第十一章 反比例函数（小结与思考）（单元复习课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共50张PPT)
第11章 反比例函数
小结与思考
学习目标
1.进一步理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图像和性质;
2.进一步体会数形结合的数学思想方法，能用反比例函数解决某些实际问题；
3.体会反比例函数是分析解决实际问题的一种有效的数学模型.
知识框架
第11章 反比例函数
概念
表达式
图像
一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数.
一般式：y=(k为常数，k≠0)
乘积式：xy=k(k为常数，k≠0)
负整数指数幂的形式：y=kx-1(k为常数，k≠0)
画法
描点法：列表、描点、连线
形状
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
性质
应用
k的几何意义：过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积等于；
过双曲线上任意一点作x轴或y轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积等于.
双曲线，中心对称图形，原点为对称中心
行程问题、工程问题、图形面积问题、跨学科问题、生活实际问题等.
考点分析
考点一　反比例函数的概念
例1 下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成y=的形式，并指出k的值.
(1)yx； (2)yx-1； (3)xy+2=0； (4)y=+1.
解：(1)不是反比例函数；
(2)是反比例函数，y=，k=4；
(3)是反比例函数，y=，k=-2；
(4)不是反比例函数.
变式1 已知函数y=(a-3)x|a|-4是反比例函数，求a的值.
解：由题意，得|a|-4=-1,
解得a=±3.
又因为a-3≠0，即a≠3，所以a=-3.
考点分析
考点分析
变式2 已知y+2与x-1成反比例，且当x=2时，y=-5，求y与x间的函数表达式，并求出当x=5时，y的值.
解：∵y+2与x-1成反比例，
∴y+2=，
∵当x=2时，y=-5，
∴k=(-5+2)×(2-1)=-3，
∴y+2=，
∴y与x的函数表达式为y=，
把x=5代入y=中可得：
y=.
方法总结
反比例函数表达式的三种形式：
(1)一般式：y=(k为常数，k≠0).
(2)乘积式：xy=k(k为常数，k≠0).
(3)负整数指数幂的形式：y=kx-1(k为常数，k≠0).
注意：反比例函数的比例系数k≠0.
巩固练习
1.下列函数中，能表示y是x的反比例函数的是(　　)
A. y＝ B. y＝－ C. y＝ D.y＝－2
B
2.下列说法不正确的是(　　)
A.在y＝－1中，y＋1与x成反比例 B.在xy＝－2中，y与成正比例
C.在y＝中，y与x成反比例 D.在xy＝－3中，y与x成反比例
C
巩固练习
3. 当m＝______时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数.
1
4.若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数表达式为____________.　
y＝
5. 已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x成____比例. (填“正”或“反”)
反
巩固练习
6.已知y＝y1＋y2，y1与x－1成正比例，y2与x＋1成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.
解：(1)∵y1与x－1成正比例，y2与x＋1成反比例，
∴设y1＝k1(x－1)，y2＝(k1k2≠0)．
∵y＝y1＋y2，当x＝0时，y＝－3；
当x＝1时，y＝－1，
∴解得
∴y＝x－1－.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当x＝－时，求y的值.
(2)把x＝－代入(1)中的函数表达式，得y＝－.
考点分析
考点二　反比例函数的图像和性质
例2 已知反比例函数y=(m为常数).
(1)若函数图像经过点A(-1，6)，求m的值；
(2)若函数图像在第二、四象限，求m的取值范围；
(3)若当x>0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围.
解：(1)∵函数图像经过点A(-1，6)，∴m-8=xy=-1×6=-6，解得m=2.
(2)∵函数图像在第二、四象限，∴m-8<0，解得m<8，∴m的取值范围是m<8.
(3)∵当x>0时, y随x的增大而减小, ∴m-8>0，解得m>8，∴m的取值范围是m>8.
巩固练习
1.对于反比例函数y=-，下列说法不正确的是 (　　)
C
A.其图像经过点(1，-4)
B.其图像在第二、四象限
C.y随x的增大而增大
D.其图像成中心对称
巩固练习
2. 若ab<0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=，在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是(　　)
B
巩固练习
3.如图是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图像，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为____________.(用“＜”连接)
k1＜k2＜k3
巩固练习
4. 在反比例函数y＝(k为常数)的图像上有三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为____________.
y1＜y3＜y2
5.已知反比例函数y= (k是不为0的常数)的图像在第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图像经过__________________.
第一、三、四象限
巩固练习
6. 如图，是反比例函数的图像的一支，根据图像回答问题：
(1)常数m的取值范围是__________；图像的另一支在第______象限；
在每个象限内y随x的增大而______；
三
减小
(2)在该函数图像上取点，和，如果，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接，其结果为________________；
巩固练习
(3)若点，在反比例函数的图像上，求：m，n的值以及反比例函数表达式．
(3) 将代入，得：，
解得，
，
在反比例函数的图像上，
，解得，
综上可知，，，反比例函数表达式为．
考点分析
考点三　反比例函数中k的几何意义与图形面积问题
例3 在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图像交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为_____.
O
x
y
B
M
A
解:如图，设点A的坐标为(a，b)，点B的坐标为(c，d).
∵反比例函数y＝的图像过A、B两点，
∴ab＝4，cd＝4.
∴S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2.
∵点M的坐标为(－3，2)，
∴S矩形MCOD＝3×2＝6，
∴四边形MAOB的面积＝S△AOC＋S△BOD＋S矩形MCOD＝2＋2＋6＝10.
10
巩固练习
1.如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P1A1O、 △ P2A2O、 △ P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )．
A．S1C．S1D
巩固练习
2.如图，点A、B是函数y=(k＞0)的图像上关于原点对称的任意两点，过A、B两点作x轴的垂线，垂足为C、D，连接BC、AD，则 ACBD的面积是 .
2k
巩固练习
3.如图，反比例函数y＝的图像经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为________．
4
巩固练习
4.反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图像如图所示，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，则△AOB的面积为________.
1
巩固练习
5. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为_______.
2
巩固练习
6.如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图像经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图像上，并说明理由．
解： (1)点F在该反比例函数的图像上．理由如下：
∵，四边形为矩形．∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为
又∵点F为的交点．
∴F为的中点，∴
又∵，
∴点F在该反比例函数的图像上．
巩固练习
6.如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(2)连接，求四边形的面积．
(2)如图，过点D作轴于点G．
∴四边形为矩形．
又∵，
∴，
又∵D，E在反比例函数的图像上．
．
G
考点分析
考点四　反比例函数与一次函数的综合应用
例4 如图，一次函数y=k1x+b的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图像交于C、D两点，点C的坐标为(2，4)，B是线段AC的中点.
(1)求一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的表达式；
解：(1)∵点C(2，4)在反比例函数y=的图像上，∴k2=2×4=8，
∴反比例函数的表达式为y=.
∵C(2，4)，B是线段AC的中点，∴B(0，2).
∵点B、C在函数y=k1x+b的图像上，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y=x+2.
(2)求△COD的面积；
(3)直接写出当x取什么值时，k1x+b<.
(2)由，解得或，
∴D(-4，-2),
∴S△COD=S△BOC+S△BOD=×2×2+×2×4=6.
(3)由图像可得，当0考点分析
方法总结
(1)反比例函数表达式中只有一个待定系数时，只要代入一对x，y的值(即一个点的坐标)，就可以确定待定系数，求出函数表达式．
(2)求反比例函数值大于正比例函数值时自变量的取值范围，即求双曲线在直线上方的部分对应的x的取值范围．在x轴上取一点，作x轴的垂线与两个函数图像相交，则两个交点的横坐标相同，哪个点在上方哪个点对应的函数值就大．
(3)将点的坐标转化为线段的长度，再与图形的面积联系起来．横坐标相等的两点间的距离就是它们纵坐标差的绝对值，纵坐标相等的两点间的距离就是它们横坐标差的绝对值．
巩固练习
1. 已知正比例函数与反比例函数，它们的图像的共同特征是( )
A．这两个函数的图像都在第一象限与第三象限；
B．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；
C．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小；
D．点（，）与点（，）皆为这两个函数图像的公共点．
D
巩固练习
2.一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2＝(k1·k2≠0)的图像如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是(　　)
A.－1＜x＜0或x＞4
B.－1＜x＜4
C.x＜－1或x＞4
D.x＜－1或0＜x＜4
D
巩固练习
3.如图所示, 正比例函数y＝ax的图像与反比例函数y＝的图像交于点A(3, 2)．
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
(3, 2)
解：(1)将点A(3，2)的坐标分别代入y＝ax，
y＝ 中，得3a＝2，2＝，
解得a＝，k＝6.
∴正比例函数的表达式为y＝x，
反比例函数的表达式为y＝.
巩固练习
(2)根据图像回答：在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3, 2)
(2)观察图像，得在第一象限内，当0巩固练习
(3)M(m，n)是反比例函数图像上的一个动点，其中0(3, 2)
(3)BM=DM
理由：∵ MB∥x轴, AC∥y轴，
∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，∴ OCDB是矩形.
∵M和A都在双曲线y=上，∴S△OMB=S△OAC=×|k|=3，
又∵S四边形OADM=6，
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，
即OC×OB=12，
∵OC=3，∴OB=4，即n=4∴m==
∴MB=，MD=3 =，∴MB=MD.
巩固练习
4.如图，一次函数y＝kx＋b的图像与反比例函数y＝(x＞0)的图像交于点P(n，2)，与x轴交于点A，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC，S△PBC＝4.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
解：∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴O为AB的中点，即OA＝OB.
∵S△PBC＝4，∴ OB·PB＝4.
∵P(n，2)，∴PB＝2，∴OA＝OB＝4，
∴P(4，2)，B(4，0)，A(－4，0)，
将(－4，0)与(4，2)代入y＝kx＋b，
得 解得
∴一次函数的表达式为y＝ x＋1.
将(4，2)代入反比例函数y＝，得2＝，解得m＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．
巩固练习
(2)反比例函数图像上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
D
解：假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形．
过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D，连接PD，BD，如图．
令一次函数y＝x＋1中x＝0，则y＝1，
∴点C的坐标为(0，1)．
∵CD∥x轴，∴设点D的坐标为(x，1)，
将(x，1)代入反比例函数的表达式y＝中，得1＝，解得x＝8，
∴点D的坐标为(8，1)，即CD＝8.
∵点P的坐标为(4，2)，
∴BP与CD互相垂直平分，
∴四边形BCPD为菱形．
故反比例函数图像上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为(8，1)．
考点分析
考点五　反比例函数的实际运用
例5 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，即刻自动开机，重复上述过程.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示.
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数表达式；
解：(1)观察图像，可知当x＝7时，y＝100.
当0≤x≤7时，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
即当0≤x≤7时，y关于x的函数表达式为y＝10x＋30.
考点分析
当x＞7时，设y关于x的函数表达式为y＝，
则100＝，解得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数表达式为y＝，
当y＝30时，x＝，
∴y与x之间的函数表达式为
y＝
y与x之间的函数表达式每分钟重复出现一次．
考点分析
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多少分钟？
(2)将y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14.
∵14－2＝12，－12＝，
∴怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待min.
1. 煤厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数表达式是(　　)
巩固练习
A.y=(x>0) B.y=(x≥0)
C.y=300x(x≥0) D.y=300x(x>0)
A
巩固练习
2.某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长y(单位：m)随与之相邻的另一边长x(单位：m)的变化而变化的图像可能是(　　)
C
巩固练习
3.某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图像如图所示，当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应(　　)
A．不大于m3 B．不小于m3
C．不大于m3 D．不小于m3
B
巩固练习
4. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是 ( )
A.水温从加热到，需要
B.水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为
D. 上午10点接通电源，可以保证当天10:30能喝到不低于的水
C
巩固练习
5.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是_______.
丙
巩固练习
6. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数(度)与镜片焦距(米)成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
200
巩固练习
7.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：时)，行驶速度为v(单位：千米/时)，且全程速度限定为不超过120千米/时.
(1)求v关于t的函数表达式；
解：(1)∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/时，
∴v关于t的函数表达式为v＝(t≥4)．
巩固练习
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围；
①8点至12点48分时长为小时，8点至14点时长为6小时，
将t＝代入v＝，得v＝100；
将t＝6代入v＝，得v＝80.
∴小汽车行驶速度v的范围为80≤v≤100.
巩固练习
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.
②方方不能在当天11点30分前到达B地．
理由如下：
8点至11点30分时长为小时，<4.
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
巩固练习
8．综合与实践
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量(毫克/百毫升)与时间(时)的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20(毫克/百毫升)时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】(1)求部分双曲线的函数表达式；
解：(1)依题意，设的解析式为，将点代入得：，
解得：， ，
当时，，即，
设双曲线的解析式为，将点代入得：， ；
巩固练习
(2)由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为13小时，
，
第二天早上不能驾车出行．
【问题解决】(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
课堂小结
谈谈你本节课的收获是什么？