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第21章 一元二次方程 单元测试（基础卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（21-22九年级上·贵州毕节·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根．则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2023·云南·模拟预测）对于实数a， b定义新运算“*”如下：， 例如， 则方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（2023·重庆·模拟预测）临近春节的三周，某水果店迎来了销售高峰，第一周的销售额为2万元，第三周的销售额为2.88万元．设这两周销售额的周平均增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为，则原方程的正数解为”．小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．
10．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程有实数根，则k的最大整数值为 ．
12．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知函数若它是二次函数，则m值为 ．
13．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ．
14．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知不相等的两实数满足，则的值为 ．
15．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）按要求解下列方程
(1)；（配方法）
(2)（公式法）
(3)（因式分解法）
17．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于2，求的取值范围．
(3)若该方程的两根满足，求的值．
18．（2023·贵州黔东南·一模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为m、n．
(1)若，，求p、q的值；
(2)若，，求的值．
19．（2023·江苏常州·模拟预测）随着神舟十五号载人飞船发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
20．（2023·江西新余·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求c；
(3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值．
21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
22．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道．
于是，
．
又因为，所以，，，．所以，有最大值．
如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．
(1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．
23．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于？
(2)几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于？中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 一元二次方程 单元测试（基础卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有1个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．（21-22九年级上·贵州毕节·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】B
【分析】
本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，把代入方程得：，
∴；
故选：B．
3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数及常数项得到结果即可．
【详解】
解：已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则这个一元二次方程可能是.
故选：D．
4．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式，直接根的判别式对四个选项逐一进行判断．
【详解】解：A、中，，故方程有两个不相等的实数根；
B、中，，故方程有两个不相等的实数根；
C、变形为，则，故方程有两个不相等的实数根；
D、中，，故方程无实数根．
故选：D．
5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解；
，
故选：B．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根．则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，然后化简代数式，代入即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
，
∴，
故选：B．
7．（2023·云南·模拟预测）对于实数a， b定义新运算“*”如下：， 例如， 则方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根．
【详解】解：由题可得：方程 化为，
即，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
故选B．
8．（2023·重庆·模拟预测）临近春节的三周，某水果店迎来了销售高峰，第一周的销售额为2万元，第三周的销售额为2.88万元．设这两周销售额的周平均增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，正确理解题意列得方程是解题的关键，根据题意分别得到第二周，第三周的销售额，即可列得方程．
【详解】第一周的销售额为2万元，设这两周销售额的周平均增长率为，
则第二周的销售额为万元，第三周的销售额为万元，
则列方程为，
故选：A．
9．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为，则原方程的正数解为”．小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．
【答案】A
【分析】此题考查了解一元二次方程的几何解法．根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】解：先构造一个面积为的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，
∵阴影部分的面积为156，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴，
则方程的正数解为，
故选：A．
10．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
本题主要考查动点问题的函数图象．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】
解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
．
则，代入，得，
解得或3，
因为，即，
所以，．
故选：A．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程有实数根，则k的最大整数值为 ．
【答案】2
【分析】由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
12．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知函数若它是二次函数，则m值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义可得，，再解一元二次方程即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
∵，
∴，
故答案为：2．
13．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为，
故答案为：16．
14．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知不相等的两实数满足，则的值为 ．
【答案】13
【分析】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题关键．根据题意可知，设是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，可得，，再利用根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，不相等的两实数满足，
所以可设是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
原式
．
故答案为：13
15．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．
先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到的长．
【详解】
解：四边形是菱形，
，
，的长是关于的方程的两个实数根，
△，，
解得，
，
即菱形的边长为．
故答案为：．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）按要求解下列方程
(1)；（配方法）
(2)（公式法）
(3)（因式分解法）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查了解一元二次方程；
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴
∴，
解得：
（2）解：，
∵，，
∴
解得：
（3）解：
∴
∴
即或
解得：
17．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于2，求的取值范围．
(3)若该方程的两根满足，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根小于，即可得出的取值范围；
（3）因式分解解一元二次方程，得出，则，进而即可求解．
【详解】（1）解: ∵
∴，
∴不论为任何实数，方程总有两实数根；
（2）∵，
∴，
解得：，，
∵该方程有一个根小于2，
∴．
（3）由题意得，
即方程有两等实数根，
当时，即时满足题意．
18．（2023·贵州黔东南·一模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为m、n．
(1)若，，求p、q的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于一元二次方程的两个根，，则满足，．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程的两根分别为m、n，，，
，，
解得：，；
（2）若，，，
则原式为，
，
．
19．（2023·江苏常州·模拟预测）随着神舟十五号载人飞船发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】(1)此时每天销售获利1008元
(2)每件模型应降价10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润每个的销售利润日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：（个；
（元．
答：若每个模型降价4元，每天获利1008元；
（2）解：设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又每个模型盈利不少于25元，
．
答：每个模型应降价10元．
20．（2023·江西新余·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求c；
(3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)否
(2)
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了因式分解法解方程．
（1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
（2）设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值；
（3）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可．
【详解】（1）
解：解方程得，，
所以不是“三倍根方程”；
（2）
设方程的两根为，，
根据根与系数的关系得，，
解得，
∴；
（3）
设方程的两根为，，
根据根与系数的关系得，，
即，，
∴．
21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．
（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，；
（2）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或，
当时，可有，解得，，
当时，可有，
∵，
∴该方程无解，
∴原方程的解为，．
22．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道．
于是，
．
又因为，所以，，，．
所以，有最大值．
如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．
(1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米
【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据得到，整理即可得到答案；
（2）根据列出代数式即可；
（3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案．
【详解】（1）依题意得
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）依题意得：，
∴，
∴；
（3）
又因为，，
∴，
∴，
所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．
23．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于？
(2)几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)2秒或秒
【分析】
考查了一元二次方程的应用，勾股定理，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．
（1）根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
（2）根据题意表示出、的长，再根据勾股定理列方程即可．
【详解】（1）
解：根据题意，知
，．
根据三角形的面积公式，得
，
，
，
解得或4．
故经过2秒或4秒钟，的面积等于；
（2）
根据勾股定理，得
，
，
解得，．
故2或秒钟后，，两点之间的距离等于．
