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21.3 实际问题与一元二次方程（几何问题和数字问题） 分层作业
基础训练
1．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”李华按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为27，则该方程的正数解为（ ）
A．3 B．5 C． D．
3．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（ ）m．
A．4或 B． C．4 D．10
4．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：解法的构图是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，某小区规划在一个长、宽9m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则下列方程：
①
②
③
其中正确的是( )
A．① B．②
C．①② D．①②③
7．（2023·广东肇庆·一模）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
8．（22-23九年级下·河北衡水·期中）嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为 B．列方程为
C．列方程为 D．周瑜去世时25岁
9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ．
11．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
12．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）为增加单位绿地面积，某单位要建一个矩形花圃，如图1，花圃一面用墙（墙长），其余三面用篱笆围成，篱笆总长．
(1)若花圃的面积为，求的长；
(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，围成的花圃面积能达到吗？如果能求的长；如果不能，请说明理由．
能力提升
13．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )
A． B． C．或 D．或
14．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知的长为2，以为边在的下方作正方形，取边上一点，以为边在的上方作正方形．过点作⊥，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，在一块等腰直角的空地上，斜边，垂足为，点在上，，等腰直角的面积为，图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设，则根据题意可列方程为 ．
16．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知四边形，，在上，三角形是等边三角形，若，，则的长度等于 ．
17．（2023·广西桂林·三模）如图，某市规划在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边上，且满足．已知五边形中，．请问，四边形人工湖的面积能否为，若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．
18．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成．
(1) ；（用含的代数式表示）
(2)若生态园的面积为，求的值；
(3)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由．
拔高拓展
19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
(1)问题：方程的解是： ， ；
(2)拓展：用“转化”思想求方程的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．
20．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务．
求为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．① 则．．．．．．② ①+②得 即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ． 两边分别相加可得，． ．
任务：
(1)计算： ；
(2)我们知道：；；；则 ；
(3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 实际问题与一元二次方程（几何问题和数字问题） 分层作业
基础训练
1．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解．
【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是
故选：C．
2．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”李华按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为27，则该方程的正数解为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察图形，根据正方形的构造方法，正确列出一元二次方程是解题的关键．观察图2，可得出构造的大正方形的面积为，整理后解之，即可得出结论．
【详解】解：观察图2，可知：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为：，
依图2可列方程为，即，
解得正数解．
故选：A．
3．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（ ）m．
A．4或 B． C．4 D．10
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
设，则米，根据围成的花圃的面积刚好为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合BC的长度不超过米，即可确定的值，此题得解．
【详解】解：设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故选C．
4．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：解法的构图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景．通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来即可求解．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为其面积为1，
大正方形的面积：，其边长为5，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：D．
5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【详解】解：由图可知：长方体的长为15，宽为，
由题意得：；
故选C．
6．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，某小区规划在一个长、宽9m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则下列方程：
①
②
③
其中正确的是( )
A．① B．②
C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】通道的宽为，将6块草地平移为一个长方形，长为，宽为，根据题意列出一元二次方程．
【详解】通道的宽为，由题意得,，或或
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
7．（2023·广东肇庆·一模）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设较大的奇数为x，那么较小的奇数为，则这两个数的积是即可列出方程．
【详解】解：设较大的奇数为x，根据题意得，
故选：D．
8．（22-23九年级下·河北衡水·期中）嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为 B．列方程为
C．列方程为 D．周瑜去世时25岁
【答案】C
【分析】根据题意，列出式子，然后求解即可．
【详解】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是，则十位数字为，
由题意可得：，化简可得：
解得，
则周瑜去世时年龄为或岁，
即C选项正确，A、B、D选项错误，不符合题意，
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程．
9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案．
【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：，
设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键．
10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了正方形的面积，解一元二次方程的应用；作辅助线，由已知线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分可得，列方程可解答．
【详解】解：如图，将图形补成长方形，
设正方形③的边长为，则，，
正方形①、②的边长分别是，，
线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，
，
，
，
解得：，，
则正方形③的边长为或．
故答案为：或．
11．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法．
（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）
．
故答案为：；
（2）依题意有：，
解得，负值舍去．
故的值是．
12．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）为增加单位绿地面积，某单位要建一个矩形花圃，如图1，花圃一面用墙（墙长），其余三面用篱笆围成，篱笆总长．
(1)若花圃的面积为，求的长；
(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，围成的花圃面积能达到吗？如果能求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)的长为
(2)围成的花圃面积不能达到
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长；
（2）不能围成花圃；设的长为，根据（）得到，此方程的判别式得到方程无实数解，所以不能围成花圃．
【详解】（1）解：设平行于墙的边长为．
根据题意得，，
则，
∴，
因为，
所以符合题意，
答：的长为；
（2）解：不能，
理由如下：设的长为
根据题意，得
即，
∵
∴方程没有实数根，
所以，围成的花圃面积不能达到．
能力提升
13．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由点在线段上可设点的坐标为，，进而可得出，，结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入点的坐标中即可求出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及矩形的面积，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：点在线段上不与点，重合，且直线的解析式为，
设点的坐标为，，
，．
矩形的面积为，
，
，，
点的坐标为，或，．
故选：D．
14．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知的长为2，以为边在的下方作正方形，取边上一点，以为边在的上方作正方形．过点作⊥，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．设，则可求出，，再根据正方形与四边形的面积相等，结合正方形和矩形的面积公式，可列出关于x的方程，解出x的值，再舍去不合题意的值即可．
【详解】解：设，
∵四边形和四边形都为正方形，
∴，，四边形为矩形，
∴，
∴，．
∵正方形与四边形的面积相等，
∴，
解得：，（舍），
∴．
故选B．
15．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，在一块等腰直角的空地上，斜边，垂足为，点在上，，等腰直角的面积为，图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，读懂题意列出方程是关键．由等腰三角形的性质及平行条件，得点D是的中点，则，从而可表示出、，由面积关系建立方程即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，点在上，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵
∴．
故答案为：．
16．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知四边形，，在上，三角形是等边三角形，若，，则的长度等于 ．
【答案】
【分析】作交于，由勾股定理可得，由等边三角形的性质结合勾股定理可得，，，设，则，，根据，，列出一元二次方程，解方程即可得到的值，再由三角形三边关系判断是否符合题意．
【详解】解：如图，作交于，
，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，
设，则，，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，满足三角形三边关系，符合题意，此时，
当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上所述，的长度等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的性质、一元二次方程的应用、三角形三边关系，根据面积关系得出一元二次方程是解此题的关键．
17．（2023·广西桂林·三模）如图，某市规划在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边上，且满足．已知五边形中，．请问，四边形人工湖的面积能否为，若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．
【答案】存在，的长为或时，使四边形人工湖的面积为
【分析】
本题考查了矩形的性质，利用参数表示四边形的面积是解题的关键．设，分别求出的长度，用x表示四边形人工湖的面积，利用一元二次方程的判别式可求解．
【详解】
解：能，理由如下：
如图，延长于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵．
∴
设，则，
∵，
∴，
∴，
若四边形人工湖的面积为
则四边形的面积
∴
∴存在的长为或时，使四边形人工湖的面积为
18．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成．
(1) ；（用含的代数式表示）
(2)若生态园的面积为，求的值；
(3)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或11时，生态园的面积能达到
【分析】本题主要考查代数式，一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键．
（1）根据题意得到，再根据矩形的性质即可得到答案；
（2）由面积公式计算即可；
（3）根据题意将此时的表示出来进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
由于篱笆长为，
，
；
（2）解：由题意得：，
即，
解得，
，
，
．
（3）解：由题意可得
由于篱笆长为，
，
解得．
当或11时，生态园的面积能达到．
拔高拓展
19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
(1)问题：方程的解是： ， ；
(2)拓展：用“转化”思想求方程的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)9m
【分析】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键．
（1）利用因式分解法，求解即可；
（2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可；
（3）设的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴或或．
∴，
故答案为：，
（2）解：方程，两边平方得，
∴．
∴．
∴．
经检验，是原方程的根，不是原方程的根．
所以原方程的解为
（3）解：设的长为xm，则的长为m．
由题意得：
整理得
两边平方得，
即．
整理得．
∴．
∴
经检验是原方程的根．
由于，
∴m．
20．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务．
求为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．① 则．．．．．．② ①+②得 即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ． 两边分别相加可得，． ．
任务：
(1)计算： ；
(2)我们知道：；；；则 ；
(3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
【答案】(1)20706
(2)
(3)这群人共有11人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律
（1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答；
（2）根据方法2：“递归法”计算即可；
（3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答．
【详解】（1），
故答案为：20706；
（2）令 ..... ①，
....................②
②①：有，
故答案为：；
（3）设这群人共有人，
由题意，得，
即，
解方程，得（舍去），，
答：这群人共有11人．
