北京市第四中学2024届高三上学期期中数学试题（含解析）

北京市第四中学2024届高三上学期期中数学试题
高三数学
（试卷满分150分，考试时间为120分钟）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 若复数，则（）
AB. C. D.
3. 化简（）
A. B. C. 1D.
4. 下列函数中，值域为是（）
AB. C. D.
5. 将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为
A. B. C. D.
6. 若，则的最小值为（）
A. 4B. 6C. 8D. 无最小值
7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）
A. B. C. D.
8. 已知函数.则“”是“为偶函数”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知，，且，，若，则（）
A. B. C. D.
10. 已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分共25分）.
11. 已知为第二象限角，且，则______.
12. 已知为等差数列，为其前项和，若，，则公差_________，的最大值为_________．
13. 设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为______.
14. 如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为______km.
15. 设函数定义域为，对于区间，若存在，，使得，则称区间为函数的区间，给出下列四个结论：
①当时，是的区间；
②若是的区间，则的最小值为3；
③当时，是的区间；
④当时，不是的区间；
其中所有正确结论的序号为______.
三、解答题：（本大题共6小题，共85分）
16. 已知等差数列和等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式：
（Ⅱ）求和：．
17. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的对称轴；
（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
18. 在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求及的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
19. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
21已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中.
例如.
（1）若，，求的值及的最大值；
（2）从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）；
（3）对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由.
高三数学
（试卷满分150分，考试时间为120分钟）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解得出集合，然后根据并集的运算，即可得出答案.
【详解】解可得，，所以.
所以，.
故选：C.
2. 若复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的模的公式可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3. 化简（）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用诱导公式化简得解.
【详解】.
故选：D.
4. 下列函数中，值域为的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案.
【详解】因为，且，所以或，A错误；
因为，所以，B错误；
因为，所以，C错误；
因为，所以，即的值域为，D正确.
故选：D
5. 将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．
【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，
可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），
图象过点，
∴sin（2φ），
即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，
即φ或，k∈Z，
∵φ＞0，
∴φ的最小值为．
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题．
6. 若，则的最小值为（）
A. 4B. 6C. 8D. 无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式求和的最小值.
【详解】若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到函数为单调减函数，再得到，则根据零点存在定理可知零点所在区间为.
【详解】易得函数为减函数，
，
，
，，根据幂函数单调性可知，
，，
可得，则函数包含零点的区间是，
故选：B.
8. 已知函数.则“”是“为偶函数”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据和为偶函数求出相应的取值集合，然后由包含关系可得.
【详解】若，则，，
若为偶函数，则，得，
因为，
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
9. 已知，，且，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，结合或分类讨论进行判断即可．
【详解】解：由，即，，
当时，则有，
此时，，，，
则，，，，
D选项符合；
当时，则有，
此时，，，，
则，，，，
D选项符合；
故选：D．
10. 已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数的图象，将问题转化为函数上的点到直线的距离，在区间上的最大值问题，然后观察图象可得.
【详解】作出函数的图象如图：
因为，
因为，所以，
表示函数上的点到直线的距离，
由图可知，当时，取得最大值，最大值为；
当时，，
结合图象可知，在区间上总有，
所以，此时的最大值为；
当时，由图可知，，
且.
综上，在区间上最大值的取值范围为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题主要考查分段函数图象的运用，关键在于作图和简问题转化为在区间上点到直线的距离的最值问题.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分共25分）.
11. 已知为第二象限角，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】确定，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】为第二象限角，且，则，
，.
故答案为：
12. 已知为等差数列，为其前项和，若，，则公差_________，的最大值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知条件可求得的值，求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】，即，解得，
所以，，
当或时，取得最大值.
故答案为：；.
13. 设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，由已知条件判断导数的符号从而判断的单调性，结合函数奇偶性及零点即可得解.
【详解】设，，
因为是定义域为的奇函数，
所以，
即当时，，单调递增，
由已知得为奇函数，且在，上均为增函数，
因为，所以的解集为.
故答案为：
14. 如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为______km.
【答案】
【解析】
【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可.
【详解】，，，，，
中，由正弦定理，有，则，
中，由余弦定理，
有，
得，即，两点间的距离为.
故答案为：.
15. 设函数定义域为，对于区间，若存在，，使得，则称区间为函数的区间，给出下列四个结论：
①当时，是的区间；
②若是的区间，则的最小值为3；
③当时，是的区间；
④当时，不是的区间；
其中所有正确结论的序号为______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】取验证可判断①；取,验证可判断②；判断在内的最大值点的个数即可判断③；分和两种情况讨论，当时判断函数符号，当时，利用放缩法判断函数最大值是否小于1即可判断④.
【详解】①：因为，所以，
令，则，
因为，即，即，
所以存在，使得，故①正确；
②：令，，解得，
取，则，
不妨取，
则在内存在，，使得，
此时，故②错误；
③：要使是的区间，只需在区间内至少存在两个最大值点.
令，得，即，
由，得，
当时，得，即在内有两个最大值点；
当时，，所以在内至少有两个最大值点.
综上，当时，在内至少有两个最大值点，故③正确；
④：因为，所以当时，；
当时，.
综上，对，都有，
所以，在上不存在，，使得，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】本题难点在于对新定义理解，并能运用于具体问题中，本题可取特值验证，考察最值等方法进行求解.
三、解答题：（本大题共6小题，共85分）
16. 已知等差数列和等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式：
（Ⅱ）求和：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据题意求出等差数列{an}的首项和公差，然后可得通项公式．（Ⅱ）根据题意求出等比数列{bn}的首项和公比，然后可求得前个奇数项的和．
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
∴等差数列的通项公式．
（Ⅱ）设等比数列的公比设为，
由题意得，解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
17. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的对称轴；
（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
【答案】17.
18.
19.
【解析】
【分析】（1）代值计算可得出的值；
（2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程；
（3）由可得，由可得出，由已知条件可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
则.
【小问2详解】
.
由可得，
所以，函数的对称轴方程为.
【小问3详解】
由，可得，
当时，，
因为方程在区间上恰有一个解，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
18. 在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求及的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）正弦定理结合已知消去角A，再利用二倍角公式化简可得；
（2）选①：根据余弦定理求出a，然后可得面积；选②：将已知条件角化边，联立余弦定理即可得a，然后可得面积；选③：已知联立余弦定理消元，利用判别式可知此时无实数解，即不存在满足条件.
【小问1详解】
由正弦定理知，
由题设得，
所以，
因为，所以，
所以，得.
【小问2详解】
选条件①：因为，，，
所以，，整理得，
解得或（舍去），
所以
选条件②：.
由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
所以，
联立，解得，
所以.
选条件③：.
由余弦定理可得得，即，
所以，即.
联立消去c得，
因为，
所以方程无实数解，故此时不存在.
19. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析（3）
【解析】
【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线；
（2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间；
（3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围.
【小问1详解】
时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
【小问2详解】
，函数定义域为R，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
【小问3详解】
当时，由（2）可知为在上极小值，也是最小值.
于是，所以
当且时，
由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，
因此，此时，符合题意.
所以的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】（1）极大值为，没有极小值.
（2）0（3）
【解析】
【分析】（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，定义域：，，
令，则，变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
【小问2详解】
当时，，定义域：，
，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
【小问3详解】
，定义域：，
，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
21. 已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中.
例如.
（1）若，，求的值及的最大值；
（2）从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）；
（3）对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由.
【答案】（1）1，2（2）
（3）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）表示出和，求的值及的最大值；
（2）由的定义求删去的两个数后剩下的数和的范围，结合的定义．列不等式并判断等号成立，可得出结论；
（3）的定义可知：，可找到三个不同的元素，，，使得.
【小问1详解】
，
，，，
所以；
，，
，最大，则，，所以最大值为.
【小问2详解】
设中的最大值为，由定义，，
若存在，，
则，，，，进而，，矛盾.
于是除外，剩余的由定义，中恰有个元素，，
设删去的两个数为，，则，
构造，删去，，恰好取得等号.
所以的最小值为.
【小问3详解】
结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，，，证明如下：
设，中的一个最大值为，由得
于是，，进而
考虑，
由于，，而
于是一定存在不同于，的，使得，
进而，于是，
取，，即可.
【点睛】方法点睛：
集合新定义问题，要紧紧围绕新定义的概念和运算法则，对问题进行分析整理后求解.