北京市第四中学2024届高三上学期10月月考数学试题（含解析）

北京市第四中学2024届高三上学期10月月考数学试题
数学试卷
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分、共40分）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设则
A. B.
C. D.
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B. C. D.
5. 若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 设，且，“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 若在区间上单调递增，则可以是（）
A. B. C. D.
8. 设偶函数对任意，都有，当时，．则（）
A. B. C. D.
9. 已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确结论为（）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
10. 下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是（）
A. B. 是奇函数
C. 在其定义域上单调递增D. 图象关于轴对称
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 命题“”的否定是________．
12计算：______.
13. 函数y=的定义域为___________________________．
14. 若存在使得成立，则实数的取值范围是________．
15. 已知函数．
①若，则函数的值域为________；
②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16.
已知函数.
（Ⅰ）若点在角终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
17. 已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
（1）写出的值，并说明理由；
（2）求的值．
18. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额．
如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？
19. 已知函数是定义域为的奇函数，满足．
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）求不等式的解集．
20. 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求的最大值.
21. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
（1）当，时，写出的所有可能值；
（2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
（3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
数学试卷
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分、共40分）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判定出两集合的关系判断选项AB；求得否定选项C；求得否定选项D.
【详解】由，，可得
故选项A判断错误；选项B判断正确；
，则选项C判断错误；
，则选项D判断错误.
故选：B
2. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】，
所以该复数在复平面内的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
3. 设则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】：因为，所以，那么，
所以.
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数，余弦函数，对数函数及指数函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，故A不符题意；
对于B，因为，
所以函数在上不是减函数，故B不符题意；
对于C，函数，
因为，所以函数为偶函数，
令，
令在区间上单调递增，
而函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，
又函数为增函数，
所以函数在区间上单调递减，故C符合题意；
对于D，当时，为增函数，故D不符题意.
故选：C.
5. 若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，由题意可得恒成立，结合即可求解.
【详解】令，
则，
当且仅当等号成立，所以，
又的解集为R，
所以恒成立，故，
即实数a的取值范围是.
故选：A.
6. 设，且，“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由解得：x<0.
由化为：,即，解得x>1或x<0.
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选A
7. 若在区间上单调递增，则可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，且过原点，进而得在上单调递增，即可求解.
【详解】函数在R上单调递减，函数在上单调递增，
又函数的定义域为，
所以函数在上单调递减，且过原点，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：D.
8. 设偶函数对任意，都有，当时，．则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的性质以及已知条件的等式，即可将转化为求解.
【详解】因为是偶函数，所以，
又，
则
.
故选：A
9. 已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
10. 下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是（）
A. B. 是奇函数
C. 在其定义域上单调递增D. 的图象关于轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】借助于图形来看四个选项，先由可判断A，实数所在区间不关于原点对称，知B错，从图形上可得在定义域上单调递增，C对，先找到，再利用图形判断D错，
【详解】如图，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，
对于A，当时，的坐标为，，
直线的方程为，即，所以点的坐标为，
故，即A错.
对于B，因为实数所在区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性．故B错．
对于C，当实数越来越大时，直线与轴的交点也越来越往右，即也越来越大，所以在定义域上单调递增，即C对．
对于D，当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，
再由图形可知的图象关于点，对称，而非关于轴对称，即D错．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 命题“”的否定是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”否定是.
故答案为：.
12. 计算：______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据对数运算法则即可求解．
【详解】
故答案为：1
13. 函数y=的定义域为___________________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数表达式得到使得函数有意义只需要,解这个不等式取得交集即可.
【详解】由得－1故答案为.
【点睛】求函数定义域的类型及求法:(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
14. 若存在使得成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用当时，由函数与的单调性可得函数单调性，进而得出的取值范围．
【详解】当时，函数与在分别具有单调递增与单调递减．
函数上单调递增．
，
又当时，，
．
存在使得方程成立，
．
故答案为：
15. 已知函数．
①若，则函数的值域为________；
②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据二次函数和指数函数的性质即可求出函数的值域；根据零点和对应方程的解得关系可知，当时方程有1个解，当时方程有2个解，结合即可求解.
【详解】若，，
当时，，
当时，，
所以，即函数的值域为；
若函数有三个零点，
当时，令，
当时，方程有2个解，则，
即，由解得，
综上，，即实数a的取值范围为.
故答案为：；.
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16.
已知函数.
（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用三角函数定义得正余弦值，再代入计算即可；（Ⅱ）化简函数解析式，再整体代入求值域即可
【详解】（Ⅰ）因为点在角的终边上，
所以，，
所以
（Ⅱ）
，
因，所以，
所以，
所以的值域是
17. 已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
（1）写出的值，并说明理由；
（2）求的值．
【答案】（1），理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数极小值点的定义求解即可；
（2）根据题意得，进而解方程即可得答案.
【小问1详解】
解：，理由如下：
由表格中的数据可知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
所以，为函数的极小值点.
【小问2详解】
解：由题知，
所以，结合（1）有：，即，解得.
所以，
18. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为．
如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？
【答案】（1）加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择两种方案均可，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态；
（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.
【详解】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为.
又.
当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.
因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；
（2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得
因为,所以当吨时，企业最大获利为850元.
若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得
因为,所以当吨吨时, 企业最大获利为850元.
结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，日加工处理量处理量为90吨时，获得最大利润，能够为社会做出更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19. 已知函数是定义域为的奇函数，满足．
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由，即，又，解得，则可得的解析式，
（2）由函数的单调性定义，即可得出答案．
（3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可结合对数函数的单调性求解.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，
又因为，解得，所以，
，故当，时，是奇函数，
故
【小问2详解】
设，
则，
因为，
所以，，，
所以，
即，所以在上为增函数．
【小问3详解】
由于是上的函数，
所以，解得，
由为奇函数以及得，
又在上为增函数．所以，
故，解得，
故，
因此解集为
20. 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求的最大值.
【答案】（1）
（2）答案见详解（3）1
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得，分类讨论，结合（2）运算求解.
【小问1详解】
当时，，则，
令．因为，则
所以函数的单调递减区间是
【小问2详解】
．
令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
x
+ + -
↗ ↘
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
【小问3详解】
当时，则在上恒成立
∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：的取值范围为，即的最大值为．
21. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
（1）当，时，写出的所有可能值；
（2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
（3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义知，讨论、及大小求所有可能值；
（2）由，假设存在使，进而有，可得，即可证结论；
（3）由题设，令，讨论、求证即可判断存在性.
【小问1详解】
由，，
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即；
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即（舍）；
综上，的所有可能值为.
【小问2详解】
由（1）知：，则，
数列中的项存在最大值，故存在使，，
由，
所以，故存在使，
所以0为数列中的项；
小问3详解】
不存在，理由如下：由，则，
设，
若，则，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
若，则为有限集，
设，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定，并构造集合，讨论、研究存在性.