74次旋转后的点P74与点2次旋转后的点P2重合.
∵当P旋转2次，即旋转180°时，P与P2关于原点对称，
∴点P2的坐标为（，-1）.
∴第74次旋转后点P的落点坐标为（，-1）.
故答案为：D.
【分析】首先根据矩形的性质和中点坐标的性质，得点P的坐标，然后根据旋转的性质，判断循环数，进而得到第74次旋转后点P的落点坐标与点P2重合，最后根据P与P2关于原点对称，即可得到结
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBP，AB=CB，∠BCD=90°，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴AP=CP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=CP，
∴AP=EF；
故①正确；
由①知△ABP≌△CBP，
∴S△ABP=S△CBP，
∵S△CBP=S△BEP+S△CEP，S△CEP=S△FEP，
∴S△ABP=S△BEP+S△FEP，
∴S△ABP=S四边形BPFE；
故②正确；
当AP⊥BD时，AP的值最小，此时AP=，
∵AP=EF，
∴AP+EF的最小值是；
故③不正确；
延长FP交AB于点H，
在Rt△PAH中，∠BAP=60°，∠AHP=90°，
∴∠HPA=30°，
∴AP=2AH，
设AH=x，则AP=2x，
∴HP=，
∵∠PBH=45°，∠BHP=90°，
∴∠HPB=45°，
∴BH=HP=，
∵AH+BH=AB，
∴x+=20，
∴，
∴，
∴，
故④正确。
所以正确的个数为：3个。
故答案为：C.
【分析】连接CP，根据SAS证明△ABP≌△CBP，可得AP=CP，又知四边形FPEC是矩形，CP=EF，故而得到AP=EF，①正确；由①知△ABP≌△CBP，故而得到S△ABP=S△CBP，S△CBP=S△BEP+S△CEP，S△CEP=S△FEP，故而得出S△ABP=S四边形BPFE，②正确；当AP⊥BD时，AP的值最小，此时AP=，故而得到AP+EF的最小值是，③不正确；在Rt△PAH中，根据含30°锐角的直角三角形的性质，设AH=x，则AP=2x，HP=，又根据等腰Rt△PBH，得到BH=，然后根据AH+BH=AB，得出x+=20，求得x的值，进一步求出AP的长，进一步得出EF的长，即可判断④正确。故而得出答案。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AD=6，
，，
，
，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质证得，，再通过AAS判定得到BF=AE，然后利用勾股定理求得BF的长度.
10．【答案】（9，0）
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-60°=30°，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=180°-60°-90°=30°，
∵AB=6，
∴BD=2AB=2×6=12，BO=AB=×6=3，
∴OD=BD-BO=12-3=9，
∴点D的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）.
【分析】先利用角的运算求出∠ADB=∠BAO=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BD和BO的长，利用线段的和差求出OD的长，可得点D的坐标即可.
11．【答案】；
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由图1可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为，然后，最小的直角边长为，正方形和平行四边形的短边长都是
过点作和的垂线，垂足分别为，则
又且是等腰直角三角形，所以，故
又，所以四边形是矩形，所以
又知，所以，故矩形的周长为：
延长经过点与交于点，连接
因为，且，所以
又因点到和的距离相等，所以点在的角平分线上
则，所以，所以
又，所以四边形是平行四边形.
又，
所以，
所以
则
故答案为：.
【分析】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的判定，解答此问题关键是作出辅助线，利用几何关系找出对边和对角，进而对相关图形的判定，使用相关图形的性质可实现对本题的求解.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，
又∵BE=BM，
∴∠BME=45°，
∵∠AME+∠BME=180°，∠FNC+∠FNE=180°，
∴∠AME=∠ENF=135°，
∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEN=90°，
∴∠BAE=∠FEN，
又AE=EF，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，
∴AM+BM=EN+BE，即BN=AB=4，
∴CN=BC-BN=2，
∴点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，
由勾股定理得最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，由矩形性质得∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，由等腰直角三角形的性质得∠BME=45°，然后由等角的补角相等得∠AME=∠ENF，再由同角的余角相等得∠BAE=∠FEN，从而用AAS判断出△AME≌△ENF，则AM=EN，进而根据线段的和差可得BN=AB=4，CN=2，所以点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，最后由勾股定理即可算出答案.
13．【答案】2或6
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）当点F由点B向点C运动时，
∵四边形ABCD为矩形，AB=8cm，AD=12cm，∠B=∠C=90°，
∴BC=AD=12cm，CD=AB=8cm，
由于以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，BE=3cm，
可以下两种情况：
①当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF=3t，
∵BF=CF，BC=12cm，
∴3t=6，解得t=2（秒）；
②当△BEF≌△CFG时，BE=CF=3cm，BF=CG，
∴3t=12-3，解得t=3，
∴BF=3t=9(cm)，
∵CD=8cm，CG=BF=9cm，
∴CG＞CD，故不存在这种情况；
（2）当点F折返时，又有以下两种情况：
①当△BEF≌△CFG时，
BE=CF=3cm，BF=CG，
由（1）②可知：这种情况不存在；
②当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF，
由（1）①可知：CF=6m，
∴点F运动的路程为：BC+CF=12+6=18（cm），
∴3t=18，解得t=6（秒）．
综上所述：若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t为2秒或6秒．
故答案为：2或6.
【分析】分“点F由点B向点C运动”和“点F折返”两种情况讨论；当点F由点B向点C运动时，可分“△BEF≌△CGF”和“△BEF≌△CFG”情况；当点F折返时，又可分“△BEF≌△CFG”和“△BEF≌△CGF”两种情况，分别根据全等三角形的对应边相等建立方程，求解并判断可得答案.
14．【答案】证明：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【知识点】矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接EO，先根据O为BD和AC的中点，可得AO＝CO，BO＝DO，从而得出四边形ABCD是平行四边形，然后再根据直角三角形的性质可得EOAC，EOBD，从而得到AC＝BD，即可解答．
15．【答案】（1）解：过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：
∵点A（6，0），点B（0，8）．
∴OA＝6，OB＝8，
∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，
∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，
在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，
∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，
∴点D的坐标为（6﹣3，3）；
（2）解：过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：
则GA＝DH，HA＝DG，
∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，
∴AE＝＝＝10，
∵AE×DH＝AD×DE，
∴，
∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，，
∴点D的坐标为；
（3）解：点E的坐标为（12，8）．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：
由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，
∴∠AOC＝∠ADO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴AE∥OC，
∴∠GAE＝∠AOD，
∴∠DAE＝∠GAE，
在△AEG和△AED中，，
∴△AEG≌△AED（AAS），
∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，
∴OG＝OA+AG＝12，
∴点E的坐标为（12，8）．
【分析】（1）过点作轴，根据旋转的性质可得，然根据含30度角的直角三角形的性质勾股定，求出的长，即可求得点的坐标；
（2）过点D作轴于G，于H，则，勾股定理求出的长，根据等面积法求出，进而求出，然后勾股定理求出，即可求得点的坐标；
（3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，根据平行线的性质等边对等角证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
16．【答案】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.
∴∠OAD＝∠ADO.
∴AO＝OD.
又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
（2）证明：设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°
∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，
∴∠ODC=3×18°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形由 AO＝OC，BO＝OD， 得出四边形ABCD是平行四边形， 根据三角形外角定理及 ∠AOB＝2∠OAD 得出 ∠OAD＝∠ADO，根据等角对等边得出 AO＝OD ，进而即可推出 AC＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论： 四边形ABCD是矩形 ；
（2） 设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x， 根据三角形的内角和及对顶角相等列出方程，求解算出x的值，从而∠ ODC ，再根据矩形的四个角都是直角及角的和差即可算出答案。
17．【答案】（1）
（2）解：如图中，设交于点．
，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：过点作，，如图，
，，
．
是边中点，
，
同理：，
，
．
四边形为正方形，
．
，
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
为等腰直角三角形，
当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线，
即所经过的路径为，
，，
，
的中点所经过的路径长为．
【知识点】全等三角形的应用；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：(1) CD =AB ，理由如下：
延长 CD 到 E，使 DE=CD，连接 AE ， BE ，则
CD =
∵ CD 是斜边 AB上的中线，
∴ AD=BD ，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE = AB ，
∴CD=AB
故答案为：CD=AB.
【分析】 （1） 延长 CD到E，使 DE = CD，连接 AE ， BE ，则 CD =CE，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2） 如图2中，设 CE 交 AB 于点 O.证明 CO = OE，可得结论；
（3） 过点 D 作 DG ⊥ AC ， DH⊥BC，如图，证明四边形DGCH为正方形，再证明△EDG△ FDH (ASA )．推出 DE = DF .△EDF 为等腰直角三角形，可得结论．
1 / 1
