2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.5 菱形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·织金期中）下列条件中能使平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
2．（2023八下·吉首期末）如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．12
3．（2024八上·朝阳期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024九上·双流期末）如图，在菱形ABCD中，对角线，，则菱形的周长为（ ）cm
A．14 B．16 C．20 D．28
5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18 B．18 C．9 D．6
6．如图，□ABCD的对角线相交于点O，M，N分别是边AD，BC 的中点，连结AN，CM.有下列两个结论：①若四边形 ANCM 是菱形，则AB⊥AC；②若四边形 ANCM 是矩形，则AB=AC.那么 （ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD 的中点，连结 OE，过点 C作CF∥BD，交OE 的延长线于点 F，连结 DF，则四边形 ODFC的形状是 （ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．一般四边形
8．（2024九上·长春期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
二、填空题
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为 .
10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC点到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若则BD的长为 .
11．（2023九上·临川期中）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是 ．
12．（2023九上·青白江期中）如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB＝45°，有下列结论：①AC＝BB′；②AC⊥AB；③∠CDA＝90°；④BB′＝AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题
13．（2024九上·贵阳期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
14．（2023九上·朝阳期中）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
四、综合题
15．（2020八下·韶关期末）矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面积．
16．（2023·鲁甸模拟）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，于点，连接．，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）求的周长
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故答案为：A.
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴AD=6，AC⊥DB，
∵H为边中点，
∴HO=3，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的性质结合题意得到AD=6，AC⊥DB，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形的面积，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形斜边上的中线性质得出，再利用菱形的面积等于对称线乘积的一半求出，即可得出答案．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】设菱形ABCD的对角线相交于点O，如图所示：
∵菱形ABCD，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=3，
在Rt△ABO中，AB=，
∴C菱形ABCD=4AB=4×5=20，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的周长公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DB，BD⊥AC于O
∴△ABD为等边三角形，AO=AC=3，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OB=
∴BD=2OB=，
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=，
故答案为：D．
【分析】根据三角形三线合一性质可知AD=DB，再根据菱形的性质可判定出△ABD为等边三角形，∠OAB=30°，通过解含30°的直角三角形可算出BD，从而算出菱形的面积=两个对角线乘积的一半.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ M，N分别是边AD，BC 的中点，
∴AM=CN，AM=BN，
∴四边形ABNM、ANCM是平行四边形，
∴MN∥AB，MN=AB，
① 若四边形 ANCM 是菱形，则MN⊥AC ，
∵MN∥AB，
∴ AB⊥AC ，故①正确；
② 若四边形 ANCM 是矩形，则MN=AC ，
∵MN=AB，
∴ AB=AC，故②正确.
故答案为：C.
【分析】先证四边形ABNM、ANCM是平行四边形，可得MN∥AB，MN=AB，由四边形 ANCM 是菱形可得MN⊥AC ，从而得出AB⊥AC ，据此判断①；由四边形 ANCM 是矩形可得MN=AC ，从而得出 AB=AC，据此判断②.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵E是CD的中点，
∴DE=EC；
∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE；
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE，
∴OE=EF，
又∵DE=EC，
∴四边形ODFC是平行四边形，
∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODFC是矩形；
故答案为：A.
【分析】根据题意可得DE=EC，根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直可得∠DOC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵AD=A'B'=2，∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠B'A'O=30°，
∴OD=OB'=1，AO=A'O=，
∴AB'=AO-B'O=，
∵∠DAC=30°，∠A'B'C=60°，
∴∠DAC=∠AFB'=30°，
∴AB'=B'F=FD=A'D，
∴B'F=FD=，
∴旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是，
故答案为：C.
【分析】先求出∠DAO=∠B'A'O=30°，再求出AB'=AO-B'O=，再求出∠DAC=∠AFB'=30°，可得B'F=FD=，最后求出旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是即可.
9．【答案】2
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，且OE=AE=AD=5，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∴FG=OE=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2，
故答案为2．
【分析】根据菱形性质和中位线性质可知OE=AB，根据直角三角形的中线性质可知AE=AD=5，通过矩形的判定方法可证出平行四边形OEFG是矩形，从而得知FG=OE=5，最后通过线段之间的和差关系得出答案.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点H，
由菱形的性质可得：∠ADC=∠ABC=90°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中
∴△CDH≌△CDF（AAS）
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=.
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点H，由菱形的性质结合已知用角角边可证△CDH≌△CDF，可求得DH的长度，然后根据菱形的性质并根据BD=2DH可求解.
11．【答案】菱形
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵点 E 、F 、G 、H分别是AB、CD、AC、BD 的中点，
∴GF是△ADC的中位线， GE是△ABC的中位线，EH是△ABD 的中位线，
∴
∴
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD=BC ，
∴GE=EH ，
∴四边形EHFG是菱形．
故答案为：菱形．
【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线， GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出得出四边形 EGFH 是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出四边形EHFG是菱形．
12．【答案】①②③
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAB＝45°，AD=AB，
∴，
∵旋转角α＝2∠ADB，
∴∠BDB′=α=2∠ADB=135°，
∵∠CDB′=∠ADB=67.5°，
∴∠ADC=360°-∠BDB′-∠CDB′-∠ADB=90°，
∴③正确，
∵DA=DC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∵∠CDB′=∠DAB=45°，
∴∠ACB′=∠CAB=90°，
∴AB∥CB′，
∵AB=CB′，
∴四边形ABB′C是矩形，
∴AC＝BB′，AC⊥AB，
故①②正确，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=AD=AB，
故④错误，
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】由旋转的性质和菱形的性质得，从而得旋转角度为α=135°，由此得到△ADC是等腰直角三角形，再由∠CDB′=∠DAB=45°，得到∠ACB′=∠CAB=90°，从而可以证明四边形ABB′C是矩形，即可求解.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴EB＝AB，
∵AF＝AB，
∴EB＝AF，
∵EB∥AF，EG＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵EB＝AB，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AB＝5，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE，
∴∠AOB＝90°，
∴，
∴AE＝2OA＝2×3＝6，
∴AE的长为6．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 BC∥AD， 再根据角平分线求出 ∠BAE＝∠DAE， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的性质求出 AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， 再利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴
∵
∴为等边三角形
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分证四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，根据对角线互相垂直的四边形是菱形求证即可；
（2）根据菱形的性质证为等边三角形，由四边形是矩形，再运用勾股定理求出AC的长度，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴EC=AF，
而EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴平行四边形AFCE是菱形
（2）解：设DE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
42+x2=(8-x)2，
解得x=3，
∴菱形的边长EC=8-3=5，
∴菱形AFCE的面积为：4×5=20
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明FA=FC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；（2）设DE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面积即可
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：，
，，
即，，
，
的周长为．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质即可得到，，再根据勾股定理的逆定理结合菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，，进而结合题意即可求解。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.5 菱形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·织金期中）下列条件中能使平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故答案为：A.
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
2．（2023八下·吉首期末）如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴AD=6，AC⊥DB，
∵H为边中点，
∴HO=3，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的性质结合题意得到AD=6，AC⊥DB，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
3．（2024八上·朝阳期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形的面积，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形斜边上的中线性质得出，再利用菱形的面积等于对称线乘积的一半求出，即可得出答案．
4．（2024九上·双流期末）如图，在菱形ABCD中，对角线，，则菱形的周长为（ ）cm
A．14 B．16 C．20 D．28
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】设菱形ABCD的对角线相交于点O，如图所示：
∵菱形ABCD，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=3，
在Rt△ABO中，AB=，
∴C菱形ABCD=4AB=4×5=20，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的周长公式求解即可.
5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18 B．18 C．9 D．6
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DB，BD⊥AC于O
∴△ABD为等边三角形，AO=AC=3，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OB=
∴BD=2OB=，
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=，
故答案为：D．
【分析】根据三角形三线合一性质可知AD=DB，再根据菱形的性质可判定出△ABD为等边三角形，∠OAB=30°，通过解含30°的直角三角形可算出BD，从而算出菱形的面积=两个对角线乘积的一半.
6．如图，□ABCD的对角线相交于点O，M，N分别是边AD，BC 的中点，连结AN，CM.有下列两个结论：①若四边形 ANCM 是菱形，则AB⊥AC；②若四边形 ANCM 是矩形，则AB=AC.那么 （ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ M，N分别是边AD，BC 的中点，
∴AM=CN，AM=BN，
∴四边形ABNM、ANCM是平行四边形，
∴MN∥AB，MN=AB，
① 若四边形 ANCM 是菱形，则MN⊥AC ，
∵MN∥AB，
∴ AB⊥AC ，故①正确；
② 若四边形 ANCM 是矩形，则MN=AC ，
∵MN=AB，
∴ AB=AC，故②正确.
故答案为：C.
【分析】先证四边形ABNM、ANCM是平行四边形，可得MN∥AB，MN=AB，由四边形 ANCM 是菱形可得MN⊥AC ，从而得出AB⊥AC ，据此判断①；由四边形 ANCM 是矩形可得MN=AC ，从而得出 AB=AC，据此判断②.
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD 的中点，连结 OE，过点 C作CF∥BD，交OE 的延长线于点 F，连结 DF，则四边形 ODFC的形状是 （ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．一般四边形
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵E是CD的中点，
∴DE=EC；
∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE；
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE，
∴OE=EF，
又∵DE=EC，
∴四边形ODFC是平行四边形，
∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODFC是矩形；
故答案为：A.
【分析】根据题意可得DE=EC，根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直可得∠DOC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解.
8．（2024九上·长春期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵AD=A'B'=2，∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠B'A'O=30°，
∴OD=OB'=1，AO=A'O=，
∴AB'=AO-B'O=，
∵∠DAC=30°，∠A'B'C=60°，
∴∠DAC=∠AFB'=30°，
∴AB'=B'F=FD=A'D，
∴B'F=FD=，
∴旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是，
故答案为：C.
【分析】先求出∠DAO=∠B'A'O=30°，再求出AB'=AO-B'O=，再求出∠DAC=∠AFB'=30°，可得B'F=FD=，最后求出旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是即可.
二、填空题
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为 .
【答案】2
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，且OE=AE=AD=5，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∴FG=OE=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2，
故答案为2．
【分析】根据菱形性质和中位线性质可知OE=AB，根据直角三角形的中线性质可知AE=AD=5，通过矩形的判定方法可证出平行四边形OEFG是矩形，从而得知FG=OE=5，最后通过线段之间的和差关系得出答案.
10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC点到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若则BD的长为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点H，
由菱形的性质可得：∠ADC=∠ABC=90°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中
∴△CDH≌△CDF（AAS）
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=.
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点H，由菱形的性质结合已知用角角边可证△CDH≌△CDF，可求得DH的长度，然后根据菱形的性质并根据BD=2DH可求解.
11．（2023九上·临川期中）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是 ．
【答案】菱形
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵点 E 、F 、G 、H分别是AB、CD、AC、BD 的中点，
∴GF是△ADC的中位线， GE是△ABC的中位线，EH是△ABD 的中位线，
∴
∴
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD=BC ，
∴GE=EH ，
∴四边形EHFG是菱形．
故答案为：菱形．
【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线， GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出得出四边形 EGFH 是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出四边形EHFG是菱形．
12．（2023九上·青白江期中）如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB＝45°，有下列结论：①AC＝BB′；②AC⊥AB；③∠CDA＝90°；④BB′＝AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②③
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAB＝45°，AD=AB，
∴，
∵旋转角α＝2∠ADB，
∴∠BDB′=α=2∠ADB=135°，
∵∠CDB′=∠ADB=67.5°，
∴∠ADC=360°-∠BDB′-∠CDB′-∠ADB=90°，
∴③正确，
∵DA=DC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∵∠CDB′=∠DAB=45°，
∴∠ACB′=∠CAB=90°，
∴AB∥CB′，
∵AB=CB′，
∴四边形ABB′C是矩形，
∴AC＝BB′，AC⊥AB，
故①②正确，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=AD=AB，
故④错误，
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】由旋转的性质和菱形的性质得，从而得旋转角度为α=135°，由此得到△ADC是等腰直角三角形，再由∠CDB′=∠DAB=45°，得到∠ACB′=∠CAB=90°，从而可以证明四边形ABB′C是矩形，即可求解.
三、解答题
13．（2024九上·贵阳期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴EB＝AB，
∵AF＝AB，
∴EB＝AF，
∵EB∥AF，EG＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵EB＝AB，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AB＝5，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE，
∴∠AOB＝90°，
∴，
∴AE＝2OA＝2×3＝6，
∴AE的长为6．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 BC∥AD， 再根据角平分线求出 ∠BAE＝∠DAE， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的性质求出 AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， 再利用勾股定理计算求解即可。
14．（2023九上·朝阳期中）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴
∵
∴为等边三角形
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分证四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，根据对角线互相垂直的四边形是菱形求证即可；
（2）根据菱形的性质证为等边三角形，由四边形是矩形，再运用勾股定理求出AC的长度，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
四、综合题
15．（2020八下·韶关期末）矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴EC=AF，
而EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴平行四边形AFCE是菱形
（2）解：设DE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
42+x2=(8-x)2，
解得x=3，
∴菱形的边长EC=8-3=5，
∴菱形AFCE的面积为：4×5=20
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明FA=FC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；（2）设DE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面积即可
16．（2023·鲁甸模拟）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，于点，连接．，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）求的周长
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：，
，，
即，，
，
的周长为．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质即可得到，，再根据勾股定理的逆定理结合菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，，进而结合题意即可求解。
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