秘籍06 天体运动中的五类热点问题和三大概念理解
一、开普勒行星运动定律
定 律 内 容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ,是一个与行星无关的常量
注意：（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
（2）由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关
二、万有引力定律的理解
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论： ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
三、宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，
得v1＝ ＝ m/s＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
3.对第一宇宙速度的理解
1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．
2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s四、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
1．分析人造卫星运动的两条思路
(1)万有引力提供向心力即G＝ma。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
＝
3．同步卫星的六个“一定”
赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力的分力 万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力
线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)
角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h) ＝
a1＜a3＜a2
各运行参量比较的两条思路
(1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。
(2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。
五、卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力．卫星将做变轨运动．
(1)当卫星的速度逐渐增加时，G(2)当卫星的速度逐渐减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大．
2．变轨过程分析
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使
其进入预定的轨道，如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；
(3)在Q点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动．
3．卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
4．航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
5．卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 Gm
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
6.变轨过程各物理量分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1六、天体质量和密度的计算
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m m中＝
v、T G＝m，G＝mr m中＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝
密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mrm中＝ρ·πR3 ρ＝当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝
七、卫星的追及与相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
3．“行星冲日”现象
在不同圆轨道上绕太阳运行的两个行星，某一时刻会出现两个行星和太阳排成一条直线的“行星冲日”现象，属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具有周期性。
天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……)
八、双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示．
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供．
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等．
【题型一】三大基础概念的理解应用
【典例1】（2024·浙江嘉兴·一模）太阳系内很多小天体和八大行星一样围绕太阳运行。之前，能进入金星轨道内侧的小天体仅发现21个，但它们一部分轨道在金星轨道外侧。最近科学家第一次发现了完全在金星轨道内侧运行的一个小天体“AV2”。则（ ）
A．“AV2”没有落至太阳上是因为它质量小
B．“AV2”绕太阳运行周期大于金星
C．“AV2”在任何位置的加速度都大于金星
D．这些小天体与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等
【答案】C
【详解】A．“AV2”在太阳引力的作用下绕太阳做圆周运动或椭圆运动，太阳的引力正好提供“AV2”做圆周运动或椭圆运动的外力，“AV2”没有落至太阳上与它质量无关，故A错误；
B．由开普勒第三定律可知，由于“AV2”完全在金星轨道内侧运行，即“AV2”的圆轨道半径或椭圆轨道半长轴小于金星轨道半长轴，则“AV2”绕太阳运行周期小于金星，故B错误；
C．由牛顿第二定律可知
由于“AV2”距太阳的距离始终小于火星距太阳的距离，所以在任何位置的加速度都大于金星，故C正确；
D．由开普勒第二定律可知，同一轨道运行的天体与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，不同轨道上天体与太阳的连线在单位时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。
故选C。
【典例2】（2024·湖南衡阳·二模）2024年1月17日22时37分，天舟七号货运飞船发射升空，顺利进入近地点200km、远地点363km的近地轨道（LEO），经转移轨道与位于离地高度400km的正圆轨道上的中国空间站完成对接，整个对接过程历时约3小时，轨道简化如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．天舟七号的发射速度大于7.9km／s
B．天舟七号在LEO轨道的运行周期大于空间站的运行周期
C．天舟七号在转移轨道经过N点时的加速度小于空间站经过N点时的加速度
D．空间站的运行速度大于近地卫星的运行速度
【答案】A
【详解】A．天舟七号绕地球运动，发射速度需大于7.9km／s，故A正确；
B．根据开普勒第三定律可知，天舟七号在LEO轨道的运行周期小于空间站的运行周期，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力有
解得
则天舟七号在转移轨道经过N点时的加速度等于空间站经过N点时的加速度，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力有
解得
则空间站的运行速度小于近地卫星的运行速度，故D错误；
故选A。
【典例3】（2024·北京海淀·一模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量约为月球质量的9倍、半径约为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度大于火星表面重力加速度
B．嫦娥五号绕月球的运行速度大于天问一号绕火星的运行速度
C．相同时间内，嫦娥五号与月球的连线扫过的面积与天问一号与火星的连线扫过的面积相等
D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值小于天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值
【答案】D
【详解】A．物体环绕中心天体表面做圆周运动时有
可得
由此可得月球表面重力加速度与火星表面重力加速度之比为
则月球表面重力加速度小于火星表面重力加速度，故A错误；
B．物体环绕中心天体表面做圆周运动时的速度即为第一宇宙速度，因此有
可得第一宇宙速度为
由于月球的重力加速度和半径都较小，则月球的第一宇宙速度较小，故B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，环绕同一中心天体且轨道半径相同的物体，相同时间内与中心天体中心的连线扫过的面积相等，而嫦娥五号与天问一号所环绕中心天体以及轨道半径均不同，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力
解得
火星的质量大于月球的质量，故D正确。
故选D。
1．（2024·新疆塔城·二模）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地间距离为1天文单位）。若只考虑太阳对行星的引力，则“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要（ ）
A．3.7年 B．5.7年 C．7.7年 D．9.7年
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律
解得
故选B。
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）物理学是集科学知识、科学方法和科学思维为一体的学科。下列有关科学思维方法的叙述正确的是（ ）
A．图甲所示，通过平面镜观察桌面的微小形变——放大法
B．图乙所示，探究两个互成角度共点力的合成实验——理想模型法
C．图丙所示，卡文迪许利用扭秤实验测量引力常量——控制变量法
D．图丁所示，伽利略利用理想斜面实验对力和运动关系的研究——极限法
【答案】A
【详解】A．图甲所示，通过平面镜将桌面的微小形变进行放大，是放大法，A正确；
B．图乙所示，探究两个互成角度共点力的合成实验，是用等效替代的方法，B错误；
C．图丙所示，卡文迪许利用扭秤实验测量引力常量是使用放大法，C错误；
D．图丁所示，伽利略利用理想斜面实验对力和运动关系的研究是应用理想实验的方法，D错误。
故选A。
6=3．（2024·山东枣庄·一模）地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，即月球永远以同一面朝向着地球。如图所示，太阳光平行照射到地球上，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，设从月球上正对地球的P点看向地球的视角为α。在月球绕地球运动一周的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．地球的密度为 B．月球自转的角速度为
C．太阳光照射月球的时间为 D．月球上的P点被照亮的时间为
【答案】D
【详解】A．根据
地球的密度
选项A错误；
B．根据
解得月球绕地球公转的角速度为
地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，可知月球的公转和自转的角速度相同，故月球自转的角速度为，选项B错误；
C．太阳光照射月球的时间为
选项C错误；
D．因为月球永远以同一面朝向着地球，则月球上的P点被照亮的时间为
选项D正确。
故选D。
【题型二】 五大热点问题
【典例1】（2024·江苏南京·一模）图是神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接过程示意图，神舟十七号飞船先在轨道I上做周期为的圆周运动，在A点变轨后，沿椭圆轨道II运动，在B点再次变轨与天和核心舱对接，此后共同在圆轨道III上运行。下列说法正确的是（ ）
A．飞船沿轨道II的运行周期小于飞船沿轨道I的运行周期
B．飞船在轨道II上经过A点时的加速度大于在轨道I上经过A点时的加速度
C．飞船在轨道II上经过B点时的速度大于在轨道III上经过B点时的速度
D．相等时间内，在轨道I上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道III上扫过的面积
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第三定律
轨道II的半轴长大于轨道I的半径，可知飞船沿轨道II的运行周期大于飞船沿轨道I的运行周期，故A错误；
B．根据牛顿第二定律
可知飞船在轨道II上经过A点时的加速度等于在轨道I上经过A点时的加速度，故B错误；
C．根据变轨原理，飞船在轨道II上经过B点时需加速做离心运动进入轨道III，飞船在轨道II上经过B点时的速度小于在轨道III上经过B点时的速度，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力
可得
相等时间内，飞船与地心连线扫过的面积为
轨道III的半径大于轨道I的半径，故相等时间内，在轨道I上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道III上扫过的面积，故D正确。
故选D。
【典例2】（2024·天津红桥·一模）三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三颗卫星，正确的是（ ）
A．运行线速度大小关系为
B．运行角速度大小关系为
C．向心力大小关系为
D．轨道半径与运行周期关系为
【答案】ABD
【详解】ABC．根据万有引力提供向心力有
所以
所以
，
故AB正确，C错误；
D．根据开普勒第三定律可得轨道半径与运行周期关系为
故D正确。
故选ABD。
【典例3】2022年11月29日，神舟十五号载人飞船与中国空间站的核心舱成功交会对接。神舟十五号载人飞船与中国空间站对接前某段时间的运行可简化为在轨道I上的匀速圆周运动，如图所示。神舟十五号飞船绕轨道I运行的周期为，中国空间站绕轨道III运行的周期为。在某时刻二者相距最近，下列说法正确的是（ ）
A．神舟十五号飞船与中国空间站下一次相距最近需经过时间
B．神舟十五号飞船与中国空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
C．神舟十五号飞船为了与中国空间站对接，由轨道I变轨到轨道II时需要减速
D．神舟十五号飞船与核心舱对接后的向心加速度小于地球近地卫星的向心加速度
【答案】BD
【详解】A．设需经过时间为两飞船下一次相距最近，则
得
A错误；
B．神舟十五、十四两飞船绕地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为、，质量分别为、，地球质量为，则有
解得
B正确；
C．神舟十五号飞船要与在轨的神舟十四号飞船对接，需要向其运动方向反方向喷气，飞船加速后做离心运动向更高轨道运动，C错误；
D．由
得
神舟十五号飞船对接后的轨道半径大于地球半径，则神舟十五号飞船对接后的向心加速度小于地球近地卫星的向心加速度，D正确。
故选BD。
【典例4】（2024·湖南长沙·一模）在银河系中，双星系统的数量非常多。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成与和演化，也是一个不可缺少的方面。假设在宇宙中远离其他星体的空间中存在由两个质量分别为、m的天体A、B组成的双星系统，二者中心间的距离为L。a、b两点为两天体所在直线与天体B表面的交点，天体B的半径为。已知引力常量为G，则A、B两天体运动的周期和a、b两点处质量为的物体（视为质点）所受万有引力大小之差为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】设A、B的轨道半径分别为、，由几何关系可得
因为两天体的角速度相同，由圆周运动规律可得
联立可得
，
设两天体运动的周期为，对天体B由万有引力提供向心力
可得A、B两天体运动的周期为
天体B对在a、b两点相同质量的物体的万有引力大小相等、方向相反，假设a点位于两天体中间，天体A对a、b两点处物体的万有引力（正方向）大小分别为、，a、b两点处质量为的物体所受万有引力大小之差为
故选B。
1．（2024·河北·模拟预测）我国自2004年起启动月球探测工程，2022年10月31日，山东大学牵头完成的世界第一幅1：250万月球全月岩石类型分布图对外公布，该研究成果发表于国际综合性期刊《科学通报》。假设距离月球球心处的重力加速度与的关系图像如图所示，已知引力常量为，则（ ）
A．距月球表面距离处的重力加速度
B．月球的平均密度为
C．在距月球表面轨道上运行的航天器的速度大小为
D．距月球球心和两位置处的重力加速度大小相等
【答案】B
【详解】A．由题可知，距月球球心距离处的重力加速度，A错误；
BD．由题可知，设月球半径为，当时
解得
当时
解得
由此可知
由上分析可知月球的密度为
当距月球球心时
当距月球球心时
B正确，D错误；
C．由
可知，在距月球表面轨道上运行的航天器的速度大小为
C错误；
故选B。
2．（2024·河北·一模）地球静止同步轨道仅有一个，世界各国的静止同步卫星均在此轨道绕地球做匀速圆周运动，卫星在轨道环绕过程中发生故障或到达使用寿命后便成为“死亡卫星”。在地球静止同步轨道上有一颗北斗导航卫星失效，我国发射的“实践二十一号”卫星将该失效卫星拖到如图所示的“墓地轨道”，为后续新发射的卫星腾出空间，已知“墓地轨道”比同步轨道高300m，下列说法正确的是（ ）
A．地球静止同步轨道可以经过北京正上方
B．在“墓地轨道”运动的卫星的角速度比地球自转的角速度小
C．北斗导航卫星在同步轨道上的动能比在“墓地轨道”上的动能小
D．北斗导航卫星在同步轨道上的加速度比在“墓地轨道”上的加速度小
【答案】B
【详解】
A．地球静止同步轨道在赤道正上方。故A错误；
B．根据
解得
依题意，“墓地轨道”比同步轨道高，所以“墓地轨道”上的卫星角速度比同步轨道上的卫星角速度小，即比地球自转的角速度小。故B正确；
C．同理，可得
解得
又
可知北斗导航卫星在同步轨道上的动能比在“墓地轨道”上的动能大。故C错误；
D．同理，可得
解得
北斗导航卫星在同步轨道上的加速度比在“墓地轨道”上的加速度大。故D错误。
故选B。
3．2022年6月5日17时42分，神舟十四号载人飞船与天和核心舱径向端口成功对接。对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面高度为地球半径的。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十四号与天和核心舱对接时，要先变轨到达核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱进行对接
B．组合体的向心加速度大于g
C．组合体的线速度小于地球赤道上物体的线速度
D．组合体运行的周期为
【答案】D
【详解】A．根据万有引力提供向心力，有
神舟十四号变轨到达与天和核心舱同一轨道，若再加速则会做离心运动，不会追上核心舱进行对接，故A错误；
B．根据牛顿第二定律，组合体的向心加速度为
由
组合体的轨道半径r大于地球半径R，故组合体的向心加速度小于g，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力可得
解得
由于组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则组合体的线速度大于同步卫星的线速度，同步卫星的角速度等于地球自转角速度，所以同步卫星的线速度大于地球赤道上物体的线速度，故组合体的线速度大于地球赤道上物体的线速度，故C错误；
D．设组合体运行的周期为T，则
在地球表面有
联立解得
故D正确。
故选D。
4．（2024·云南昆明·三模）《天问》是战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神。我国探测飞船“天问一号”发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶。如图所示，“天问一号”经过变轨成功进入近火圆轨道，其中轨道1是近火圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是圆轨道。已知火星的质量为M，火星的半径为R，轨道3的半径为r，“天问一号”质量为m，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道3上线速度保持不变
B．“天问一号”在轨道2上经过A点时的线速度为
C．“天问一号”在轨道2上的周期为
D．“天问一号”在轨道2上从B点到A点的过程中，克服引力做功为
【答案】C
【详解】A．“天问一号”在轨道3上线速度的反向不断发生变化，可知其线速度发生了变化，故A错误；
B．“天问一号”在轨道3上有
解得
对于火星而言，轨道2是低轨道，轨道3是高轨道，由轨道2变轨到轨道3，需要在切点A处加速，即“天问一号”在轨道2上经过A点时的线速度小于，故B错误；
C．对轨道2与轨道3，根据开普勒第三定律定律有
对于轨道3有
解得
故C正确；
D．“天问一号”在轨道2上由B点运动到A点过程有
“天问一号”在轨道2上由B点运动到A点过程需要克服引力做功为
解得
故D错误。
故选C。
5．2020年7月23日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器， 在中国文昌航天发射场，应用长征五号运载火箭送入地火转移轨道。火星距离地球最远时有4亿公里，最近时大约0.55亿公里。由于距离遥远，地球与火星之间的信号传输会有长时间的时延。当火星离我们最远时，从地球发出一个指令，约22分钟才能到达火星。为了节省燃料，我们要等火星与地球之间相对位置合适的时候发射探测器。受天体运行规律的影响，这样的发射机会很少。为简化计算，已知火星的公转周期约是地球公转周期的 1.9 倍，认为地球和火星在同一平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。根据上述材料，结合所学知识，判断下列说法正确的是（ ）
A．当探测器加速后刚离开A 处的加速度与速度均比火星在轨时的要大
B．当火星离地球最近时，地球上发出的指令需要约 10 分钟到达火星
C．如果火星运动到 B 点，地球恰好在 A 点时发射探测器，那么探测器将沿轨迹 AC 运动到 C 点时，恰好与火星相遇
D．下一个发射时机需要再等约 2.7 年
【答案】A
【详解】A.当探测器加速后刚离开A 处, 根据万有引力提供加速度可知
解得
探测器A 处距太阳距离较小，则加速度较大，探测器在A 处做圆周运动的线速度
探测器A 处距太阳距离较小,探测器在A 处做圆周运动的线速度v比火星在轨的线速度大, 探测器加速后刚离开A 处速度比探测器在A 处做圆周运动的线速度v大,因此当探测器加速后刚离开A 处的速度均比火星在轨时的要大,A正确；
B.火星距离地球最远时有4亿公里，从地球发出一个指令，约22分钟才能到达火星，最近时大约0.55亿公里，因为指令传播速度相同，则时间为
B错误；
C.根据开普勒第三定律，火星与探测器的公转半径不同，则公转周期不相同，因此探测器与火星不能在 C 点相遇， C 错误；
D ．地球的公转周期为1年，火星的公转周期约是地球公转周期的1.9倍，两者的角速度之差为
则地球再一次追上火星的用时为
年
D 错误;
故选A。
6．华盛顿大学的一项新研究表明，某些短周期的双星系统是由恒星演化而产生的。假设太空中有A、B两星体组成的短周期双星，已知A、B环绕连线上的点做匀速圆周运动，A、B的轨道半径和为，A、B的轨道半径差为，恒星A、B的半径均远小于，且B的质量大于A的质量。求：
（1）A、B的线速度之和与A、B的线速度之差的比值；
（2）A、B质量之和与A、B质量之差的比值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设A、B两颗星的轨道半径分别为、。A、B环绕连线上的点做匀速圆周运动，则A、B的角速度相等，又A、B两星体相互间的万有引力提供向心力，所以A、B的向心力大小相等，则
因为，所以
A、B的线速度分别为
、
A、B的线速度之和为
A、B的线速度之差为
解得
（2）由牛顿第二定律对星体A有
则
同理对B有
则
A、B质量之和为
A、B质量之差为
解得秘籍06 天体运动中的五类热点问题和三大概念理解
一、开普勒行星运动定律
定 律 内 容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ,是一个与行星无关的常量
注意：（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
（2）由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关
二、万有引力定律的理解
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论： ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
三、宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，
得v1＝ ＝ m/s＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
3.对第一宇宙速度的理解
1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．
2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s四、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
1．分析人造卫星运动的两条思路
(1)万有引力提供向心力即G＝ma。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
＝
3．同步卫星的六个“一定”
赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力的分力 万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力
线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)
角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h) ＝
a1＜a3＜a2
各运行参量比较的两条思路
(1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。
(2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。
五、卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力．卫星将做变轨运动．
(1)当卫星的速度逐渐增加时，G(2)当卫星的速度逐渐减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大．
2．变轨过程分析
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使
其进入预定的轨道，如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；
(3)在Q点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动．
3．卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
4．航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
5．卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 Gm
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
6.变轨过程各物理量分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1六、天体质量和密度的计算
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m m中＝
v、T G＝m，G＝mr m中＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝
密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mrm中＝ρ·πR3 ρ＝当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝
七、卫星的追及与相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
3．“行星冲日”现象
在不同圆轨道上绕太阳运行的两个行星，某一时刻会出现两个行星和太阳排成一条直线的“行星冲日”现象，属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具有周期性。
天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……)
八、双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示．
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供．
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等．
【题型一】三大基础概念的理解应用
【典例1】（2024·浙江嘉兴·一模）太阳系内很多小天体和八大行星一样围绕太阳运行。之前，能进入金星轨道内侧的小天体仅发现21个，但它们一部分轨道在金星轨道外侧。最近科学家第一次发现了完全在金星轨道内侧运行的一个小天体“AV2”。则（ ）
A．“AV2”没有落至太阳上是因为它质量小
B．“AV2”绕太阳运行周期大于金星
C．“AV2”在任何位置的加速度都大于金星
D．这些小天体与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等
【典例2】（2024·湖南衡阳·二模）2024年1月17日22时37分，天舟七号货运飞船发射升空，顺利进入近地点200km、远地点363km的近地轨道（LEO），经转移轨道与位于离地高度400km的正圆轨道上的中国空间站完成对接，整个对接过程历时约3小时，轨道简化如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．天舟七号的发射速度大于7.9km／s
B．天舟七号在LEO轨道的运行周期大于空间站的运行周期
C．天舟七号在转移轨道经过N点时的加速度小于空间站经过N点时的加速度
D．空间站的运行速度大于近地卫星的运行速度
【典例3】（2024·北京海淀·一模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量约为月球质量的9倍、半径约为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度大于火星表面重力加速度
B．嫦娥五号绕月球的运行速度大于天问一号绕火星的运行速度
C．相同时间内，嫦娥五号与月球的连线扫过的面积与天问一号与火星的连线扫过的面积相等
D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值小于天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值
1．（2024·新疆塔城·二模）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地间距离为1天文单位）。若只考虑太阳对行星的引力，则“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要（ ）
A．3.7年 B．5.7年 C．7.7年 D．9.7年
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）物理学是集科学知识、科学方法和科学思维为一体的学科。下列有关科学思维方法的叙述正确的是（ ）
A．图甲所示，通过平面镜观察桌面的微小形变——放大法
B．图乙所示，探究两个互成角度共点力的合成实验——理想模型法
C．图丙所示，卡文迪许利用扭秤实验测量引力常量——控制变量法
D．图丁所示，伽利略利用理想斜面实验对力和运动关系的研究——极限法
3．（2024·山东枣庄·一模）地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，即月球永远以同一面朝向着地球。如图所示，太阳光平行照射到地球上，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，设从月球上正对地球的P点看向地球的视角为α。在月球绕地球运动一周的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．地球的密度为 B．月球自转的角速度为
C．太阳光照射月球的时间为 D．月球上的P点被照亮的时间为
【题型二】 五大热点问题
【典例1】（2024·江苏南京·一模）图是神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接过程示意图，神舟十七号飞船先在轨道I上做周期为的圆周运动，在A点变轨后，沿椭圆轨道II运动，在B点再次变轨与天和核心舱对接，此后共同在圆轨道III上运行。下列说法正确的是（ ）
A．飞船沿轨道II的运行周期小于飞船沿轨道I的运行周期
B．飞船在轨道II上经过A点时的加速度大于在轨道I上经过A点时的加速度
C．飞船在轨道II上经过B点时的速度大于在轨道III上经过B点时的速度
D．相等时间内，在轨道I上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道III上扫过的面积
【典例2】（2024·天津红桥·一模）三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三颗卫星，正确的是（ ）
A．运行线速度大小关系为
B．运行角速度大小关系为
C．向心力大小关系为
D．轨道半径与运行周期关系为
【典例3】2022年11月29日，神舟十五号载人飞船与中国空间站的核心舱成功交会对接。神舟十五号载人飞船与中国空间站对接前某段时间的运行可简化为在轨道I上的匀速圆周运动，如图所示。神舟十五号飞船绕轨道I运行的周期为，中国空间站绕轨道III运行的周期为。在某时刻二者相距最近，下列说法正确的是（ ）
A．神舟十五号飞船与中国空间站下一次相距最近需经过时间
B．神舟十五号飞船与中国空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
C．神舟十五号飞船为了与中国空间站对接，由轨道I变轨到轨道II时需要减速
D．神舟十五号飞船与核心舱对接后的向心加速度小于地球近地卫星的向心加速度
【典例4】（2024·湖南长沙·一模）在银河系中，双星系统的数量非常多。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成与和演化，也是一个不可缺少的方面。假设在宇宙中远离其他星体的空间中存在由两个质量分别为、m的天体A、B组成的双星系统，二者中心间的距离为L。a、b两点为两天体所在直线与天体B表面的交点，天体B的半径为。已知引力常量为G，则A、B两天体运动的周期和a、b两点处质量为的物体（视为质点）所受万有引力大小之差为（ ）
A．， B．， C．， D．，
1．（2024·河北·模拟预测）我国自2004年起启动月球探测工程，2022年10月31日，山东大学牵头完成的世界第一幅1：250万月球全月岩石类型分布图对外公布，该研究成果发表于国际综合性期刊《科学通报》。假设距离月球球心处的重力加速度与的关系图像如图所示，已知引力常量为，则（ ）
A．距月球表面距离处的重力加速度
B．月球的平均密度为
C．在距月球表面轨道上运行的航天器的速度大小为
D．距月球球心和两位置处的重力加速度大小相等
2．（2024·河北·一模）地球静止同步轨道仅有一个，世界各国的静止同步卫星均在此轨道绕地球做匀速圆周运动，卫星在轨道环绕过程中发生故障或到达使用寿命后便成为“死亡卫星”。在地球静止同步轨道上有一颗北斗导航卫星失效，我国发射的“实践二十一号”卫星将该失效卫星拖到如图所示的“墓地轨道”，为后续新发射的卫星腾出空间，已知“墓地轨道”比同步轨道高300m，下列说法正确的是（ ）
A．地球静止同步轨道可以经过北京正上方
B．在“墓地轨道”运动的卫星的角速度比地球自转的角速度小
C．北斗导航卫星在同步轨道上的动能比在“墓地轨道”上的动能小
D．北斗导航卫星在同步轨道上的加速度比在“墓地轨道”上的加速度小
3．2022年6月5日17时42分，神舟十四号载人飞船与天和核心舱径向端口成功对接。对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面高度为地球半径的。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十四号与天和核心舱对接时，要先变轨到达核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱进行对接
B．组合体的向心加速度大于g
C．组合体的线速度小于地球赤道上物体的线速度
D．组合体运行的周期为
4．（2024·云南昆明·三模）《天问》是战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神。我国探测飞船“天问一号”发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶。如图所示，“天问一号”经过变轨成功进入近火圆轨道，其中轨道1是近火圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是圆轨道。已知火星的质量为M，火星的半径为R，轨道3的半径为r，“天问一号”质量为m，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道3上线速度保持不变
B．“天问一号”在轨道2上经过A点时的线速度为
C．“天问一号”在轨道2上的周期为
D．“天问一号”在轨道2上从B点到A点的过程中，克服引力做功为
5．2020年7月23日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器， 在中国文昌航天发射场，应用长征五号运载火箭送入地火转移轨道。火星距离地球最远时有4亿公里，最近时大约0.55亿公里。由于距离遥远，地球与火星之间的信号传输会有长时间的时延。当火星离我们最远时，从地球发出一个指令，约22分钟才能到达火星。为了节省燃料，我们要等火星与地球之间相对位置合适的时候发射探测器。受天体运行规律的影响，这样的发射机会很少。为简化计算，已知火星的公转周期约是地球公转周期的 1.9 倍，认为地球和火星在同一平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。根据上述材料，结合所学知识，判断下列说法正确的是（ ）
A．当探测器加速后刚离开A 处的加速度与速度均比火星在轨时的要大
B．当火星离地球最近时，地球上发出的指令需要约 10 分钟到达火星
C．如果火星运动到 B 点，地球恰好在 A 点时发射探测器，那么探测器将沿轨迹 AC 运动到 C 点时，恰好与火星相遇
D．下一个发射时机需要再等约 2.7 年
6．华盛顿大学的一项新研究表明，某些短周期的双星系统是由恒星演化而产生的。假设太空中有A、B两星体组成的短周期双星，已知A、B环绕连线上的点做匀速圆周运动，A、B的轨道半径和为，A、B的轨道半径差为，恒星A、B的半径均远小于，且B的质量大于A的质量。求：
（1）A、B的线速度之和与A、B的线速度之差的比值；
（2）A、B质量之和与A、B质量之差的比值。
