2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.5 菱形同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.若 AB=cm，AC=4cm，则BD的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．8cm
3．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）.
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
4．（2018九上·达孜期末）已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm，则菱形的面积为（ ）
A． B．40 C． D．
5．（2023八上·宣城期中）在平面直角坐标系中，已知A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，若一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，则m的值为（ ）
A．-4 B．，-4 C． D．，-5
6．（2023九上·佛山期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·沙坪坝开学考）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和，交于点G，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2023八下·衡山期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知菱形ABCD的面积为20cm ，对角线AC的长为8cm，则对角线BD的长为 cm.
10．如图，在菱形ABCD中，∠D=135°，BE⊥CD于点E，交 AC 于点F，FG⊥BC 于点G.若△BFG 的周长为5，则菱形的边长为 .
11．如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点 E 在OB 上，连结 AE，F 为CD 的中点，连结OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 .
12．（2023八下·无锡期末）如图，菱形的对角线长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为 .
13．（2023八下·资阳期末）已知直线的解析式为，菱形，，，…按图所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线上，顶点，，，…均在轴上，则点的坐标是 ．
三、解答题
14．（2023七下·怀远期末）如图，已知矩形，P是AB上一动点，M、N、E分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，四边形是菱形？并给出证明．
15．（2023八下·虎门期中）在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若，分别是，中点，求证：四边形始终是平行四边形．
（2）在(1)条件下，当为何值时，四边形为矩形．
（3）若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形．
四、综合题
16．（2023九上·黄埔开学考）如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
（1）求出直线的解析式；
（2）若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
（3）为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、 、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．
17．（2023九上·大朗开学考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）填空：AE= cm，DF= cm；(用含t的代数式表示)
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵E为CD的中点，
∴OE是三角形BCD的中位线，
∴OE=BC，
∵OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24.
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质“菱形的对角线互相平分，四边都相等”可得OB=OD，AB=BC=CD=AD，根据三角形的中位线定理得OE=BC可求出BC的值，然后根据菱形的周长等于四边之和可求解.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： 在菱形ABCD中 ， AC=4cm， AB=cm ，
∴OA=OC=2，AC⊥BD，OB =OD ，
∴OB=4，
∴BD=2OB=8.
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得OA=OC=2，AC⊥BD，OB =OD ，利用勾股定理求出BO的长，根据BD=2OB即可求解.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A选项:菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项不符合题意;
B选项:对角线互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项不符合题意;
C选项:对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项符合题意;
D选项:对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项不符合题意.
故选:C.
【分析】矩形和菱形的区别: 矩形与菱形相比，菱形的四条边相等，对角线互相垂直;矩形四个角是直角对角线相等.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：（一）∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的面积为四个相等的三角形面积
即：4× × × =40（cm2），
（二）：∵一个菱形的两条对角线长分别为8cm和10cm，
∴这个菱形的面积= ×8×10=40（cm2）．
故选：B.
【分析】(一)菱形性质知菱形的对角线互相垂直平分，再说明菱形的面积为四个相等的三角形面积而解得．（二）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，
∴AB=BC=CD=AD=，
∴四边形ABCD是菱形，
∵一次函数的解析式为，
∴一次函数经过定点B（6，2），
∵一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，
∴一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），如图所示：
∴m-6m+2=3或5m-6m+2=7，
解得：m=或m-5，
故答案为：D.
【分析】先证出四边形ABCD是菱形，再求出一次函数经过定点B（6，2），再结合一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，可得一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），再列出方程m-6m+2=3或5m-6m+2=7，再求出m的值即可.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥x轴于点H，
∴∠DHC=∠AOB=90°，
∵点B（-3，0），
∴OB=3，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC，AB∥CD，
∴∠ABO=∠DCH=60°，∠CDH=30°，
在△ABO和△DCH中
∴△ABO≌△DCH（AAS）
∴BO=CH=3，
∴DC=2CH=6，OH=3+3=6，
，
∴点D
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，可证∠DHC=∠AOB=90°，利用点B的坐标可得到OB的长；再利用菱形的性质可证得AB=BC，AB∥CD，同时可得到∠ABO=∠DCH=60°，∠CDH=30°，利用AAS证明△ABO≌△DCH，利用全等三角形的性质可求出CH的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到DC，OH的长；然后利用勾股定理求出DH的长，可得到点D的坐标.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴， ，
∵F为的中点，H为的中点
∴（中位线定理）
∴
∵
∴且
∴
∴(30°角所对的直角边等于斜边一半)
∴
∴四边形FHCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴GF=CG EG=HG
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据已知条件，菱形告诉我们相等的边和角，中点告诉我们存在中位线，易证得一组对边平行且相等，由此得到平行四边形，根据它的性质对角线互相平分，我们找到和GF相等的GC，在直角三角形中根据勾股定理求GC即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6.
ACDB，OA=AC=4，OB=DB=3，
AB=，S菱形ABCD=ACDB= 8 6=24，
S△ABD=S菱形ABCD=12，
ABDH=12，
DH=，
故答案为：D
【分析】根据菱形的性质求出OA、OB的长度，利用勾股定理求得AB=5，由等面积法即可求解.
9．【答案】5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵S菱形ABCD=×AC×BD，而S菱形ABCD=20，AC=8，
∴20=×8×BD，解得：BD=5.
故答案为：5.
【分析】根据菱形的性质“菱形的面积=×AC×BD”可得关于BD的方程，解方程可求解.
10．【答案】5
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠D=135°，
∴∠BCD=45°，∠BCA=∠DCA，
∵ BE⊥CD ， FG⊥BC ，
∴∠FEC=∠FGC=90°，∠BCE=∠CBE=45°，
∴BE=CE，
∵CF=CF，
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴GF=EF，CG=CE，
∴ △BFG 的周长=BG+GF+BF=BG+EF+BF=BG+BE=BG+CG=BC=5，
∴ 菱形的边长为5.
故答案为：5.
【分析】易证△BEC为等腰直角三角形，可得BE=CE，再证△CGF≌△CEF（AAS），可得GF=EF，CG=CE，从而得出△BFG 的周长=BG+GF+BF=BG+EF+BF=BG+BE=BG+CG=BC=5，继而得解.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，OA=OC=4，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∴，
∴BE=AE=5，
∴OB=BE+OE=5+3=8，
∴，
∴，
∵点F为CD的中点，∠COD=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】由菱形的对角线互相垂直、对边相等可得AB=CD，AC⊥BD，OA=OC=4，根据直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和可求出AE、AB的长，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接ON，
由题意可知：
，，，
∴，
∵N为MD中点，O为AC中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴∠OND=90°，
取OD的中点E，连接CE、NE，
则，
，，
∵CN≤CE+NE，
∴当N、C、E三点共线时，CN长度最长为：，
故答案为：.
【分析】本题考查菱形的性质、中位线定理，首先根据中位线定理以及菱形的性质可以得出∠DNO=90°，再取OD的中点E，分别连接CE、NE可得出OE、CE、NE的值，当N、C、E三点共线时，CN长度最大为.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设直线l： 与x轴交于点C，如图所示：
令y=0，即2x+2=0，x=-1，则C（-1，0）
令x=0，得y=2，则
∵ 四边形 为菱形
∴ AO垂直平分
∴
∴ 当x=1时，y=4，∴
则，
以此类推，可以发现：，·······
∴则点的坐标是
故答案为： .
【分析】本题考查菱形的性质，一次函数点的特征，找出点坐标的规律是关键。
14．【答案】（1）解：∵M，E分别为的中点，
∴，
同理可证：，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形为菱形．
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵M，N，E分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得，，即可得证；
（2）证明得出，根据中位线的性质得出，即可得证四边形是菱形．
15．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：，
四边形是平行四边形．
（2）解：连接GH，如图所示：
由得：，，
四边形是平行四边形，
，
当时，平行四边形是矩形，分两种情况：
当时，，，
解得：；
当时，，，
解得：；
综上所述：当为或时，四边形为矩形．
（3）解：连接、，如图所示：
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形是菱形，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
又
当为时，四边形为菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先证出 AFG≌ CEH，得出GF=HE，同理证出GE=HF，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接GH，先证出四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，再根据矩形的性质得出FE=GH=4，分两种情况讨论：①当AE＜AF时，②当AE＞AF时，分别列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案；
（3）连接AG、CH，先证出AGCH是菱形，得出AG=CG，利用勾股定理求出CG的长，得出BG的长，从而得出AB+BG的长，利用时间=，求出t的值，即可得出答案
16．【答案】（1）解：如图中，作轴于．
、，
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
．
（2）解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
直线的解析式为：，
，
，
，，
，
，
，
时，四边形是平行四边形．
（3）解：如图中，
如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，
连接交于，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，设，
，
，
可得，，
当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的解析式为，
由，解得，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）作轴于．由A、B的坐标可得OA=1，OC=2，证明≌，可得，，即得B（3，1），利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（2）先求出CM的长，利用时间=路程÷速度即可求解；
（3）分两种情况：当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形当和为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，据此分别画出图形，再求解即可.
17．【答案】（1）2t；2t
（2）解：能
∵∠B=90°，DF⊥BC
∵DF//AB
又∵DF=AE
∴四边形AEFD是平行四边形
当AD=AE时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC=60cm
∴AD=AC-CD=60-4t
∵AE=2t
∴60-4t=2t
解得：t=10
即当t=10时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）解：当t=或者t=12时，△DEF为直角三角形，理由如下：
①若∠EDF=90°，则DE//BC
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
即：60-4t=2×2t
解得：t=
②当∠DEF=90°时，则DE⊥EF
又∵四边形AEFD是平行四边形
∴AD//EF
∴DE⊥AD
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°
∵∠A=60°
∴∠DEA=30°
∴AD=AE
∴60-4t=×2t=t
解得：t=12
③当∠DFE=90°时，D点到达A点，E点到达B点，此时D，E，F共线
∴当∠DFE=90°时，△DEF不存在
综上所述，当t=或=12时，△DEF为直角三角形
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∵ 点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，
∴CD=4t，AE=2t，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，
∴DF=CD=2t；
故答案为：2t，2t；
【分析】（1）先由三角形的内角和定理算出∠C=30°，根据路程=速度乘以时间可得CD=4t，AE=2t，进而根据含30°角直角三角形的性质得DF=CD=2t；
（2）由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，得DF∥AB，又DF=AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，平行四边形AEFD是菱形，据此列出方程，求解可得符合题意的t的值；
（3）分三种情况：①若∠EDF=90°，则DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠C=30°，再根据含30°角直角三角形的性质得AD=2AE，据此建立方程，求解可得答案；②当∠DEF=90°时，则DE⊥EF，由平行四边形的性质及平行线的性质得DE⊥AD，进而根据含30°角直角三角形的性质得AD=AE，据此建立方程，求解可得答案；③当∠DFE=90°时，D点到达A点，E点到达B点，此时D，E，F共线，△DEF不存在，综上可得答案.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.5 菱形同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵E为CD的中点，
∴OE是三角形BCD的中位线，
∴OE=BC，
∵OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24.
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质“菱形的对角线互相平分，四边都相等”可得OB=OD，AB=BC=CD=AD，根据三角形的中位线定理得OE=BC可求出BC的值，然后根据菱形的周长等于四边之和可求解.
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.若 AB=cm，AC=4cm，则BD的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．8cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： 在菱形ABCD中 ， AC=4cm， AB=cm ，
∴OA=OC=2，AC⊥BD，OB =OD ，
∴OB=4，
∴BD=2OB=8.
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得OA=OC=2，AC⊥BD，OB =OD ，利用勾股定理求出BO的长，根据BD=2OB即可求解.
3．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）.
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A选项:菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项不符合题意;
B选项:对角线互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项不符合题意;
C选项:对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项符合题意;
D选项:对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项不符合题意.
故选:C.
【分析】矩形和菱形的区别: 矩形与菱形相比，菱形的四条边相等，对角线互相垂直;矩形四个角是直角对角线相等.
4．（2018九上·达孜期末）已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm，则菱形的面积为（ ）
A． B．40 C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：（一）∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的面积为四个相等的三角形面积
即：4× × × =40（cm2），
（二）：∵一个菱形的两条对角线长分别为8cm和10cm，
∴这个菱形的面积= ×8×10=40（cm2）．
故选：B.
【分析】(一)菱形性质知菱形的对角线互相垂直平分，再说明菱形的面积为四个相等的三角形面积而解得．（二）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
5．（2023八上·宣城期中）在平面直角坐标系中，已知A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，若一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，则m的值为（ ）
A．-4 B．，-4 C． D．，-5
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，
∴AB=BC=CD=AD=，
∴四边形ABCD是菱形，
∵一次函数的解析式为，
∴一次函数经过定点B（6，2），
∵一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，
∴一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），如图所示：
∴m-6m+2=3或5m-6m+2=7，
解得：m=或m-5，
故答案为：D.
【分析】先证出四边形ABCD是菱形，再求出一次函数经过定点B（6，2），再结合一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，可得一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），再列出方程m-6m+2=3或5m-6m+2=7，再求出m的值即可.
6．（2023九上·佛山期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥x轴于点H，
∴∠DHC=∠AOB=90°，
∵点B（-3，0），
∴OB=3，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC，AB∥CD，
∴∠ABO=∠DCH=60°，∠CDH=30°，
在△ABO和△DCH中
∴△ABO≌△DCH（AAS）
∴BO=CH=3，
∴DC=2CH=6，OH=3+3=6，
，
∴点D
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，可证∠DHC=∠AOB=90°，利用点B的坐标可得到OB的长；再利用菱形的性质可证得AB=BC，AB∥CD，同时可得到∠ABO=∠DCH=60°，∠CDH=30°，利用AAS证明△ABO≌△DCH，利用全等三角形的性质可求出CH的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到DC，OH的长；然后利用勾股定理求出DH的长，可得到点D的坐标.
7．（2022九上·沙坪坝开学考）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和，交于点G，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴， ，
∵F为的中点，H为的中点
∴（中位线定理）
∴
∵
∴且
∴
∴(30°角所对的直角边等于斜边一半)
∴
∴四边形FHCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴GF=CG EG=HG
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据已知条件，菱形告诉我们相等的边和角，中点告诉我们存在中位线，易证得一组对边平行且相等，由此得到平行四边形，根据它的性质对角线互相平分，我们找到和GF相等的GC，在直角三角形中根据勾股定理求GC即可。
8．（2023八下·衡山期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6.
ACDB，OA=AC=4，OB=DB=3，
AB=，S菱形ABCD=ACDB= 8 6=24，
S△ABD=S菱形ABCD=12，
ABDH=12，
DH=，
故答案为：D
【分析】根据菱形的性质求出OA、OB的长度，利用勾股定理求得AB=5，由等面积法即可求解.
二、填空题
9．已知菱形ABCD的面积为20cm ，对角线AC的长为8cm，则对角线BD的长为 cm.
【答案】5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵S菱形ABCD=×AC×BD，而S菱形ABCD=20，AC=8，
∴20=×8×BD，解得：BD=5.
故答案为：5.
【分析】根据菱形的性质“菱形的面积=×AC×BD”可得关于BD的方程，解方程可求解.
10．如图，在菱形ABCD中，∠D=135°，BE⊥CD于点E，交 AC 于点F，FG⊥BC 于点G.若△BFG 的周长为5，则菱形的边长为 .
【答案】5
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠D=135°，
∴∠BCD=45°，∠BCA=∠DCA，
∵ BE⊥CD ， FG⊥BC ，
∴∠FEC=∠FGC=90°，∠BCE=∠CBE=45°，
∴BE=CE，
∵CF=CF，
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴GF=EF，CG=CE，
∴ △BFG 的周长=BG+GF+BF=BG+EF+BF=BG+BE=BG+CG=BC=5，
∴ 菱形的边长为5.
故答案为：5.
【分析】易证△BEC为等腰直角三角形，可得BE=CE，再证△CGF≌△CEF（AAS），可得GF=EF，CG=CE，从而得出△BFG 的周长=BG+GF+BF=BG+EF+BF=BG+BE=BG+CG=BC=5，继而得解.
11．如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点 E 在OB 上，连结 AE，F 为CD 的中点，连结OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，OA=OC=4，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∴，
∴BE=AE=5，
∴OB=BE+OE=5+3=8，
∴，
∴，
∵点F为CD的中点，∠COD=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】由菱形的对角线互相垂直、对边相等可得AB=CD，AC⊥BD，OA=OC=4，根据直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和可求出AE、AB的长，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解.
12．（2023八下·无锡期末）如图，菱形的对角线长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接ON，
由题意可知：
，，，
∴，
∵N为MD中点，O为AC中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴∠OND=90°，
取OD的中点E，连接CE、NE，
则，
，，
∵CN≤CE+NE，
∴当N、C、E三点共线时，CN长度最长为：，
故答案为：.
【分析】本题考查菱形的性质、中位线定理，首先根据中位线定理以及菱形的性质可以得出∠DNO=90°，再取OD的中点E，分别连接CE、NE可得出OE、CE、NE的值，当N、C、E三点共线时，CN长度最大为.
13．（2023八下·资阳期末）已知直线的解析式为，菱形，，，…按图所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线上，顶点，，，…均在轴上，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设直线l： 与x轴交于点C，如图所示：
令y=0，即2x+2=0，x=-1，则C（-1，0）
令x=0，得y=2，则
∵ 四边形 为菱形
∴ AO垂直平分
∴
∴ 当x=1时，y=4，∴
则，
以此类推，可以发现：，·······
∴则点的坐标是
故答案为： .
【分析】本题考查菱形的性质，一次函数点的特征，找出点坐标的规律是关键。
三、解答题
14．（2023七下·怀远期末）如图，已知矩形，P是AB上一动点，M、N、E分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，四边形是菱形？并给出证明．
【答案】（1）解：∵M，E分别为的中点，
∴，
同理可证：，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形为菱形．
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵M，N，E分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得，，即可得证；
（2）证明得出，根据中位线的性质得出，即可得证四边形是菱形．
15．（2023八下·虎门期中）在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若，分别是，中点，求证：四边形始终是平行四边形．
（2）在(1)条件下，当为何值时，四边形为矩形．
（3）若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：，
四边形是平行四边形．
（2）解：连接GH，如图所示：
由得：，，
四边形是平行四边形，
，
当时，平行四边形是矩形，分两种情况：
当时，，，
解得：；
当时，，，
解得：；
综上所述：当为或时，四边形为矩形．
（3）解：连接、，如图所示：
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形是菱形，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
又
当为时，四边形为菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先证出 AFG≌ CEH，得出GF=HE，同理证出GE=HF，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接GH，先证出四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，再根据矩形的性质得出FE=GH=4，分两种情况讨论：①当AE＜AF时，②当AE＞AF时，分别列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案；
（3）连接AG、CH，先证出AGCH是菱形，得出AG=CG，利用勾股定理求出CG的长，得出BG的长，从而得出AB+BG的长，利用时间=，求出t的值，即可得出答案
四、综合题
16．（2023九上·黄埔开学考）如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
（1）求出直线的解析式；
（2）若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
（3）为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、 、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：如图中，作轴于．
、，
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
．
（2）解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
直线的解析式为：，
，
，
，，
，
，
，
时，四边形是平行四边形．
（3）解：如图中，
如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，
连接交于，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，设，
，
，
可得，，
当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的解析式为，
由，解得，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）作轴于．由A、B的坐标可得OA=1，OC=2，证明≌，可得，，即得B（3，1），利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（2）先求出CM的长，利用时间=路程÷速度即可求解；
（3）分两种情况：当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形当和为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，据此分别画出图形，再求解即可.
17．（2023九上·大朗开学考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）填空：AE= cm，DF= cm；(用含t的代数式表示)
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）2t；2t
（2）解：能
∵∠B=90°，DF⊥BC
∵DF//AB
又∵DF=AE
∴四边形AEFD是平行四边形
当AD=AE时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC=60cm
∴AD=AC-CD=60-4t
∵AE=2t
∴60-4t=2t
解得：t=10
即当t=10时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）解：当t=或者t=12时，△DEF为直角三角形，理由如下：
①若∠EDF=90°，则DE//BC
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
即：60-4t=2×2t
解得：t=
②当∠DEF=90°时，则DE⊥EF
又∵四边形AEFD是平行四边形
∴AD//EF
∴DE⊥AD
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°
∵∠A=60°
∴∠DEA=30°
∴AD=AE
∴60-4t=×2t=t
解得：t=12
③当∠DFE=90°时，D点到达A点，E点到达B点，此时D，E，F共线
∴当∠DFE=90°时，△DEF不存在
综上所述，当t=或=12时，△DEF为直角三角形
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∵ 点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，
∴CD=4t，AE=2t，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，
∴DF=CD=2t；
故答案为：2t，2t；
【分析】（1）先由三角形的内角和定理算出∠C=30°，根据路程=速度乘以时间可得CD=4t，AE=2t，进而根据含30°角直角三角形的性质得DF=CD=2t；
（2）由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，得DF∥AB，又DF=AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，平行四边形AEFD是菱形，据此列出方程，求解可得符合题意的t的值；
（3）分三种情况：①若∠EDF=90°，则DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠C=30°，再根据含30°角直角三角形的性质得AD=2AE，据此建立方程，求解可得答案；②当∠DEF=90°时，则DE⊥EF，由平行四边形的性质及平行线的性质得DE⊥AD，进而根据含30°角直角三角形的性质得AD=AE，据此建立方程，求解可得答案；③当∠DFE=90°时，D点到达A点，E点到达B点，此时D，E，F共线，△DEF不存在，综上可得答案.
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