2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.6 正方形同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
3．（2023九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：举反例说明即可，菱形四边相等，故A说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线互相垂直且相等，故B说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线相等，故C说法错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故D说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，举反例进行逐一判断即可求解.
4．如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为 （ ）
A．-2 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，∠C=90°，
∴，
∵∠BOC=45°，∠COD=15°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=30°，
∵BD⊥x轴，
∴∠BDO=90°，
∴，即点B的纵坐标的绝对值为，
∵点B在第三象限，
∴点B的纵坐标为.
故答案为：B.
【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OB，由正方形得性质得∠BOC=45°，∠C=90°，由勾股定理算出OB的长，进而根据含30°角直角三角形的性质可求出BD的长，即得出点B的纵坐标的绝对值，最后结合点B在第三象限可求出点B的纵坐标.
5．如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为 F，则EF 的长为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，AD=4
∴BD=，
∵∠BAE=22.5°
∴∠DAE=∠BAD- ∠BAE=90°-22.5° =67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADB-∠DAE=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=4，
∴BE=BD-ED=-4，
∵ EF⊥AB ，∠ABD=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴EF=BE= .
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得BD=，△ADE为等腰三角形，可得DE=AD=4，则BE=BD-ED=-4，易得△BEF为等腰直角三角形，可得EF=BE，继而得解.
6．如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.若∠BEC= 80°，则∠EFD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
∵ CE=CF，
∴ △BCE≌△DCF（SAS），
∴ ∠BEC=∠DFC=80°，
∵ CE=CF，∠DCF=90°，
∴ ∠EFC=45°，
∴ ∠EFD=∠DFC-∠EFC=80°-45°=35°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，依据SAS证明△BCE≌△DCF，得到∠BEC=∠DFC=80°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠EFC=45°，最后根据∠EFD=∠DFC-∠EFC即可求得.
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点作并延长交于点，作，
，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：A.
【分析】过点作并延长交于点，作，易证四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质得到，，进而通过余角的性质证得，然后通过AAS判定即可证得，即可计算出CE的长度.
8．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△BEF的面积 D．△AEH的面积
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设ME=x，HE=y，
矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
AM=x-y，HG=HE=y，
，
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】设ME=x，HE=y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，AM=x-y，HG=HE=y，再通过三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，进而判定一定能求得的面积.
二、填空题
9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数为 °.
【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠E=（180°-45°）=67.5，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由等边对等角和三角形的内角和定理可得∠ACE=∠E=67.5，然后根据角的构成∠BCE=∠ACE-∠ACB可求解.
10．如图，O是正方形ABCD 对角线的交点，E 是线段AO上一点.若 AB= ，OE=1， 则 DE 的长为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=
∴∠BAD=90°，BD⊥AC，∠ADB=45°，OD=BD，
∴BD=AB=，
∴OD=BD=，
∵OE=1，
∴ED=2.
故答案为：2.
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形性质可得BD=AB=，从而得出OD=BD=，再利用勾股定理求出DE的长即可.
11．（2024九上·防城期末）四边形是正方形，E，F分别是和的延长线上的点，且，连接，，.若，，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解： ∵四边形是正方形 ，
∴AB=AD=8，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF=90°，即∠ABF=∠D，
∵DE=BF，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴BF=DE=3，∠DAE=∠NAF，AE=AF
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠DAB=90°，即∠EAF=90°，
∴AF==，
∴的面积为AF·AE= ××=.
故答案为：.
【分析】证明△ABF≌△ADE（SAS），可得BF=DE=3，∠DAE=∠NAF，AE=AF，继而得出△AEF为等腰直角三角形，由勾股定理求出AF的长，再利用三角形的面积公式计算即可.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点О，试添加一个条件 ，使得矩形ABCD为正方形.
【答案】 答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=AD，
四边形ABCD是正方形.
故答案为：AB=CD.
【分析】邻边相等的矩形是正方形.
13．（2024八上·大竹期末）如图，在四边形中，，分别以为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，则 （填＞，＜或＝）．
【答案】=
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：
连接AC，
.
故答案为：=.
【分析】适当添加辅助线(连接AC)，分别在中利用勾股定理，从而可得解答.
三、解答题
14．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边相交于A，B两点，连结AB，求线段AB 长的最小值.
【答案】解：∵正方形ABCD，
∴OC=OD=OE，∠DCF=90°，OD平分∠CDE，
∴∠ADO=×90°=45°，
∵OA⊥CD，OB⊥DC，
∴OA=OB，∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，CA=DA=1
∴∠AOD=∠ADO，
∴AO=AD，
同理可知OB=BD，
∴OB=BD=OA=AD，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBO是正方形，
∴AB⊥OD，
∴此时AB的长最小，
∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可证OC=OD=OE，∠DCF=90°，OD平分∠CDE，同时求出∠ADO的度数，利用角平分线的性质可证得OA=OB，利用等腰三角形的性质可求出AD的长；再证明四边形ADBO是正方形，利用正方形的性质可证AB⊥OD，利用垂线段最短可证此时AB的长最小，利用勾股定理求出AB的长.
15．（2024·湖南模拟）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形：
（2）若四边形的面积为72，，求点F到线段的距离．
【答案】（1）证明：∵菱形的对角线和交于点O，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵正方形的面积为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积，
∴，
∴，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
∴，
即，
∴．
即点F到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得到，进而结合题意根据菱形的判定与性质证明四边形是菱形，进而即可得到，再结合题意运用正方形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质结合题意求出BO，进而根据菱形的性质得到，，菱形的面积，再运用勾股定理求出AE，进而设点F到线段的距离为h，运用三角形的面积公式结合题意即可求解。
四、综合题
16．（2021七上·宁远月考）如图所示，将边长为a的小正方形和边长为b的大正方形放在同一水平面上（）．
（1）用a、b表示阴影部分的面积；
（2）计算当，时，阴影部分的面积．
【答案】（1）解：图中阴影部分的面积：
．
（2）解：当，时，阴影部分的面积为：
=
【知识点】代数式求值；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由图形可得：S阴影=底为a+b、宽为a的三角形的面积-底为b、高为b的三角形的面积，据此解答；
（2）将a=3、b=5代入（1）的结果中计算即可.
17．（2023九上·船营期中）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①所示，∠O=90°，∠A=30°，∠E=45°，OD>OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°<α< 90°)度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图②．
（1）求α的值；
（2）如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转β(0° < β< 90°)度，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D交OD1于点G， OE1交AC于点H，点G是E2D2的中点．
①直接写出β的值；
②试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：
故
（2）解：①由题意得：
∵OE2=OD2，点G是E2D2的中点
∴OG⊥E2D2
②由题意可得：
∴四边形OHE2G是矩形
∵OG=GE2
∴ 四边形OHE2G 是正方形
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）①根据旋转性质可得，再根据点G是E2D2的中点且△DOE为等腰直角三角形，即可求出答案.
②根据直线平行性质，矩形判定定理可得四边形OHE2G是矩形，再根据等腰直角三角形性质，正方形判定定理即可求出答案.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.6 正方形同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
3．（2023九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4．如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为 （ ）
A．-2 B．
C． D．
5．如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为 F，则EF 的长为 （ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.若∠BEC= 80°，则∠EFD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
8．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△BEF的面积 D．△AEH的面积
二、填空题
9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数为 °.
10．如图，O是正方形ABCD 对角线的交点，E 是线段AO上一点.若 AB= ，OE=1， 则 DE 的长为 .
11．（2024九上·防城期末）四边形是正方形，E，F分别是和的延长线上的点，且，连接，，.若，，则的面积为 .
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点О，试添加一个条件 ，使得矩形ABCD为正方形.
13．（2024八上·大竹期末）如图，在四边形中，，分别以为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，则 （填＞，＜或＝）．
三、解答题
14．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边相交于A，B两点，连结AB，求线段AB 长的最小值.
15．（2024·湖南模拟）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形：
（2）若四边形的面积为72，，求点F到线段的距离．
四、综合题
16．（2021七上·宁远月考）如图所示，将边长为a的小正方形和边长为b的大正方形放在同一水平面上（）．
（1）用a、b表示阴影部分的面积；
（2）计算当，时，阴影部分的面积．
17．（2023九上·船营期中）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①所示，∠O=90°，∠A=30°，∠E=45°，OD>OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°<α< 90°)度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图②．
（1）求α的值；
（2）如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转β(0° < β< 90°)度，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D交OD1于点G， OE1交AC于点H，点G是E2D2的中点．
①直接写出β的值；
②试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：举反例说明即可，菱形四边相等，故A说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线互相垂直且相等，故B说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线相等，故C说法错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故D说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，举反例进行逐一判断即可求解.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，∠C=90°，
∴，
∵∠BOC=45°，∠COD=15°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=30°，
∵BD⊥x轴，
∴∠BDO=90°，
∴，即点B的纵坐标的绝对值为，
∵点B在第三象限，
∴点B的纵坐标为.
故答案为：B.
【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OB，由正方形得性质得∠BOC=45°，∠C=90°，由勾股定理算出OB的长，进而根据含30°角直角三角形的性质可求出BD的长，即得出点B的纵坐标的绝对值，最后结合点B在第三象限可求出点B的纵坐标.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，AD=4
∴BD=，
∵∠BAE=22.5°
∴∠DAE=∠BAD- ∠BAE=90°-22.5° =67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADB-∠DAE=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=4，
∴BE=BD-ED=-4，
∵ EF⊥AB ，∠ABD=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴EF=BE= .
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得BD=，△ADE为等腰三角形，可得DE=AD=4，则BE=BD-ED=-4，易得△BEF为等腰直角三角形，可得EF=BE，继而得解.
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
∵ CE=CF，
∴ △BCE≌△DCF（SAS），
∴ ∠BEC=∠DFC=80°，
∵ CE=CF，∠DCF=90°，
∴ ∠EFC=45°，
∴ ∠EFD=∠DFC-∠EFC=80°-45°=35°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，依据SAS证明△BCE≌△DCF，得到∠BEC=∠DFC=80°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠EFC=45°，最后根据∠EFD=∠DFC-∠EFC即可求得.
7．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点作并延长交于点，作，
，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：A.
【分析】过点作并延长交于点，作，易证四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质得到，，进而通过余角的性质证得，然后通过AAS判定即可证得，即可计算出CE的长度.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设ME=x，HE=y，
矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
AM=x-y，HG=HE=y，
，
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】设ME=x，HE=y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，AM=x-y，HG=HE=y，再通过三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，进而判定一定能求得的面积.
9．【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠E=（180°-45°）=67.5，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由等边对等角和三角形的内角和定理可得∠ACE=∠E=67.5，然后根据角的构成∠BCE=∠ACE-∠ACB可求解.
10．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=
∴∠BAD=90°，BD⊥AC，∠ADB=45°，OD=BD，
∴BD=AB=，
∴OD=BD=，
∵OE=1，
∴ED=2.
故答案为：2.
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形性质可得BD=AB=，从而得出OD=BD=，再利用勾股定理求出DE的长即可.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解： ∵四边形是正方形 ，
∴AB=AD=8，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF=90°，即∠ABF=∠D，
∵DE=BF，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴BF=DE=3，∠DAE=∠NAF，AE=AF
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠DAB=90°，即∠EAF=90°，
∴AF==，
∴的面积为AF·AE= ××=.
故答案为：.
【分析】证明△ABF≌△ADE（SAS），可得BF=DE=3，∠DAE=∠NAF，AE=AF，继而得出△AEF为等腰直角三角形，由勾股定理求出AF的长，再利用三角形的面积公式计算即可.
12．【答案】 答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=AD，
四边形ABCD是正方形.
故答案为：AB=CD.
【分析】邻边相等的矩形是正方形.
13．【答案】=
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：
连接AC，
.
故答案为：=.
【分析】适当添加辅助线(连接AC)，分别在中利用勾股定理，从而可得解答.
14．【答案】解：∵正方形ABCD，
∴OC=OD=OE，∠DCF=90°，OD平分∠CDE，
∴∠ADO=×90°=45°，
∵OA⊥CD，OB⊥DC，
∴OA=OB，∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，CA=DA=1
∴∠AOD=∠ADO，
∴AO=AD，
同理可知OB=BD，
∴OB=BD=OA=AD，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBO是正方形，
∴AB⊥OD，
∴此时AB的长最小，
∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可证OC=OD=OE，∠DCF=90°，OD平分∠CDE，同时求出∠ADO的度数，利用角平分线的性质可证得OA=OB，利用等腰三角形的性质可求出AD的长；再证明四边形ADBO是正方形，利用正方形的性质可证AB⊥OD，利用垂线段最短可证此时AB的长最小，利用勾股定理求出AB的长.
15．【答案】（1）证明：∵菱形的对角线和交于点O，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵正方形的面积为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积，
∴，
∴，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
∴，
即，
∴．
即点F到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得到，进而结合题意根据菱形的判定与性质证明四边形是菱形，进而即可得到，再结合题意运用正方形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质结合题意求出BO，进而根据菱形的性质得到，，菱形的面积，再运用勾股定理求出AE，进而设点F到线段的距离为h，运用三角形的面积公式结合题意即可求解。
16．【答案】（1）解：图中阴影部分的面积：
．
（2）解：当，时，阴影部分的面积为：
=
【知识点】代数式求值；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由图形可得：S阴影=底为a+b、宽为a的三角形的面积-底为b、高为b的三角形的面积，据此解答；
（2）将a=3、b=5代入（1）的结果中计算即可.
17．【答案】（1）解：由题意可得：
故
（2）解：①由题意得：
∵OE2=OD2，点G是E2D2的中点
∴OG⊥E2D2
②由题意可得：
∴四边形OHE2G是矩形
∵OG=GE2
∴ 四边形OHE2G 是正方形
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）①根据旋转性质可得，再根据点G是E2D2的中点且△DOE为等腰直角三角形，即可求出答案.
②根据直线平行性质，矩形判定定理可得四边形OHE2G是矩形，再根据等腰直角三角形性质，正方形判定定理即可求出答案.
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