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上海市2023-2024学年八年级数学下学期期末模拟试卷
满分：100分 测试范围：八下全部内容
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列事件为必然事件的是
A．抛掷一枚硬币，正面向上
B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球
C．任画一个三角形，它的内角和为
D．如果，那么
2．一次函数的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．菱形的面积为2，其对角线分别为、，则与的图象大致为
A． B．
C． D．
4．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为
A． B． C． D．
5．已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是
A． B． C． D．
6．乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是
A．乐乐走了200米后返回家拿书
B．乐乐在家停留了3分钟
C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校
D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ．
8．关于方程的解是 ．
9．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为 ．
10．已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是 ．
11．如图，在梯形中，，且，，则 ．
12．将直线沿轴向上平移5个单位，可得直线的解析式 ．
13．一次函数的函数值随自变量的值增大而减小，则的取值范围是 ．
14．两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，两人随机同时出手一次，平局的概率为 ．
15．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
16．2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则可列出关于的方程 ．
17．如图，梯形中，，点、分别是对角线，的中点，如果，，那么 ．
18．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在中，，，且的面积为．如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围 ．
三．解答题（共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．．
20．（1）解方程：．
（2）解方程组：．
21．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
22．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
23．如图，平行四边形中，点是边的中点，联结并延长，与的延长线交于点．设，．
（1）写出所有与相等的向量： ；
（2）试用向量、表示向量，则 ；
（3）在图中求作：．
（不要求写作法，但要写出结果）
24．如图，平行四边形中，是边上的一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴、轴分别相交于点、，直线与轴交于点，与直线相交于点，点在第二象限．已知的面积为18．
（1）求直线的表达式；
（2）点是直线上一点，点是轴上一点，如果以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点、的坐标．
26．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，作交于点，过点作射线垂线段，垂足为点，得到矩形，设点的运动时间为秒．
（1）求点与点重合时的值；
（2）设矩形与菱形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）设矩形的对角线与相交于点，
①当时，的值为 ；
②时，求出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
上海市2023-2024学年八年级数学下学期期末模拟试卷
满分：100分 测试范围：八下全部内容
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列事件为必然事件的是
A．抛掷一枚硬币，正面向上
B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球
C．任画一个三角形，它的内角和为
D．如果，那么
【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可．
【解答】解：、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；
、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；
、任画一个三角形，它的内角和为，是必然事件，符合题意；
、如果，那么，是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．
2．一次函数的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由于，，根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数的图象经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，即还要过第一象限．
【解答】解：，
一次函数的图象经过第二、四象限，
，
一次函数的图象与轴的交点在轴上方，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
即一次函数的图象不经过第三象限．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
3．菱形的面积为2，其对角线分别为、，则与的图象大致为
A． B．
C． D．
【分析】先根据题意确定与之间的函数关系式，再根据、的实际意义确定其图象所在的象限即可．
【解答】解：菱形的面积为2，其对角线分别为、，，
与之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义、，其图象在第一象限．
故选：．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为
A． B． C． D．
【分析】根据题意将原方程换元并整理即可．
【解答】解：设，
则原方程化为：，
即，
故选：．
【点评】本题考查换元法解分式方程，结合已知条件将原方程化为是解题的关键．
5．已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量模的定义、相等向量的定义以及向量加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：、由题意可知，故符合题意．
、与方向不一定相同，故不符合题意．
、是带有方向和数量的，故不符合题意．
、仍然是向量，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是正确理解平面向量模的定义、相等向量的定义以及向量加减运算法则，本题属于基础题型．
6．乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是
A．乐乐走了200米后返回家拿书
B．乐乐在家停留了3分钟
C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校
D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校
【分析】从图象可以知道，2分钟时乐乐返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校．
【解答】解：、乐乐走了200米后返回家拿书，正确，不合题意；
、乐乐在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意；
、乐乐以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意；
、乐乐在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了函数图象，正确认识图象和熟练运用待定系数法是解好本题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ， ．
【分析】把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了二元二次方程，把看成常量，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键．
8．关于方程的解是 ．
【分析】根据一元一次方程的解法可进行求解．
【解答】解：，
，
；
故答案为．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法及分式的加法，熟练掌握一元一次方程的解法及分式的加法是解题的关键．
9．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为 32 ．
【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可得，即可求解．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
平行四边形的周长为：，
故答案为：32．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，找到并求出的长是解决本题的关键．
10．已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是 ．
【分析】由两直线平行可得出，根据直线上一点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解．
【解答】解：直线与直线平行，
，．
直线过点，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题以及一次函数图象上点的坐标特征，由两直线平行找出，是解题的关键．
11．如图，在梯形中，，且，，则 ．
【分析】过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得到，，得到，求出．
【解答】解：过点作于，过点作于，
，
四边形为矩形，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了梯形的性质、等腰直角三角形的性质，关键是作辅助线构建直角三角形．
12．将直线沿轴向上平移5个单位，可得直线的解析式 ．
【分析】直接根据“上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】解：将直线向上平移5个单位长度后，所得直线解析式为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
13．一次函数的函数值随自变量的值增大而减小，则的取值范围是 ．
【分析】根据一次函数的性质计算即可．
【解答】解：一次函数的函数值随的增大而减小，
，
的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．
14．两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，两人随机同时出手一次，平局的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，平局的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，平局的结果数为3，
所以两人随机同时出手一次，平局的概率．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
15．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 八 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是，根据题意得，
，
解得，
这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
16．2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则可列出关于的方程 ．
【分析】增长率问题中的一般公式为，其中为共增长了几年，为第一年的原始数据，是增长后的数据，是增长率．
【解答】解：根据题意得，，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
17．如图，梯形中，，点、分别是对角线，的中点，如果，，那么 8 ．
【分析】连接，并延长交于，由，推出，，得到是的中位线，即可求出的长，于是得到的长．
【解答】解：连接，并延长交于，
，
，，
，
，
，，
，
是的中位线，
，
，
，
．
故答案为：8．
【点评】本题考查梯形，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是通过作辅助线构造全等三角形，从而推出是的中位线．
18．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在中，，，且的面积为．如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围 ．
【分析】由的面积为可得的高为，然后再分三角形的高取最大值和最小值两种情况求解即可．
【解答】解：的面积为，
的边上的为高，
如图：当高取最小值时，为等边三角形，
点与或重合，
如图：过作，垂足为
等边三角形，，
，，．
，
，
，即．
如图：
当高取最大值时，菱形为正方形，
点在的中点，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，灵活运用相关知识是解答本题关键．
三．解答题（共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．．
【分析】根据方程的特点可以构造平方差公式，进而转化为一元二次方程，解一元二次方程即可，最后根据无理方程的特点，要进行检验．
【解答】解：①，
设②，
①②得：，
解得：，
③，
①③得：，
两边同时平方，得：，
整理得：
解得：，，
检验，当时，，
是原方程的解，
当时，，不符合题意，舍去，
原方程的解为．
【点评】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键．
20．（1）解方程：．
（2）解方程组：．
【分析】（1）首先把原方程转化为，再去分母，将方程两边同时乘以得，然后解这个整式方程求出，最后再验根即可得出原方程的解；
（2）先将转化为，进而得，据此可将原方程中转化为①，②，然后解这两个二元一次方程组即可得出原方程中的解．
【解答】解：（1）原方程可转化为，
去分母，方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
解得：，，
检验：当时，，
当时，，
是增根，
原方程的解为：；
（2）由，得：，
，
原方程中可转化为①，②，
解①得：；
解②得：．
原方程组的解为：；．
【点评】此题主要考查了解分式方程和解二元二次方程组，解答（1）得关键是熟练掌握利用去分母把分式方程转化为整式方程得方法与技巧，由于去分母把分式方程转化为整式方程，扩大了未知数得取值范围，因此会产生增根，所以必须验根，这也是解答此类问题的易错点之一；解答（2）得关键是熟练掌握把二元二次方程组转化为两个二元一次方程组的方法与技巧．
21．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
【分析】设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，根据甲计划缴纳养老保险金的年数比乙要多4年，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，不符合题意，舍去，符合题意．
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的，求出对应的的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设，
根据题意得，解得，
；
设，
根据题意得：，
解得，
；
（2）解方程组
解得：，
出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当时，，
；
当时，，
解得；
，
选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．
23．如图，平行四边形中，点是边的中点，联结并延长，与的延长线交于点．设，．
（1）写出所有与相等的向量： ， ；
（2）试用向量、表示向量，则 ；
（3）在图中求作：．
（不要求写作法，但要写出结果）
【分析】（1）根据相等向量的定义判断即可．
（2）利用三角形法则计算即可．
（3）根据，可得结果．
【解答】解：（1）写出所有与相等的向量：，
故答案为：，．
（2），
故答案为：．
（3），
如图，连接，即为所求．
【点评】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，平行四边形中，是边上的一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．
【分析】（1）首先推导出，进而得证；
（2）由证明，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长是．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明四边形为矩形是解决问题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴、轴分别相交于点、，直线与轴交于点，与直线相交于点，点在第二象限．已知的面积为18．
（1）求直线的表达式；
（2）点是直线上一点，点是轴上一点，如果以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点、的坐标．
【分析】（1）把代入即得：；由的面积为18，可得，即，即可得，再用待定系数法求得直线解析式即可；
（2）设，，当时，则直线为，代入点的坐标，即可求得，然后利用等腰梯形的性质得出，即，解得，即可求得、的坐标；当时，则，然后利用等腰梯形的性质得出，即，解得，即可求得点的坐标．
【解答】解：（1）把代入得：，
解得：；
直线解析式为，
令得，令得，
，，
，
，
的面积为18，
，即，
解得或，
点在第二象限，
，
在中，令，得，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为；
（2）设，又，，
设，
当时，则直线为，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍去），
，
，；
当时，则，
，
，
解得或（舍去），
，
综上，，或，．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积、梯形的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，作交于点，过点作射线垂线段，垂足为点，得到矩形，设点的运动时间为秒．
（1）求点与点重合时的值；
（2）设矩形与菱形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）设矩形的对角线与相交于点，
①当时，的值为 4 ；
②时，求出的值．
【分析】由四边形是菱形，，可得，，，，，
（1）点与点重合时，，有，即得；
（2）①当在边上，即时，，
②当在边延长线上，即时，设交于，求出，即可得到答案；
（3）①当时，证明是的中位线，得是中点，从而可得与重合，此时，与重合，解可得到；
②当时，延长交于，证明是的中位线，从而可得，而在中，，，
故，即得．
【解答】解：四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
（1）点与点重合时，，
，
；
（2）①当在边上，即时，如图：
矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积，
，
②当在边延长线上，即时，设交于，如图：
在中，，，
，，
，
矩形与菱形重叠部分图形的面积，
综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积，
（3）①当时，如图：
四边形是矩形，
是的中点，
，
是的中位线，
是中点，
，
又是中点，，
与重合，此时，与重合，
；
故答案为：4；
②当时，延长交于，如图：
，
，
是的中点，
是的中位线，
是的中点，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
，，
，
．
【点评】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．
