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21.2.2 解一元二次方程（公式法）分层作业
基础训练
1．（22-23九年级下·山东滨州·期中）下列一元二次方程：①，②，③，④，其中无实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；①，则原方程有两个不相等的实数根；
②，则原方程有两个不相等的实数根；
③，则原方程有两个相等的实数根；
④，则原方程没有实数根；
故选：A．
2．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，解得，
故选项D中的5不符合题意，
故选：D．
3．（2023·浙江温州·模拟预测）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可能是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2023·贵州·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此进行计算即可得出答案．
【详解】解：．
∵，
∴，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．（2023·河南濮阳·模拟预测）已知关于的一元二次方程，有下列四个命题：
甲：；
乙：当时，该方程没有实数根；
丙：是该方程的一个根；
丁：当时，该方程有两个相等的实数根．
其中是假命题的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的知识，解题的关键是了解有关的性质．利用一元二次方程的定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：∵，∴，故甲说法正确，是真命题，不符合题意；
当时，原方程为，，该方程没有实数根，乙说法正确，是真命题，不符合题意；
当时，原方程的左边，右边，所以不是原方程的根，故丙说法错误，是假命题，符合题意；
当时，原方程为，，该方程有两个相等的实数根，乙说法正确，是真命题，不符合题意；
故选：C．
6．（2023·河南平顶山·模拟预测）实数在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上m的值，来确定判别式的大；根据一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上m的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情况 ．
【详解】解：，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
7．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键．
根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意及求根公式，
得，，，
该一元二次方程为，
故答案为：．
8．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
9．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可．
【详解】解：，
整理得：，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，且，
解得：，
故答案为：．
10．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴
，
因为，
所以，
故方程有两个不相等的实数根，
故答案为：2．
11．（2023·辽宁盘锦·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果．
【详解】解：由题意得：且，
即且，
解得：且，
故答案为：且．
12．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程去分母整理得到，再利用公式法解方程即可．
【详解】解：
整理得：，
，，，
，
．
解得，．
13．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程，
(1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式；
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的判别式，正确求出一般形式和根的判别式是解题的关键．
（1）把方程右边的项移项到左边，即可得到答案；
（2）列出方程根的判别式，根据判别式的范围即可证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即关于x的一元二次方程的一般形式为；
（2）对于来说，
，
∵，
∴，
∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根
能力提升
14．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，三角形三边的关系，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．先求出根的判别式，再由三角形三边关系确定出判别式的符号，最后由根与系数的关系确定根的符号即可．
【详解】解：在此方程中，
∵a，b，c是三条边的长，
∴，即，
∴，
故方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是0，两根的积是0，
∴方程的根的情况是有两个不相等的负根．
故选：C．
15．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的性质．分两种情况：①若2为底，则方程有两个相等的实数根；②若2为腰，则2是方程的一根，分别计算出方程的解，计算出三角形的周长是解题的关键．
【详解】解：①若2为底，则方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
方程为，
∴
∴的周长；
②若2为腰，则2是方程的一根，
代入方程，
解得，
方程为，
解得，
∴的周长；
由①②得的周长是或．
16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于1，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
（1）求出，再判断即可；
（2）求出方程的根是，再代入方程，即可求出答案．
【详解】（1）证明：，
，
所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，
∴此根是，
当根是1时，代入得：，
即，此时m为任何数；
当根是时，，
解得：，
综上所述，m为任意实数．
17．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的根为整数，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)当，，，，1，2，4时，方程的根为整数
【分析】（1）当时，原方程为一次方程，通过解方程求出方程的解；当时，求出，从而即可得证；
（2）当时，原方程为一次方程，解得，满足题意，当，解得：，，从而即可得到，由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：当时，原方程为一次方程，，
解得：，
当时，
当时，方程有实数根，
综上所述：无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：当时，原方程为一次方程，，
解得：，
为整数，
符合题意，
当，
，
，
解得：，，
方程的根为整数，
，
综上所述，当，，，，1，2，4时，方程的根为整数．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，也考查了解一元一次方程和一元二次方程的解，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
18．（21-22九年级·浙江·自主招生）若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
【答案】或 或或
【分析】先去分母，将该分式方程化为整式方程，再分为方程是一次方程、方程为有两个相等的实数根的二次方程、方程有两个不相等的实数根但其中一个为增根三种情况进行讨论即可．
【详解】解：左右两边同时乘以得：，
整理得：，
①当，即时，
原方程为：，解得：，
∴时，方程有且只有一个实数根；
②当且时，
，
解得：，
当时，，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
∴，方程有且只有一个实数根；
③当且时，
∵，
∴或；
把代入得，
解得：，
把代入得，
解得：，
检验：当时，，当时，，
∴是原分式方程的解，
∴时，方程有且只有一个实数根；
把代入得，
解得：，
把代入得，
解得：，
检验：当时，，当时，，
∴是原分式方程的解，
∴时，方程有且只有一个实数根；
综上：k的值为或 或或．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程，分式方程，解题的关键是掌握根的一元二次方程判别式和分式方程有增根的情况．
拔高拓展
19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布情况，由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
【详解】根据题意得，，
∴，
①当时，即，
∴原方程为，
∴，不满足条件；
②当时，原方程有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程，
∴，
∵关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内，
∴Ⅰ、，
∴，
Ⅱ、，
∴无解；
故答案为：．
20．（2023九年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于的一元二次方程，
，
．
解得，；
．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 ；
(2)将代数式分解因式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中给出的求根法的定义即可得出答案；
（2）先令，得到一个关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可．
【详解】（1）解：代数式对应的方程解为和7，
代数式分解后为，
故答案为：；
（2）解：令，得到一个关于的一元二次方程，
，
，
，
解得，，
．
【点睛】本题主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，对于二次三项式的因式分解有：，其中、是的两根，理解并掌握题目中的求根法因式分解是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.2 解一元二次方程（公式法）分层作业
基础训练
1．（22-23九年级下·山东滨州·期中）下列一元二次方程：①，②，③，④，其中无实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·浙江温州·模拟预测）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可能是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．（2023·贵州·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
5．（2023·河南濮阳·模拟预测）已知关于的一元二次方程，有下列四个命题：
甲：；
乙：当时，该方程没有实数根；
丙：是该方程的一个根；
丁：当时，该方程有两个相等的实数根．
其中是假命题的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2023·河南平顶山·模拟预测）实数在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
7．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
8．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值是 ．
9．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
10．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ．
11．（2023·辽宁盘锦·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．
12．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：．
13．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程，
(1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式；
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
能力提升
14．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根
15．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ．
16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于1，求m的值．
17．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的根为整数，求的值．
18．（21-22九年级·浙江·自主招生）若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
拔高拓展
19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ．
20．（2023九年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于的一元二次方程，
，
．
解得，；
．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 ；
(2)将代数式分解因式．
