2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.5 菱形同步分层训练基础题
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
2．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③∠ABD=∠CBD；④AC⊥BD. 从中选一个条件作为补充，能使□ABCD变为菱形的是 （ ）
A．① B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形，①正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，②不符合题意；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，③正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④正确；
∴满足条件的有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐项判断得出答案.
3．（2023九上·市南区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．28
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F分别是AB、BC边上的中点
∴EF是△ABC的中位线，AC=2EF=；
在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分，
∴AO=AC=，BO=BD=2；
在直角三角形ABO中有，
；
∴菱形ABCD的周长为.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质，确定对角线互相平分垂直，而E、F分别是AB、BC边上的中点即可确定EF是△ABC的中位线，由此可得出对角线的长度，那么就可以在直角三角形ABO中用勾股定理求出菱形一边的长度，进而求出菱形的周长。
4．（2023·江油模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，即，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由直角三角形斜边上中线的性质可得BD=2OH=6，由OA=4可得AC=8，根据勾股定理求出AB的值，然后根据菱形的面积公式就可求出DH的值.
5．（2023·湘潭）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，
∴=70°，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质结合平行线的性质即可得到∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，进而结合题意即可求解。
6．（2024九上·贵阳期末）已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在菱形ABCD中，AB=13cm，AC=10cm，
∴∠AOB=90°，OA=5cm，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相平分求出∠AOB=90°，OA=5cm，再利用勾股定理求出OB的值，最后根据三角形和菱形的面积公式计算求解即可。
7．（2024九上·都江堰期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，则对角线的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】∵在菱形中，对角线与相交于点，，
∴∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=CD=BC=4，∠DAC=∠BAD=30°，
在Rt△ADO中，cos∠DAO=，
∴AO=AD×cos∠DAO=4×cos30°=，
∴AC=2AO=，
故答案为：A.
【分析】先求出AB=AD=CD=BC=4，∠DAC=∠BAD=30°，再结合cos∠DAO=，求出AO的长，最后利用菱形的性质可得AC=2AO=.
8．如图 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD=4OE.③四边形AECF是菱形④其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC；故结论正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，AD=BC，
∵点E为BC的中点，
∴OE∥AB，BC=2CE，
由①得：AB⊥AC，
∴OE⊥AC，则∠EOC=90°，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=CE，
由①得：∠ECA=30°，
∴BC=2AB，
∴AD=BC=4OE，故结论正确；
③在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB⊥AC，E为BC中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故结论正确；
④在平行四边形ABCD中，AO=CO，
∵点E为BC中点，
∴S△BOE=S△BOC=S△ABC，故结论正确.
故答案为：A.
【分析】①由题意易得△ABE是等边三角形，然后根据角的构成∠BAC=∠BAE+∠EAC可求解；
②由三角形的中位线定理可得OE∥AB，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得OE=CE，AB=BC，于是AD=BC=4OE；
③由平行四边形的性质并结合已知用角边角可证△AOF≌△COE，则AF=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AECF是菱形；
④根据线段中点的定义并结合等底等高的两个三角形的面积相等可求解.
二、填空题
9．如图，菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边中点E到对角线交点O的距离为 .cm.
【答案】2
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD的周长16cm
∴BC=16÷4=4cm
∵O和E分别是AC和AB的中点
∴OE==2cm
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四边相等，已知周长，可求出菱形的边长；根据菱形的对角线互相平分可得点O事AC的中点，再根据三角形的中线定理，可得OE的长.
10．（2023八下·长沙期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，点是的中点，连接，则的长度为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CO=8，DO=6，DB⊥CA，
由勾股定理得，
∵点是的中点，
∴OE=5，
故答案为：5
【分析】先根据菱形的性质得到CO=8，DO=6，DB⊥CA，进而根据勾股定理即可求出DC，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解。
11．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm
【答案】12
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O：
根据题意可知AD∥BC，AB=BC=CD=DA=10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=8，
又∵AB∥CD，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在Rt△AOB中，AB=10，OA=8，
∴OB=OD=6，
∴BD=2OB=12，
∴EG=BD=12；
故答案为：12．
【分析】根据中位线的性质可以得知EF∥BD，所以可知四边形BDEG是平行四边形，则EG的长度就是BD的长度，通过勾股定理可求出.
12．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM= cm；当α最小时，重叠部分的面积为 cm .
【答案】4-2 ；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=,
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
13．（2023九上·泗县月考）如图，在菱形中，对角线相交于点于点E，连接．若，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴OA=OC，AC⊥BD，OB=OD=4
∵，OE=3，
∴AO=OC=OE=3，
∴AB==5.
故答案为：5.
【分析】由菱形的性质可得OA=OC，AC⊥BD，OB=OD=4，利用直角三角形斜边中线的性质可得AO=OC=OE=3，再利用勾股定理求出AB的长即可.
三、解答题
14．（2024八上·黔西南期末）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，．
（1）求证：；
（2）求四边形草坪造型的面积．
【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）解：过点作于点，
米，，
米，
（平方米），
则（平方米），
草坪造型的面积为：（平方米）．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用SSS即可证明 ；
（2） 过点作于点， 根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求得AE=2米，再利用三角形的面积公式求得 （平方米），从而求解.
15．（2024九下·福田开学考）如图，中，，分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．
（1）求证：：
（2）在中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．
【答案】（1）证明：∵由作图可知MN垂直平分线段BC，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在△AOB和△EOC中，
，
，
.
（2）解：可以，添加．
理由：由（1）可知，，
四边形ABEC是平行四边形，
∵，，
△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
平行四边形ABEC是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据作图得MN是线段BC的垂直平分线可以得到OB=OC，由平行四边形ABCD可以得AB=CD，AB//CD. 只要证明AB=EC，就可以得结论。这里AB和EC分别在△AOB和△EOC中，证明这两个三角形全等即可.
（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 由第一问得AB=EC，AB//EC，可以得四边形ABEC是平行四边形，当AB=BC时，根据∠ABC=∠D=60°，得△ABC是等边三角形，从而AB=AC，于是平行四边形ABEC满足一组邻边相等，它就是菱形了.
四、综合题
16．（2019·枣庄）如图， 是菱形 的对角线， ，
（1）请用尺规作图法，作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．
【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）、根据尺规作图法结合题意作出图形
（2）、首先根据菱形的性质可求出∠ABD＝∠DBC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，再根据平行线的性质可得到∠C＝∠A＝30°，最后根据垂直平分线的性质可得到AF＝FB，从而可计算得出答案
17．（2022八下·泉州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO.
∵MN是BD的垂直平分线
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON.
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形.
（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x.
在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5.即MB＝5，
∴菱形BMDN的周长为5×4＝20.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝4 ，
∴ .
在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝ ＝ ＝ ，
由（1）得：OM＝ON，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）证明△DMO≌△BNO（AAS），可得OM＝ON，结合OB=OD，可证四边形BMDN是平行四边形，结合MN⊥BD，可证四边形BMDN是菱形；
（2）设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x，在Rt△AMB中，由勾股定理建立关于x方程并解之，可得MB的长，从而求出菱形的周长； 在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD=4 ，可得， 在Rt△BOM中，由勾股定理求出OM的长，由MN=2OM即可得解.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.5 菱形同步分层训练基础题
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
2．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③∠ABD=∠CBD；④AC⊥BD. 从中选一个条件作为补充，能使□ABCD变为菱形的是 （ ）
A．① B．①③ C．②④ D．①③④
3．（2023九上·市南区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．28
4．（2023·江油模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湘潭）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·贵阳期末）已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2
7．（2024九上·都江堰期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，则对角线的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
8．如图 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD=4OE.③四边形AECF是菱形④其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
二、填空题
9．如图，菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边中点E到对角线交点O的距离为 .cm.
10．（2023八下·长沙期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，点是的中点，连接，则的长度为 ．
11．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm
12．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM= cm；当α最小时，重叠部分的面积为 cm .
13．（2023九上·泗县月考）如图，在菱形中，对角线相交于点于点E，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
14．（2024八上·黔西南期末）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，．
（1）求证：；
（2）求四边形草坪造型的面积．
15．（2024九下·福田开学考）如图，中，，分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．
（1）求证：：
（2）在中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．
四、综合题
16．（2019·枣庄）如图， 是菱形 的对角线， ，
（1）请用尺规作图法，作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．
17．（2022八下·泉州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形，①正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，②不符合题意；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，③正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④正确；
∴满足条件的有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐项判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F分别是AB、BC边上的中点
∴EF是△ABC的中位线，AC=2EF=；
在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分，
∴AO=AC=，BO=BD=2；
在直角三角形ABO中有，
；
∴菱形ABCD的周长为.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质，确定对角线互相平分垂直，而E、F分别是AB、BC边上的中点即可确定EF是△ABC的中位线，由此可得出对角线的长度，那么就可以在直角三角形ABO中用勾股定理求出菱形一边的长度，进而求出菱形的周长。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，即，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由直角三角形斜边上中线的性质可得BD=2OH=6，由OA=4可得AC=8，根据勾股定理求出AB的值，然后根据菱形的面积公式就可求出DH的值.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，
∴=70°，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质结合平行线的性质即可得到∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，进而结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在菱形ABCD中，AB=13cm，AC=10cm，
∴∠AOB=90°，OA=5cm，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相平分求出∠AOB=90°，OA=5cm，再利用勾股定理求出OB的值，最后根据三角形和菱形的面积公式计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】∵在菱形中，对角线与相交于点，，
∴∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=CD=BC=4，∠DAC=∠BAD=30°，
在Rt△ADO中，cos∠DAO=，
∴AO=AD×cos∠DAO=4×cos30°=，
∴AC=2AO=，
故答案为：A.
【分析】先求出AB=AD=CD=BC=4，∠DAC=∠BAD=30°，再结合cos∠DAO=，求出AO的长，最后利用菱形的性质可得AC=2AO=.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC；故结论正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，AD=BC，
∵点E为BC的中点，
∴OE∥AB，BC=2CE，
由①得：AB⊥AC，
∴OE⊥AC，则∠EOC=90°，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=CE，
由①得：∠ECA=30°，
∴BC=2AB，
∴AD=BC=4OE，故结论正确；
③在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB⊥AC，E为BC中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故结论正确；
④在平行四边形ABCD中，AO=CO，
∵点E为BC中点，
∴S△BOE=S△BOC=S△ABC，故结论正确.
故答案为：A.
【分析】①由题意易得△ABE是等边三角形，然后根据角的构成∠BAC=∠BAE+∠EAC可求解；
②由三角形的中位线定理可得OE∥AB，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得OE=CE，AB=BC，于是AD=BC=4OE；
③由平行四边形的性质并结合已知用角边角可证△AOF≌△COE，则AF=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AECF是菱形；
④根据线段中点的定义并结合等底等高的两个三角形的面积相等可求解.
9．【答案】2
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD的周长16cm
∴BC=16÷4=4cm
∵O和E分别是AC和AB的中点
∴OE==2cm
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四边相等，已知周长，可求出菱形的边长；根据菱形的对角线互相平分可得点O事AC的中点，再根据三角形的中线定理，可得OE的长.
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CO=8，DO=6，DB⊥CA，
由勾股定理得，
∵点是的中点，
∴OE=5，
故答案为：5
【分析】先根据菱形的性质得到CO=8，DO=6，DB⊥CA，进而根据勾股定理即可求出DC，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解。
11．【答案】12
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O：
根据题意可知AD∥BC，AB=BC=CD=DA=10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=8，
又∵AB∥CD，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在Rt△AOB中，AB=10，OA=8，
∴OB=OD=6，
∴BD=2OB=12，
∴EG=BD=12；
故答案为：12．
【分析】根据中位线的性质可以得知EF∥BD，所以可知四边形BDEG是平行四边形，则EG的长度就是BD的长度，通过勾股定理可求出.
12．【答案】4-2 ；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=,
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
13．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴OA=OC，AC⊥BD，OB=OD=4
∵，OE=3，
∴AO=OC=OE=3，
∴AB==5.
故答案为：5.
【分析】由菱形的性质可得OA=OC，AC⊥BD，OB=OD=4，利用直角三角形斜边中线的性质可得AO=OC=OE=3，再利用勾股定理求出AB的长即可.
14．【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）解：过点作于点，
米，，
米，
（平方米），
则（平方米），
草坪造型的面积为：（平方米）．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用SSS即可证明 ；
（2） 过点作于点， 根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求得AE=2米，再利用三角形的面积公式求得 （平方米），从而求解.
15．【答案】（1）证明：∵由作图可知MN垂直平分线段BC，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在△AOB和△EOC中，
，
，
.
（2）解：可以，添加．
理由：由（1）可知，，
四边形ABEC是平行四边形，
∵，，
△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
平行四边形ABEC是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据作图得MN是线段BC的垂直平分线可以得到OB=OC，由平行四边形ABCD可以得AB=CD，AB//CD. 只要证明AB=EC，就可以得结论。这里AB和EC分别在△AOB和△EOC中，证明这两个三角形全等即可.
（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 由第一问得AB=EC，AB//EC，可以得四边形ABEC是平行四边形，当AB=BC时，根据∠ABC=∠D=60°，得△ABC是等边三角形，从而AB=AC，于是平行四边形ABEC满足一组邻边相等，它就是菱形了.
16．【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）、根据尺规作图法结合题意作出图形
（2）、首先根据菱形的性质可求出∠ABD＝∠DBC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，再根据平行线的性质可得到∠C＝∠A＝30°，最后根据垂直平分线的性质可得到AF＝FB，从而可计算得出答案
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO.
∵MN是BD的垂直平分线
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON.
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形.
（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x.
在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5.即MB＝5，
∴菱形BMDN的周长为5×4＝20.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝4 ，
∴ .
在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝ ＝ ＝ ，
由（1）得：OM＝ON，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）证明△DMO≌△BNO（AAS），可得OM＝ON，结合OB=OD，可证四边形BMDN是平行四边形，结合MN⊥BD，可证四边形BMDN是菱形；
（2）设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x，在Rt△AMB中，由勾股定理建立关于x方程并解之，可得MB的长，从而求出菱形的周长； 在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD=4 ，可得， 在Rt△BOM中，由勾股定理求出OM的长，由MN=2OM即可得解.
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