云南省玉溪市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题（含答案）

玉溪一中2023-2024学年下学期高二年级第二次月考
数学试卷
考试时间：120分钟； 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（ ）
A．144 B．240 C．576 D．1440
4．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
x 3 4 5 6 7 8 9
y 4.0 2.5 0.5
根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．根据玉溪一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高二年级小王同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小王同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据12，23，35，47，61的第75百分位数为47
B．随机变量，则
C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强
D．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为84，则
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．与 的定义域不同
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，若，则
11．在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B．
C．
D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知随机变量X服从正态分布，若，则 ．
13．已知点A、B、C在球O上，球心O到截面ABC的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ．
14．已知函数是图象的一条对称轴，在区间上单调，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）2025年，玉溪一中将迎来百年华诞，在本次庆祝活动中，学校某社团计划设计一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
(1)求小明恰好套中2次的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
16．（15分）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
17．（15分）如图，△ABC中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且.
(1)证明：BC⊥平面PBE；
(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
18．（17分）已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线：交于点A.
(1)求，的方程；
(2)作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.
19．（17分）．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
(3)若函数在区间上无零点，求的取值范围.
玉溪一中2023-2024学年下学期高二年级第二次月考
数学试卷参考答案
一、单选题
1、A 2、B 3、D 4.C 5．B 6．D 7．A 8．A
二、多选题
9．ABD 10．AD 11．BCD
三、填空题
12．0.4 13． 14．
三、解答题
15．（13分）
解：（1）记“小明恰好套中2次”为事件A，分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；则：，
小明恰好套中2次的概率为；
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以.
16．（15分）
解：（1）依题意可得，∵①，当时，②，
，
，，∵，∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，．
（2）由（1）可得，
∴
．
17．（15分）
解：（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴，
∵，∴又∵平面，
∴EF⊥平面PBE，∴平面PBE；
（2）取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC⊥平面PBE，BC 平面BCFE，
∴平面PBE⊥平面BCFE，
∵，∴，
又∵PO 平面PBE，平面PBE∩平面，∴PO⊥平面BCFE，
过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，.，，
设平面PCF的法向量为，
由，取，得，
由图可知为平面PBE的一个法向量，
∴，
∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
18．（17分）
解：（1）双曲线的焦点为过点，则有，解得，
则，由抛物线也过，得，则，
所以，的方程分别为，.
（2）由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在，设的方程为，
由消去y得：，，
即，则，，
，
又，故，
由，得，即
，
整理得：，即，
显然不在直线上，即，于是，满足，
因此直线的方程为，即，恒过定点，
所以直线过定点.
（17分）
解：（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；
（3），当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，令，则在区间上恒成立，所以在单调递减，且，
①当时，此时在区问上恒成立，
所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，
②当时，此时，由于且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，的取值范围为.