四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题(含答案)

高2026届第二学期5月月考数学（学科）试题
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，只将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，且，则 （）
A． B． C． D．
2．已知，则的实部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
6．化简=（ ）
A． B． C．2 D．1
7．在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A．B．在复平面对应的点位于第二象限C．D．为纯虚数
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角为D．向量在上的投影向量为
11．在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为直角三角形
D．若，则一定是等腰三角形
12．O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A．O为的外心
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．复数是纯虚数，则实数．
14．已知非零向量，的夹角为，，，则.
15．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为m.
16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为.
四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）
设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与平行，求实数的值．
（12分）
已知．
(1)求及的值；
(2)若，，，求．
（12分）
已知，，，求：
(1)；
(2)与的夹角.
20．（12分）
如图，在平面四边形中，，，，，．
(1)求边的长；
(2)求的面积．
21.（12分）
的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)若角为钝角，直接写出的取值范围.
22.（12分）
在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知，若______，则唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高2026届第二学期5月月考数学（学科）参考答案
D2．C3．A4．D 5．B
6．A【详解】.
7．C【详解】因为为上任意一点，，因为三点共线，所以由共线定理得，则，当且仅当且，即时取等号，此时的最小值是12．故选：C
B【解】设为斜边上的高，则圆的半径，设为斜边的中点，，则，因为，，则，
故当时，的最小值为.故选：B.
9．AD【解】对A，根据复数模的公式，，故A正确；对B，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故B错误；对C，，而，故C错误；对D，，，故D正确.故选：AD.
10．BD【解】由得，对于A. ，故A错误，对于B. ，故B正确，
对于C. ，由于，所以向量与的夹角为，故C错误，对于D. 向量在上的投影向量为，故D正确，故选：BD
11．ABC【解】对于A中，因为，可得，所以，所以，所以A正确；
对于B中，由为锐角三角形，可得，则，因为，可得，
又由函数在上为单调递增函数，所以，所以B正确；对于C中，由，由正弦定理可得，所以则为直角三角形，所以C正确；对于D中，由，可得或，可得或，所以一定是等腰三角形，所以D不正确.故选：ABC.
12．BCD【解】因为，同理，，故O为的垂心，故A错误；根据垂心可得，，所以，
又，所以，又，所以，故B正确；，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确；设，，的面积分别为，，，则
，同理可得，所以，又，所以，
故D正确.故选:BCD.
13．114．6
15．【解】在中，由正弦定理，得，在中，（）.故答案为：
16．【解】由，则，故，所以，又为锐角三角形，则，且，则，而，则，，所以，
又，且，所以，则.故答案为：.
17．【详解】（1）证明：由向量可得，
，所以，可得，又因为和有公共点，
所以三点共线．
（2）解：由向量与平行，则存在实数，使得，即，
又是不共线的两个非零向量，可得，解得，所以实数的值为.
18．【解】（1）因为，所以，解得，所以，
.
（2）因为，，所以，由，解得或（舍去），又，，所以，
所以.
19．【解】（1）由得，平方得：，又因为，，所以，则.
（2），设与的夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
20．【解】（1）在中，，由正弦定理得．
（2）在中，由余弦定理得．
∴．∴．
21．【解】（1）由和正弦定理得，，
因，则有，因，则得，又，故.
（2）由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，
故的面积为.
（3）由正弦定理，可得，因，代入化简得：,因为钝角，故由可得，
则，，即，故的取值范围是.
22．【解】（1）解：若选择①②：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称，即，即，因为，可得，所以；
若选择②③：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由，可得，因为函数在为单调递增函数，则满足，解得，
所以，所以；
若选择①③：由对任意的，都有，可得关于对称，即，即，又由函数在为单调递增函数，可得，解得，
又由，可得，因为函数在为增函数，则满足，解得，所以，即，
因为，所以，此时，所以.
（2）解：由，因为，可得，所以，即，又由对任意的，不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，令，即恒成立，
令在上为单调递增函数，则，所以，即实数的取值范围为.