中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 实际问题与一元二次方程（传播问题和变化率问题）分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（ ）小分支．
A．8 B．9 C．2 D．8或2
3．（23-24九年级上·西藏·期末）某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条．小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·安徽池州·三模）据省统计局发布，2023年我省有效发明专利数比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我省有效发明专利分别为万件和万件，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·江苏盐城·模拟预测）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·全国·课后作业）秋冬季节为流感的高发期，有1人患了流感，第一轮传染了个人，则第一轮传染过后共有 人患了流感，第二轮传染时平均每人也传染人，则第二轮传染了 人，第二轮传染过后共有 人患了流感．
7．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ．
8．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）郑州“市长杯”足球预选赛实行双循环赛制，每两支参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛42场，则参赛队有 支．
9．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则 （用百分数表示）．
10．（2023·山东东营·二模）某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元，若两次降价后每千克元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，则所列方程为 ．
11．（2023·安徽合肥·三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值．
12．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出的值；
(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？
13．（22-23九年级上·广东江门·期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
14．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
能力提升
15．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
16．（2021·广东深圳·二模）随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产型无人机架，4月份生产型无人机达到架．
(1)求该公司生长型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产架型无人机的成本是元，生产架型无人机的成本是元．现要生产两种型号的无人机共架，其中型无人机数量不超过型无人机数量的倍．公司生产两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？
17．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 实际问题与一元二次方程（传播问题和变化率问题）分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，
由题意，得：，即，
解得：（舍去），，
故选：．
2．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（ ）小分支．
A．8 B．9 C．2 D．8或2
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程，求解即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则，
解得：（舍去），
∴每个支干长出9个小分支．
故选：B．
3．（23-24九年级上·西藏·期末）某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条．小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两名同学都互相发一条，共发了72次，列方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
4．（2023·安徽池州·三模）据省统计局发布，2023年我省有效发明专利数比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我省有效发明专利分别为万件和万件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了增长率问题，弄清题意、找到各量之间的数量关系是解题的关键．
根据题意可知2023年我省有效发明专利数为万件，2024年我省有效发明专利数为，再结合题意即可解答．
【详解】解：由题意得：2023年我省有效发明专利数为万件，
2024年我省有效发明专利数为万件，即万件．
故选：B．
5．（2023·江苏盐城·模拟预测）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
等量关系为：2017年贫困人口（1 下降率）＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
，
故选：B．
6．（23-24九年级上·全国·课后作业）秋冬季节为流感的高发期，有1人患了流感，第一轮传染了个人，则第一轮传染过后共有 人患了流感，第二轮传染时平均每人也传染人，则第二轮传染了 人，第二轮传染过后共有 人患了流感．
【答案】
【分析】第一人加上一轮传染人数即可得到答空1答案；利用第一轮后的人数乘以可以得到第二轮传染的人数，加上一轮后的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
第一轮传染过后共有：（人），
第二轮传染了：（人），
第二轮传染过后共有：（人），
故答案为：，，；
【点睛】本题考查一元二次方程解决传播问题，解题的挂念是找到传播的数量及增加的数量．
7．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍），
即m的值为，
故答案为：．
8．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）郑州“市长杯”足球预选赛实行双循环赛制，每两支参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛42场，则参赛队有 支．
【答案】7
【分析】根据题意得每支球队都要和除自己以外的球队比赛，设有支球队，每支球队需要比赛次，即可得出关于的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设有支球队，则每支球队需要比赛次，得
，
，（不满足题意，舍去）．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查一元二次方程求解，根据题意列出方程是关键．
9．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则 （用百分数表示）．
【答案】30%
【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，
故答案为：30%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2023·山东东营·二模）某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元，若两次降价后每千克元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，则所列方程为 ．
【答案】
【分析】由题意得：，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2023·安徽合肥·三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值．
【答案】(1)人
(2)
【分析】（1）设平均每人每轮感染人，开始是个人，则第一轮感染人，第二轮感染人，根据经过两轮传播，共有人感染，得出关于的方程，解方程即可得出结果；
（2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的可知，第三轮的传染人数为，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍列出关于的方程求解即可．
【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染人，
根据题意得，，
解得，（舍去），
答：平均每人每轮感染人；
（2）依题意得：，
解得，
答：的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键．
12．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出的值；
(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）首先求出经过第一轮传染后，共有人感染，然后根据题意列式求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
解得或（舍去）；
（2）∵1个人患病，每轮传染中平均一个人传染24个人，
∴经过第一轮传染后，共有人感染，
∵在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，
∴．
∴两轮传染后，一共有385人患病．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．（22-23九年级上·广东江门·期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【答案】(1)6；
(2)
(3)8
【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场；
（2）直接根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：
场；
（2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：；
（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
这次比赛共有8个队参加．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
14．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
能力提升
15．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20%
(2)18个
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
16．（2021·广东深圳·二模）随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产型无人机架，4月份生产型无人机达到架．
(1)求该公司生长型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产架型无人机的成本是元，生产架型无人机的成本是元．现要生产两种型号的无人机共架，其中型无人机数量不超过型无人机数量的倍．公司生产两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？
【答案】(1)该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
(2)公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
（2）根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【详解】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，
，
（不合题意，舍去）
∴该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
（2）解：设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，依据题意可得：
，
解得：，
，
∵，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当时，w取最小值，此时，
，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可．
17．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【答案】（1）10%；（2）6件
【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．
【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，
由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，
解得a≥，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．
