21.1 二次函数 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
情景导入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，投篮等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
1. 一次函数的一般形式是_________________.
y＝kx＋b (k≠0)
2. 一元二次方程的一般形式是______________________，
为什么a≠0？____________________________________
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
当a＝0时，方程不是一元二次方程．
某正方形边长为x，面积为S，则其面积S与边长x之间的函数关系式是什么？它是一次函数吗？为什么？
函数关系是S＝x2，不是一次函数，因为右边不是x的一次式．
旧知回顾
导入新课
●一次函数：
●正比例函数：
一条直线
●反比例函数：y= (k≠0)
（我们后面学）
双曲线
思考：
●什么是二次函数？
●二次函数的图象是什么样的？
y=kx+b (k≠0)
y=kx (k≠0)
函数
观察下面图片，说说这些是什么样的曲线？
喷泉形成的轨迹
拱桥
问题1 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
问题2 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？
设增加 x 人，这时，则共有 个装配工,每人每天可少装配10x 个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为y=________________.
(15+x)
(190－10x)
整理为：
y=－10x2+40x+2850
(190－10x)(15+x)
每天装配玩具总数y与增加x人之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
根据上述探究，回答以下问题：
(1) 问题①中，矩形面积S与其一边长x之间的函数关系式为S＝－x2＋20x (0＜x＜20)，它是一次函数吗？为什么？
(2) 问题②中，增加x人后，每天装配玩具总数y可表示为
y＝－10x2＋40x＋2850．它是一次函数吗？为什么？
它不是一次函数；右边不是x的一次式．
它不是一次函数；右边不是x的一次式．
上面两个函数解析式具有哪些共同特征？
新知探究
一般地，表达式形如 y＝ax2＋bx＋c
(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数．其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
概念归纳
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
概念归纳
1.下列函数中是二次函数的有 。
二次函数：y=ax +bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
√
a=0
×
最高次数是4
×
×
√
=x2
√
①⑤⑥
练一练
2.下列函数关系式中，一定为二次函数的是(　　)
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
3.下列各式中，y是x的二次函数的是(　　)
A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2 D．x2－y2＋1＝0
C
B
练一练
4.分别指出下面三个函数解析式中各项的系数．
二次项系数 一次项系数 常数项
y＝3x2(x＞0)
d＝n2－n(n≥3)
y＝2x2＋4x＋10
3
0
0
0
2
4
10
练一练
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
总结归纳
二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.
想一想
列出下列函数的关系式．
(1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式为_________．
(2)某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？______________．
S＝6πr2
y＝20(1＋x)2
在实际问题中列二次函数的解析式
新知探究
(3) n 支球队参加比赛，每
两队之间进行一场比赛，
则比赛的场次数 m 与球队
数 n 之间的关系式为
_____________.
一直角三角形两直角边之和为 20，其中一条直角边长为 x，写出它的面积 S 与直角边长 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围．
解：根据题意，得
自变量 x 的取值范围是0＜x＜20．
练一练
二次函数定义的应用
例1.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知,
解得
（2）由题可知,
解得
m=3.
注意： 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
新知探究
1.已知: ，k取什么值时，y是x的二次函数？
解：当 =2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.
解：
由题意得：
∴m≠±3
练一练
解：
由题意得：
【解题归纳】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
练一练
例2：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
典例剖析
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得 x2－18x＋72＝0，
解得 x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
思考：
1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取值范围是什么？
2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
例3. 一个二次函数 .
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
将x=0.5代入函数关系式 .
（2）当k=2时，
求二次函数的值
新知探究
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
总结归纳
1.若函数 是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为 .
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
练一练
2.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量 就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）
练一练
3.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
练一练
1.设圆的半径为 r，请填空：
（1）这个圆的周长 C = ，它是 r 的 函数；
（2）这个圆的面积 S= ，它是 r 的 函数.
课本练习
2.在下列表达式中，哪些是二次函数？
（1）正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可表示为
b = 0.8（220-a）；
（2）圆锥的高为 h，它的体积V与底面半径r之间的关系可表示为
（h为定值）；
2πr
一次
πr
二次
（3）物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系可表示为
（g为定值）；
（4）导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，电功率P与电流1之间的关系可表示为
（R 为定值）.
【解析】（2）（3）（4）是二次函数.
解：y=3x2－1，y=5x2－2x，y=－2x2+x－1，
y=(x－2)(2x+1)是二次函数.
1. 在下列表达式中，x为自变量，问哪些是二次
函数？
y=3x2－1，y=5x2－2x，y=－2x2+x－1，
y=4－x3， ， ，y=(x－2)(2x+1).
习题21.1
2.正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积
增加y，求y与x之间的函数表达式.
解：y=x2+10x(x≥0)
解：S=2x2+32x(x＞0).
3.长方体的长与宽均为x，高为8，求长方体表面积S与x之间的函数表达式.
从已知半径为R的圆板上挖掉一个半径为r
(r＜R)的同心圆版，求所剩圆环面积S与r之间的函数表达式.
4.
解：S=πR2－πr2(0＜r＜R) .
在一块一边长为35 m、另一边长为20 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出宽度为x m的小路，中间花坛面积为y m2，求y与x之间的函数表达式.
5.
解：y=4x2－110x+700(0＜x＜10).
某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月销售增长率为x，求三月份销售额y与x之间的函数表达式.
6.
解：y=50x2+100x+50.
ax2＋bx＋c
自变量
D
分层练习-基础
B
A
y＝－x2－x＋2
－1
－1
2
分层练习-基础
实
有意义
C
B
分层练习-基础
分层练习-基础
D
B
分层练习-巩固
－5
2
a(1＋x)2
二次
分层练习-巩固
y＝－2x2＋30x
5≤x＜15
分层练习-巩固
分层练习-拓展
A
课堂反馈
课堂反馈
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
课堂小结