2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.6 正方形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考） 下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
B、 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
C、 有三个角是直角的四边形是矩形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，是假命题，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形及菱形的判定方法逐项判断可得答案.
2．如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在边AD，BC上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连结OC.若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．OC=EF
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥BC交BC于点H，如下图：
设CF＝a，则BF＝2a；
∵四边形ACD是矩形， EF∥AB ， AE=AB
∴四边形ABFE是正方形
∴BF=EF=2a，AF⊥BE，OB＝OF
∵OH⊥BC
∴OH＝BF＝a
∴HC＝2a
∴OC=a
∴EF：OC=2a：a，即 .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质和正方形的判定和性质，可得BF=EF=2a，AF⊥BE，OB＝OF；根据等腰直角三角形的性质，可得OH＝BF＝a；根据等量关系列等式，即可解题.
3．下列说法正确的是 （ ）
A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等但不互相垂直，故此选项错误；
B、菱形的对角线相互垂直，故此选项错误；
C、正方形的对角线相等且垂直，故此选项正确；
D、菱形的四个角不一定都是直角，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线相等、互相平分且垂直，即可逐项判断得出答案.
4．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （ ）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
5．（2023九上·滨江开学考）如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形这个四边形一定是菱形这个四边形不可能是矩形这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作与E，，
由题意可得则四边形ABCD为平行四边形，又∵是两把完全相同的直尺，∴又∵平行四边形ABCD的面积，∴，则平行四边形ABCD为菱形，故当是菱形ABCD为正方形，故这个四边形一定是轴对称图形，综上所述可知正确的论断有：①②④.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、矩形、菱形、正方形的判定、轴对称图形的判定.过点D作与E，根据题意可得则四边形ABCD为平行四边形，然后再通过等面积法求得即可判定四边形为菱形，在结合正方形和矩形的判定即可求解.
6．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC于点F，AF=3，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴CF+CE=9，
在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，
∴，
解得x=5，
∴CE=5.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC=45°，从而得△AEF是等腰Rt△，由△EFC的周长为12，得CF+CE=9，在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
7．（2024·吴兴期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，问，当正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍时，两条直角边AM与BM的数量关系是（ ）.
A． B．BM C．BM D．BM
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设
由题意得：
∵正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】设则正方形ABCD的面积为，正方形EFGH面积为根据"正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍"，即可得到进而即可求解.
8．（初中数学浙教版八下精彩练第五章质量评估卷）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
二、填空题
9．如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，不 添 加任何 辅 助线，请 添加一个条件： ，使得四边形ABCD 是正方形.
【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD=90°或BD=AC时， 四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠BAD=90°(答案不唯一).
【分析】有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此解答即可.
10．（2024九下·哈尔滨开学考）点O是正方形ABCD的对角线AC、BD交点，，点在BC边上，连接OF，，则BF的长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过O作OH⊥BC交BC于点H
∵四边形ABCD是正方形，点O是正方形ABCD的对角线AC 、BD交点
∴△BOC是等腰直角三角形
∴OB=OC=AC=
∴BH=OH=1
∵OF=
∴FH==
∴BF=1-=或BF=1+=
故答案为：或.
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理，根据题意画出图形，进行计算即可.
11．（2020·东港模拟）如图，已知正方形 的边长为3， 为 边上一点， ．以点 为中心，把△ 顺时针旋转 ，得△ ，连接 ，则 的长等于
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC-DE=2，CE′=BC+BE′=4．
根据勾股定理得到：EE′= ．
故答案为：
【分析】根据旋转的性质得到BE′=DE=1，先求出EC、CE′的长，利用勾股定理求出EE′的长.
12．（2021九下·青羊开学考）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
设正方形的中心为O，可证EF经过O点.
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得 ，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝ cm，
故答案为： .
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点，连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，易得MA、MG，然后根据两点之间、线段最短的性质进行求解.
13．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O ，O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
【答案】2
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接O1C，O1B，
由正方形的性质得：∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，
∴∠GO1C=∠FO1B，
∴△GCO1≌△O1BF（ASA）
∴S△GCO1=S△O1BF
∴ O ，O 两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=正方形的面积=×2×2=1，
同理另外一个阴影部分的面积=正方形的面积=×2×2=1，
∴ 阴影部分的面积=1+1=2.
故答案为：2.
【分析】连接O1C，O1B，由正方形的性质得∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，由同角的余角相等得∠GO1C=∠FO1B，从而用ASA可证△GCO1≌△O1BF，可得 O ，O 两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=正方形的面积，同理可得另外一个阴影部分的面积=正方形的面积，继而得解.
三、解答题
14．（2018·吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，然后利用SAS判断出△ABE≌△BCF。
15．（2024八上·朝阳期末）已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
（2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明；
（2），推出，，根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可．
四、综合题
16．（2022九上·定南期中）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
【答案】（1）解：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）解：设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）设正方形的边长为x，则，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
17．（2023七下·娄星期中）某小区院内有一块边长为米的正方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）.中间部分将修建一个长为米，宽为米的长方形景点.
（1）用含a、b的式子表示绿化的面积；
（2）求出当，时的绿化面积.
【答案】（1）解：
，
故绿化的面积是平方米.
（2）解：∵，，
∴绿化的面积是（平方米），
答：当，时，绿化面积为81平方米
【知识点】代数式求值；整式的混合运算；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据面积间的和差关系结合正方形、矩形的面积公式可得绿化面积=(3a+b)2-(2a+b)(a+b)，然后利用整式的混合运算法则进行化简；
（2）将a=3、b=2代入（1）的式子中进行计算.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.6 正方形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考） 下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
2．如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在边AD，BC上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连结OC.若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．OC=EF
3．下列说法正确的是 （ ）
A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
4．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （ ）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
5．（2023九上·滨江开学考）如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形这个四边形一定是菱形这个四边形不可能是矩形这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
7．（2024·吴兴期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，问，当正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍时，两条直角边AM与BM的数量关系是（ ）.
A． B．BM C．BM D．BM
8．（初中数学浙教版八下精彩练第五章质量评估卷）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，不 添 加任何 辅 助线，请 添加一个条件： ，使得四边形ABCD 是正方形.
10．（2024九下·哈尔滨开学考）点O是正方形ABCD的对角线AC、BD交点，，点在BC边上，连接OF，，则BF的长为 ．
11．（2020·东港模拟）如图，已知正方形 的边长为3， 为 边上一点， ．以点 为中心，把△ 顺时针旋转 ，得△ ，连接 ，则 的长等于
12．（2021九下·青羊开学考）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm.
13．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O ，O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
三、解答题
14．（2018·吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
15．（2024八上·朝阳期末）已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
四、综合题
16．（2022九上·定南期中）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
17．（2023七下·娄星期中）某小区院内有一块边长为米的正方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）.中间部分将修建一个长为米，宽为米的长方形景点.
（1）用含a、b的式子表示绿化的面积；
（2）求出当，时的绿化面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
B、 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
C、 有三个角是直角的四边形是矩形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，是假命题，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形及菱形的判定方法逐项判断可得答案.
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥BC交BC于点H，如下图：
设CF＝a，则BF＝2a；
∵四边形ACD是矩形， EF∥AB ， AE=AB
∴四边形ABFE是正方形
∴BF=EF=2a，AF⊥BE，OB＝OF
∵OH⊥BC
∴OH＝BF＝a
∴HC＝2a
∴OC=a
∴EF：OC=2a：a，即 .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质和正方形的判定和性质，可得BF=EF=2a，AF⊥BE，OB＝OF；根据等腰直角三角形的性质，可得OH＝BF＝a；根据等量关系列等式，即可解题.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等但不互相垂直，故此选项错误；
B、菱形的对角线相互垂直，故此选项错误；
C、正方形的对角线相等且垂直，故此选项正确；
D、菱形的四个角不一定都是直角，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线相等、互相平分且垂直，即可逐项判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作与E，，
由题意可得则四边形ABCD为平行四边形，又∵是两把完全相同的直尺，∴又∵平行四边形ABCD的面积，∴，则平行四边形ABCD为菱形，故当是菱形ABCD为正方形，故这个四边形一定是轴对称图形，综上所述可知正确的论断有：①②④.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、矩形、菱形、正方形的判定、轴对称图形的判定.过点D作与E，根据题意可得则四边形ABCD为平行四边形，然后再通过等面积法求得即可判定四边形为菱形，在结合正方形和矩形的判定即可求解.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC于点F，AF=3，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴CF+CE=9，
在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，
∴，
解得x=5，
∴CE=5.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC=45°，从而得△AEF是等腰Rt△，由△EFC的周长为12，得CF+CE=9，在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设
由题意得：
∵正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】设则正方形ABCD的面积为，正方形EFGH面积为根据"正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍"，即可得到进而即可求解.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
9．【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD=90°或BD=AC时， 四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠BAD=90°(答案不唯一).
【分析】有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此解答即可.
10．【答案】或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过O作OH⊥BC交BC于点H
∵四边形ABCD是正方形，点O是正方形ABCD的对角线AC 、BD交点
∴△BOC是等腰直角三角形
∴OB=OC=AC=
∴BH=OH=1
∵OF=
∴FH==
∴BF=1-=或BF=1+=
故答案为：或.
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理，根据题意画出图形，进行计算即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC-DE=2，CE′=BC+BE′=4．
根据勾股定理得到：EE′= ．
故答案为：
【分析】根据旋转的性质得到BE′=DE=1，先求出EC、CE′的长，利用勾股定理求出EE′的长.
12．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
设正方形的中心为O，可证EF经过O点.
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得 ，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝ cm，
故答案为： .
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点，连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，易得MA、MG，然后根据两点之间、线段最短的性质进行求解.
13．【答案】2
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接O1C，O1B，
由正方形的性质得：∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，
∴∠GO1C=∠FO1B，
∴△GCO1≌△O1BF（ASA）
∴S△GCO1=S△O1BF
∴ O ，O 两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=正方形的面积=×2×2=1，
同理另外一个阴影部分的面积=正方形的面积=×2×2=1，
∴ 阴影部分的面积=1+1=2.
故答案为：2.
【分析】连接O1C，O1B，由正方形的性质得∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，由同角的余角相等得∠GO1C=∠FO1B，从而用ASA可证△GCO1≌△O1BF，可得 O ，O 两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=正方形的面积，同理可得另外一个阴影部分的面积=正方形的面积，继而得解.
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，然后利用SAS判断出△ABE≌△BCF。
15．【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
（2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明；
（2），推出，，根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可．
16．【答案】（1）解：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）解：设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）设正方形的边长为x，则，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
17．【答案】（1）解：
，
故绿化的面积是平方米.
（2）解：∵，，
∴绿化的面积是（平方米），
答：当，时，绿化面积为81平方米
【知识点】代数式求值；整式的混合运算；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据面积间的和差关系结合正方形、矩形的面积公式可得绿化面积=(3a+b)2-(2a+b)(a+b)，然后利用整式的混合运算法则进行化简；
（2）将a=3、b=2代入（1）的式子中进行计算.
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