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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·广东广州·期末）若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．据此逐个判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
故A正确，符合题意，B、C、D不正确，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根与系数的关系．根据有两个符号相反的解，得到两根之积为负数，进行判断即可．
【详解】解：A、,两根之积为0，本选项不符合题意；
B、，方程没有实数根，本选项不符合题意；
C、，两根之积为，本选项不符合题意；
D、，且两根之积为，本选项符合题意；
故选：D．
3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根和，乙看错了常数项，得根和，则原方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程，根据根与系数的关系即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系.
【详解】解：由于甲看错了一次项，得根和，
∴
由于乙看错了常数项，得根和，
∴
∴
∴该方程为：
故选：.
4．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（ ）
A．8 B． C． D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查根与系数的关系的关系：是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得，然后整体代入求解即可．
【详解】解：一元二次方程的两个根是，
∴，
∴．
故选：D．
5．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如果两不相等实数分别满足则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式方程，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．利用根与系数的关系求出，，再把变成，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值．
【详解】解：实数分别满足，
实数是方程的两根，
故选：A.
6．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若m，n是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数关系， 把代入，得出，再根据根与系数关系求出，整体代入计算即可解答．
【详解】解：是方程的两个根，
，
把代入得：，
∴，
∴，
故选：A．
7．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系；根据根与系数的关系得到， ，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得， ，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∵，
∴或时，
∴不合题意，
∴．
故选：D．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或3
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，先根据根的判别式得出，再由方程根与系数的关系得出，，从而得到，求解即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
，，，
，
解得：或，
，
，
故选：B．
9．（2023·山东济宁·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据定义运算化简@@，再根据根与系数的关系求出、的值，最后把、的值代入化简后的式子得结论．
【详解】由题意：@@
，是方程的两根，
，
原式
故答案为：
10．（2023·湖北荆州·三模）已知是关于x的一元二次方程 的两实根，且 ，则 ．
【答案】1
【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键．根据根与系数的关系可得、，然后将化成，再整体代入可得或1；再根据根的判别式可得，进而完成解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：或1，
∵的两根为，
∴，解得：，
∴．
故答案为1．
11．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【详解】（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
能力提升
12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把与分别代入方程得到，，根据根与系数的关系得到，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，，，
∴，，
∴
故选：C．
13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根定义、根与系数关系、根的判别式、不等式的性质等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程根的判别式得到，根据根与系数关系得到，利用一元二次方程根的定义得到，代入得到，利用不等式的性质进一步即可求出答案．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是，
，，
，
，
∵方程有两个实数根，
，解得
当时，有最大值，最大值为．
14．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）已知是方程的两根，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得，，，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，
∴，
∴
故选：A．
15．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键．由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0得到且，然后求出关于x的一元二次方程的解，进而代入，且，进行分析计算得出整数m的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∴且，
∵
∴
∴，
解得，
∵，且，
∴，
∴
∴
又∵，且
∴
∵m是整数
∴．
故答案为：．
16．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：．
（1）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①当时，
方程变形为，方程有实数根；
②当时，
，
∵，
∴，
∴当时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：存在，
设方程两根为、，
则，，
∵，
∴
解得：．
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．
17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)证明：无论取何值，此方程必有实数根；
(2)若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值；
(3)若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的周长为14或16
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理及等腰三角形的定义，分类讨论；熟记相关结论是解题关键．
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
（2）若一元二次方程的两个根为，则．
据此即可求解．
（3）分类讨论：①若为底边，②若为腰，两种情况，即可求解；
【详解】（1）证明：，
，，，
，
∴方程必有实数根．
（2）解：设，，由根与系数的关系得：
，．
由斜边的长为5，结合勾股定理得：，
∴
，
∴，
∴，．
当时，，；当时，，．
∵，，
∴．
（3）解：①若为底边，则，即方程由两个相等的实数根，
即，解得：，
把代入方程得：，
解得：，即．
∴．
②若为腰，则或，
把代入方程得：，解得：，
当时，方程为：，解得：，．
∴．
综上：的周长为或．
拔高拓展
18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，
(1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值．
(3)若是“2倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)或0
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值：
（1）先利用因式分解法解方程得到，再由即可得到方程是“2倍根方程”；
（2）设方程的两根为，由“2倍根方程”的定义可设，由根与系数的关系得到，进而求出，则；
（3）解方程得到，再由“2倍根方程”的定义得到或，即或，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴方程是“2倍根方程”，
故答案为：是；
（2）解：设方程的两根为，
∵一元二次方程是“2倍根方程”，
∴不妨设，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
解得，
∵是“2倍根方程”，
∴或，
∴或，
∴或．
19．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值．
解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，
∴，， 则．
材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值．
解：依题意得：a与b为方程的两根，
∴，，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
【答案】(1)3；
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，
故答案为：3；．
（2）解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
．
（3）解：实数s，t满足，且，
s，t是一元二次方程的两个实数根，
．
，
．
20．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程．
(1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值；
(2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，进一步可寻找的规律，即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程，和分别是该方程的两个根，
∴
∵，
∴
∴或；
（2）解：设方程的两个根为：
则，
∴
∴，，
…．．
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及有理数的混合运算等．熟记相关一元二次方程根与系数的关系是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·广东广州·期末）若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根和，乙看错了常数项，得根和，则原方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（）
A．8 B． C． D．16
5．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如果两不相等实数分别满足则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若m，n是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或3
9．（2023·山东济宁·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ．
10．（2023·湖北荆州·三模）已知是关于x的一元二次方程 的两实根，且 ，则 ．
11．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
能力提升
12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）已知是方程的两根，则( )
A． B． C． D．
15．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ．
16．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)证明：无论取何值，此方程必有实数根；
(2)若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值；
(3)若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
拔高拓展
18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，
(1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值．
(3)若是“2倍根方程”，求代数式的值．
19．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值．
解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，
∴，， 则．
材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值．
解：依题意得：a与b为方程的两根，∴，，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
20．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程．
(1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值；
(2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值．
